历年高考真题考点归纳解析几何圆锥曲线 26页

三、解答题 ‎26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.‎ 解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 ‎ 原点，所以 ‎（2）直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ‎（3）解法一：‎ 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得.‎ 于是直线PB的斜率 因此 解法二：‎ 设.‎ 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以 从而 因此 ‎27.（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。‎ 本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.‎ ‎ 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ‎ ①‎ ‎ 再设 ‎ 解得 ②‎ ‎ 将①式代入②式，消去，得 ‎ ③‎ ‎ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 ‎ ‎ ‎ 故所求点P的轨迹方程为 ‎28.‎ ‎（北京理19） ‎ ‎ 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.‎ ‎ （I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎ （II）将表示为m的函数，并求的最大值.‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 所以 由于当时，‎ 所以.‎ 因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ ‎29.（福建理17）已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。‎ 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，点P的坐标为（0，m）‎ 因为，所以，‎ 解得m=2，即点P的坐标为（0，2）‎ 从而圆的半径 故所求圆的方程为 ‎（II）因为直线的方程为 所以直线的方程为 由 ‎（1）当时，直线与抛物线C相切 ‎（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。‎ 综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；‎ 当时，直线与抛物线C不相切。‎ 解法二：‎ ‎（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），‎ 则 解得 所以所求圆的方程为 ‎（II）同解法一。‎ ‎30.（广东理19） ‎ ‎ 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程;‎ ‎（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．‎ ‎ （1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ ‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎31.（湖北理20） ‎ 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，‎ 又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的，‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时，‎ 存在点N，使S=|m|a2；‎ 当 或时，‎ 不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得 令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，‎ 可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎ ‎32.（湖南理21） ‎ 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．‎ ‎（i）证明：MD⊥ME;‎ ‎（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。‎ 解 ：（Ⅰ）由题意知 故C1，C2的方程分别为 ‎（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.‎ 由得 ‎.‎ 设是上述方程的两个实根，于是 又点M的坐标为（0，—1），所以 故MA⊥MB，即MD⊥ME.‎ ‎（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 则点A的坐标为.‎ 又直线MB的斜率为，‎ 同理可得点B的坐标为 于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为 于是.‎ 因此 由题意知，‎ 又由点A、B的坐标可知，‎ 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 ‎33.（辽宁理20） ‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ 解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ ………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ ………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎34.（全国大纲理21） ‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足 ‎（Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．‎ 解：‎ ‎（I）F（0，1），的方程为 ‎ 代入并化简得 ‎ …………2分 设 则 由题意得 所以点P的坐标为 经验证，点P的坐标为满足方程 故点P在椭圆C上。 …………6分 ‎ （II）由和题设知， ‎ PQ的垂直平分线的方程为 ‎ ①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 ‎ ②‎ 由①、②得的交点为。 …………9分 ‎ ‎ 故|NP|=|NA|。‎ 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，‎ 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分 ‎35.（全国新课标理20） ‎ 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值．‎ ‎ (20）解：‎ ‎(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).‎ ‎ 所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).‎ ‎ 再由题意可知（+）• =0， 即（-x，-4-2y）• (x，-2)=0.‎ ‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎ (Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x 因此直线的方程为，即．‎ 则O点到的距离.又，所以 ‎ ‎ ‎ 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎36.（山东理22） ‎ 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）证明和均为定值;‎ ‎（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ ‎（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，‎ 所以 因为在椭圆上，‎ 因此 ①‎ 又因为 所以 ②‎ 由①、②得 此时 ‎ （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得 ‎，‎ 其中 即 …………（*）‎ 又 所以 因为点O到直线的距离为 所以 又 整理得且符合（*）式，‎ 此时 综上所述，结论成立。‎ ‎ （II）解法一：‎ ‎ （1）当直线的斜率存在时，‎ 由（I）知 因此 ‎ （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 ‎ ‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二：‎ 因为 ‎ ‎ 所以 即当且仅当时等号成立。‎ 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 ‎ （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得 证明：假设存在，‎ 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点，‎ 与矛盾，‎ 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.‎ ‎37.（陕西理17） ‎ 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且 ‎（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度 解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）‎ 由已知得 ‎∵P在圆上， ∴   ，即C的方程为 ‎（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与C的交点为 将直线方程代入C的方程，得 ‎ 即 ‎∴     ∴   线段AB的长度为 注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。‎ ‎38.（上海理23） 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。‎ ‎（1）求点到线段的距离；‎ ‎（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；‎ ‎（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中 ‎，‎ 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②‎ ‎6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。‎ ‎ 。‎ ‎② 。‎ ‎③ 。‎ 解：⑴ 设是线段上一点，则 ‎，当时，。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，‎ 则，点集由如下曲线围成 ‎， ‎ 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择，‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎ ‎39.（四川理21） ‎ 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；‎ ‎（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。‎ ‎ ‎ 解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。‎ 则 的方程为 ‎40.（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：设 ‎ 由题意，可得 即 整理得（舍），‎ 或所以 ‎（II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 ‎ 得方程组的解 不妨设 设点M的坐标为，‎ 由 于是 由 即，‎ 化简得 将 所以 因此，点M的轨迹方程是 ‎41.（浙江理21）‎ 已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： ‎ 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 ‎（II）解：设，‎ 则题意得，‎ 设过点P的圆C2的切线方程为，‎ 即 ①‎ 则 即，‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 将①代入 由于是此方程的根，‎ 故，所以 由，得，‎ 解得 即点P的坐标为，‎ 所以直线的方程为 ‎42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为． ‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 ‎ ‎ ‎ ‎