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- 2021-05-13 发布
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2000上海高考试卷
理科数学
考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分
一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知向量,若,则 .
【答案】4
【解析】,,∴.
2.函数的定义域为 .
【答案】
【解析】.
3.圆锥曲线的焦点坐标是 .
【答案】
【解析】参数方程化为普通方程,∴焦点为,即
.
4.计算: .
【答案】
【解析】.
5.已知的反函数为,若的图象经过点,则
.
【答案】1
【解析】若的图象经过点,则过点,将点的坐标代入得,∴.
6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP预期增长,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在,若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍,至少需 年.
(按:1999年本市常住人口总数约1300万)
【答案】9
【解析】由题设条件可得,解得,∴.
【编者注】上海考生可以使用计算器.
7.命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题
A的等价命题B可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥.
【答案】.侧棱相等侧棱与底面所成角相等……
【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质.
根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题.
8.设函数是最小正周期为2的偶函数,它在区间上的图象为如图所示的线段,则在区间上 .
【答案】
【解析】由题设关于点对称,由周期性将向右平移两个单位得,所在的直线过原点,∴在区间上.
9.在二项式的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示)
【答案】
【解析】中间项有两项,一项系数为正最大,另一项为负最小为.
10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 .
【答案】
【解析】本小题考查等可能事件的概率..
11.在极坐标系中,若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点,则 .
【答案】
【解析】化为普通方程:和,将代入得,
∴.
12.在等差数列中,若,则有等式
成立,类比上述性质,相应的:在等此数列中,若,则有等式 成立.
【答案】
【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理.
∵,根据等边数列的性质和类比有.
二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.
13.复数(是虚数单位)的三角形式是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
14.设有不同的直线和不同的平面,给出下列三个命题:
①若,则 ②若,则
③若,,则
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】略.
15.若集合,则是:
A. B. C. D.有限集
【答案】A
【解析】,所以.
16.下列命题中正确的命题是
A.若点为角终边上一点,则
B.同时满足的角有且只有一个
C.当时,的值恒正
D.三角方程的解集为
【答案】D
【解析】的正负不能确定,A错误;B中角无数个;C中,当时,
的值恒正;,由周期性知.
三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分12分)
已知椭圆的焦点分别为和,长轴长为6,设直交椭圆于两点,求线段的中点坐标.
【解】设椭圆的方程为, ……………(2分)
由题意,于是,
∴椭圆的方程为. ……………(4分)
由得,
因为该二次方程的判别式,所以直线与椭圆有两个不同交点,……(8分)
设,则,
故线段的中点坐标为. ……(12分)
18.(本题满分12分)
如图所示四面体中,两两互相垂直,且,是中点,异面直线与所成的角的大小为,求四面体的体积.
【解】解法一:如图建立空间直角坐标系 ……(2分)
由题意,有.设点的坐标为
,则,……(6分)
设与所构成的角为,
则.
且与所成的角的大小为,
∴,
得,故的长度是4, ……(10分)
又,
因此四面体的体积. ……(12分)
解法二:过引的平行线,交与的延长线于,连接.
是异面直线与所成的角,
∴. ……(4分)
∵是的中点,∴是的中点,
. ……(6分)
又分别是的射影,且.
∴. ……(8分)
三角形是等腰三角形,,
故, ……(10分)
又,
因此四面体的体积是. ……(12分)
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数.
(1)当时,求函数的最小值:
(2)若对任意恒成立,试求实数的取值范围.
【解】(1)当时,,
在区间上为增函数, ……(3分)
地区间上最小值为, ……(6分)
(2)解法一:在区间上,
恒成立恒成立, ……(8分)
设,
递增,
∴当时,, ……(12分)
于是当且仅当时,函数恒成立,
故. ……(14分)
(2)解法二:,
当时,函数的值恒为正, ……(8分)
当时,函数递增,故当时,, ……(12分)
于是当且仅当时,函数恒成立,
故. ……(14分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度(为正时,按逆时针方向旋转,为负时,按顺时针方向旋转),再朝其面对的方向沿直线行走距离.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对轴正方向.试给机器人下一个指令,使其移动到点.
(2)机器人在完成该指令后,发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位).
【解】(1),得指令为, ……(4分)
(2)设机器人最快在点处截住小球, ……(6分)
则因为小球速度是机器人速度的2倍,所以在相同时间内有
, ……(8分)
即,得或.
∵要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,,
故机器人最快可在点处截住小球, ……(10分)
所给的指令为. ……(14分)
21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
在平面上有一点列,对每个自然数,点位于函数的图象上,且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形.
(1)求点的纵坐标的表达式.
(2)若对每个自然数,以为边长能构成一个三角形,求取值范围.
(3)设,若取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列的最大项的项数.
【解】(1)由题意,,∴. ……(4分)
(2)∵函数递减,
∴对每个自然数,有,则以为边长能构成一个三角形的充要条件是,
即, ……(7分)
解得或,
∴. ……(10分)
(3)∴,∴, ……(12分)
数列是一个递减的正数数列,对每个自然数.
于是当时,,当时,,
因此,数列的最大项的项数满足不等式且.
由,得,
. ……(16分)
22.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知复数,和,其中均为实数,为虚数单位,且对于任意复数,有.
(1)试求的值,并分别写出和用表示的关系式;
(2)将作为点的坐标,作为点的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点变到这一平面上的点.
当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.
【解】(1)由题设,,,
于是由,且,得, ……(3分)
因此由,
得关系式 ……(5分)
(2)设点在直线上,则其经变换后的点满足
……(7分)
消去,得,
故点的轨迹方程为. ……(10分)
(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为, ……(12分)
解法一:∵该直线上的任一点,其经变换后得到的点仍在该
直线上,∴,即,
当时,方程组无解,
故这样的直线不存在. ……(16分)
当时,由,
得,
解得或,
故这样的直线存在,其方程为或, ……(18分)
解法二:取直线上一点,其经变换后的点仍在该直线上,
∴,得, ……(14分)
故所求直线为,取直线上一点,其经变换后得到的点 仍在该直线上.
∴, ……(16分)
即,得或,
故这样的直线存在,其方程为或, ……(18分)
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