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- 2021-05-13 发布
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4.数列与不等式
1.【2018年浙江卷】已知成等比数列,且.若,则
A. B. C. D.
【答案】B
点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如
2.【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f,则第八个单音频率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.
详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则,故选D.
点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(), 数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.学·科2网
3.【2018年浙江卷】已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为________.
【答案】27
,所以只需研究是否有满足条件的解,此时 ,,为等差数列项数,且.由
得满足条件的最小值为.
点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如),符号型(如),周期型(如).
4.【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列
{bn}满足b1=1,数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅱ)设,数列前n项和为.由解得.
由(Ⅰ)可知,所以,故,
.设,
所以,因此,
又,所以.
点睛:用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5.【2018年天津卷文】设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)4.
详解:(I)设等比数列的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得.因为,可得,故.所以,.设等差数列的公差为.由,可得.由,可得从而,故,所以,.
(II)由(I),有
由可得,整理得解得(舍),或.所以n的值为4.
点睛:本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.学*科..网
6.【2018年文北京卷】设是等差数列,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求.
【答案】(I) (II)
【解析】分析:(1)设公差为,根据题意可列关于的方程组,求解,代入通项公式可得;(2)由(1)可得,进而可利用等比数列求和公式进行求解.
详解:(I)设等差数列的公差为,∵,∴,又,∴.
∴.
(II)由(I)知,∵,∴是以2为首项,2为公比的等比数列.
∴.
∴
点睛:等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量,知道其中三个可求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
7.【2018年江苏卷】设,对1,2,···,n的一个排列,如果当s0时,,所以单调递减,
从而