高考数学试题分类汇编函数与导数 54页

函数与导数 一、选择题 ‎1. 设是定义在上的奇函数，当时，，则 ‎ （A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）3‎ ‎3.若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 ‎（A）（，b） (B) (‎10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎.‎ ‎0.5‎ ‎1‎ x y O ‎0.5‎ ‎4.函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是 ‎（A）1 (B) 2 ‎ ‎ (C) 3 (D) ‎ ‎5.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75，25 B. 75，‎16 C. 60，25 D. 60，16‎ ‎6.已知点,,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ‎ A. 4 B. ‎3 ‎ C. 2 D. 1‎ ‎8.对于函数 (其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 ‎ ‎ A．4和6 B．3和‎1 ‎ C．2和4 D．1和2‎ ‎9.已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ‎ ‎ ①△ABC一定是钝角三角形 ‎ ②△ABC可能是直角三角形 ‎ ③△ABC可能是等腰三角形 ‎ ④△ABC不可能是等腰三角形 ‎ 其中，正确的判断是 ‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎10.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．（－1，1）B．（－2，2）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）‎ ‎11.已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ‎ A．－3 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎12.）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．9 ‎ ‎13.设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ‎ A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 ‎14.函数的定义域是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎15.设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意,；．则下列等式恒成立的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ ‎16.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 ‎，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎17.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则 A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克 ‎18.曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎19.已知函数若有则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎20.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．‎ ‎21.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎22.若，则的定义域为( )‎ ‎ B. C. D.‎ ‎23.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）‎ A.1 B‎.2 C. D.‎ ‎24.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）‎ A.01 B‎.43 C.07 D.49‎ ‎25.若，则定义域为 A. B. C. D.‎ ‎26.设，则的解集为 A. B. C. D.‎ ‎28.设函数，则满足的x的取值范围是 ‎ A．，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]‎ ‎29.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ‎ A．（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）‎ ‎30.若函数为奇函数，则a= ‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎31.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ‎ ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎32.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎ ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎33.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎【答案】D ‎34.（全国Ⅰ文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎35. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则= ‎ ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎36.（全国Ⅱ理2）函数＝（≥0）的反函数为 ‎(A)＝（∈R） (B)＝（≥0） (C)＝（∈R） (D)＝（≥0）‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。‎ ‎【解析】由＝，得＝.函数＝（≥0）的反函数为＝.（≥0）‎ ‎37.（全国Ⅱ理8）曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。‎ ‎【解析】，故曲线在点（0,2）处的切线方程为，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。‎ ‎38.（全国Ⅱ理9）设是周期为2的奇函数，当时，，则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。‎ ‎【解析】。‎ ‎39.（山东理9）函数的图象大致是 ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.‎ ‎40.（山东理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.‎ ‎41.（山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ‎ （A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15‎ ‎【答案】C ‎42.（陕西理3）设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．‎ ‎【解析】选由得是偶函数，所以函数 的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．‎ ‎43.（陕西文4） 函数的图像是 （ ） ‎ ‎【答案】B ‎【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．‎ ‎【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．‎ ‎44.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎【答案】A ‎45.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎46.（四川理7）若是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是 ‎【答案】A ‎【解析】当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．‎ ‎47.（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎【答案】A ‎【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．‎ ‎48.（天津理2）函数的零点所在的一个区间是（　　）．‎ ‎　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解法1．因为，，，‎ 所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｂ．‎ 解法2．可化为．‎ 画出函数和的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且，由此可排除Ａ，故选Ｂ．‎ ‎49.（天津理8）设函数若，则实数的取值范围是（ 　 ）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　Ｂ．‎ ‎　　Ｃ．　　　　Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则，即，所以，‎ 若则，即，所以，。‎ 所以实数的取值范围是或，即．故选C．‎ ‎50.（天津文4）函数的零点所在的一个区间是（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，‎ ‎，所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｃ．‎ ‎51.（天津文6）设，，，则（　　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　　　Ｂ．‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，‎ 所以，‎ 所以，故选Ｄ．‎ ‎52.（天津文10）设函数，则的值域是（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　Ｂ．， ‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解得，则或．因此的解为：．于是 当或时，．‎ 当时，，则，‎ 又当和时，，所以．‎ 由以上，可得或，因此的值域是．故选Ｄ．‎ ‎53.（浙江理1）已知，则的值为 ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎54.（浙江文10）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是 ‎ ‎【答案】D ‎55.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 ‎ ‎（A）（- （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎56.（重庆理10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13‎ ‎【答案】D ‎57. (重庆文3)曲线在点,处的切线方程为 A ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎58. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　　　　　　　(D)‎ ‎【答案】B ‎59. (重庆文7)若函数在处取最小值,则 ‎(A)　　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)3　　　　　　　　　　　　 (D)4‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎60. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎61.（浙江文11）设函数 ,若,则实数=________________________‎ ‎【答案】-1‎ ‎62.（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，‎ 则当时，不恒成立，因此．‎ 当时，函数在 是减函数，‎ 因此当时，取得最大值，‎ 于是恒成立等价于的最大值，‎ 即，解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．‎ ‎，‎ 因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．‎ 解得．于是实数的取值范围是．‎ 解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．‎ ‎63.（天津理16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解法１．不等式化为，即 ‎，‎ 整理得，‎ 因为，所以，设，．‎ 于是题目化为，对任意恒成立的问题．‎ 为此需求，的最大值．设，则．‎ 函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．‎ ‎，所以，‎ 整理得，即，‎ 所以，解得或，‎ 因此实数的取值范围是．‎ 解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．‎ 为此需求，的最大值．‎ 设，则．．‎ 因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 从而有最大值．所以，整理得，‎ 即，所以，解得或，‎ 因此实数的取值范围是．‎ 解法3．不等式化为，即 ‎，‎ 整理得，‎ ‎　　令．‎ 由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，‎ 所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，‎ 即实数应满足 ‎　解得，因此实数的取值范围是．‎ 解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，‎ 恒成立，‎ 则对，不等式也成立，‎ 把代入上式得，即 ‎，因为，上式两边同乘以，并整理得 ‎，即，所以，解得或 ‎，‎ 因此实数的取值范围是． ‎ ‎64.（四川理13）计算_______．‎ ‎【答案】－20‎ ‎【解析】．‎ ‎65.（四川理16）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：‎ ‎①函数（xR）是单函数；‎ ‎②若为单函数，且，则；‎ ‎③若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；‎ ‎④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．‎ 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．‎ ‎66.（上海文3）若函数的反函数为，则 ‎【答案】‎ ‎67.（上海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 ‎ ‎【答案】‎ ‎68.（上海文14）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 ‎ ‎【答案】‎ ‎69.（上海理1）函数的反函数为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎71.（上海理13） 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎72.（陕西文11）设，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．‎ ‎【解析】∵，∴，所以，即．‎ ‎73.（陕西理11）设，若，则 ．‎ ‎【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.‎ ‎【解析】因为，所以，又因为，‎ 所以，所以，．‎ ‎【答案】1‎ ‎74.（陕西理12）设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．‎ ‎【答案】3或4‎ ‎【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．‎ ‎【解析】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．‎ ‎75.（山东理16）已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.‎ ‎76.（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎77.（江苏2）函数的单调增区间是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在在大于零,且增.‎ 本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题 ‎78.（江苏8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】设经过原点的直线与函数的交点为，，则.‎ 本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.‎ ‎79.（江苏11）已知实数，函数，若，则a的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 .‎ ‎，不符合； .‎ 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.‎ ‎80.（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设则，过点P作的垂线 ‎，‎ ‎，所以，t在上单调增，在单调减，.‎ 本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题. ‎ ‎81.（湖南文12）已知为奇函数， ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，又为奇函数，所以。‎ ‎82.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地 震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。‎ ‎【答案】6，10000‎ ‎83.（广东文12）设函数若，则 ．‎ ‎【答案】-9‎ ‎84.（广东理12）函数在 处取得极小值.‎ ‎ 【答案】‎ ‎85.（北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。‎ ‎86.（安徽文13）函数的定义域是 . ‎ ‎【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.‎ ‎【解析】由可得，即，所以.‎ 三、解答题 ‎87.（安徽理16）设，其中为正实数 ‎（Ⅰ）当时，求的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。‎ 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.‎ ‎ 解：对求导得 ①‎ ‎ （I）当，若 ‎ 综合①,可知 ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 所以,是极小值点,是极大值点.‎ ‎ （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 ‎ 在R上恒成立，因此由此并结合，知 ‎88.（北京理18）已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若对，，都有，求的取值范围。‎ 解：(1)，令得 当时，在和上递增，在上递减；‎ 当时，在和上递减，在上递增 ‎(2) 当时，；所以不可能对，都有；‎ 当时有（1）知在上的最大值为，所以对，‎ 都有 即，故对，都有时，的取值范围为。‎ ‎89.（北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；‎ ‎（II）求在区间上的最小值。‎ 解：（I），令；所以在上递减，在上递增；‎ ‎（II）当时，函数在区间上递增，所以；‎ 当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；‎ 当时，函数在区间上递减，所以。‎ ‎90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品‎11千克．‎ ‎ (Ⅰ) 求的值；‎ ‎ (Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ 解：(Ⅰ)因为时，所以；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：‎ ‎；‎ ‎，令得 函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.‎ ‎91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。‎ ‎（Ⅰ）求实数b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。‎ 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。‎ ‎92.（广东理21）‎ ‎（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：‎ ‎；‎ 解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又，‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎93.（广东文19） 设,讨论函数 的单调性．‎ 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）‎ 综上所述，f(x)的单调区间如下表：‎ ‎（其中）‎ ‎94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=‎ ‎（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以，当时，在区间上取得最大值．‎ 综上，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则；‎ ‎（2）若…=1，则…+。‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，令，‎ 在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时有即，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵∴即 ‎（2）①先证，令，则 由（1）知 ‎∴；‎ ‎②再证…+，记 则于是由（1）得 所以…+。综合①②，（2）得证 ‎96.（湖北文20）设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。‎ ‎(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；‎ ‎(II)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；‎ 切线的方程：‘‎ ‎(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根 ‎，故是方程的两个相异实根，所以；‎ 又对任意的，恒成立，特别地，取时，‎ 成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：‎ ‎；又 所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。‎ ‎97.（湖南文22）设函数 ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ 解析：（I）的定义域为 令 当故上单调递增．‎ 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 若存在，使得则．即．亦即[来源: ]‎ 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎98.（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ ‎99.（湖南理22） 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ 解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当 时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：[来源: ]‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎ ‎100.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为‎60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.‎ ‎【解】（1）根据题意有（00‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故 (x）>0,而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]‎ ‎108.（全国Ⅰ文21）设函数 ‎（Ⅰ）若a=，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围 ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。‎ ‎（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.‎ 若，则当时，，为减函数，而，从而当 时＜0，即＜0.综合得的取值范围为 ‎109.（全国Ⅱ理22）（Ⅰ）设函数，证明：当＞0时，＞0；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：＜＜.‎ ‎【命题立意】：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识解决函 数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【解析】（Ⅰ），（仅当时）‎ 故函数在单调递增.当时，，故当＞0时，＞0.‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为，要证＜（）19＜.‎ 先证： 即证 即证而 ‎………‎ 所以. 即 再证：，即证，即证，即证 由（Ⅰ），当＞0时，＞0.‎ 令则，即 综上有：‎ ‎110.（全国Ⅱ文20）已知函数 ‎(Ⅰ)证明：曲线 ‎（Ⅱ）若,求的取值范围。‎ ‎【解析】(Ⅰ) ，，又 曲线的切线方程是：，在上式中令，得 所以曲线 ‎（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；‎ ‎(ii)当或时，由得 故。由题设知，当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是。‎ ‎111.（山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).‎ ‎（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.‎ ‎112.（陕西理21）设函数定义在上，，导函数，．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．‎ ‎【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，‎ ‎∴；，∴，令，即，解得，‎ 当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；‎ 当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；‎ 所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以的最小值是．‎ ‎（2），设，则，‎ 当时，，即，当时，，，‎ 因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；‎ 当时，=0，∴． ‎ ‎（3）满足条件的不存在．证明如下：‎ 证法一 假设存在，使对任意成立，‎ 即对任意有 ①‎ 但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，‎ 因此不存在，使对任意成立．‎ 证法二 假设存在，使对任意成立，‎ 由（1）知，的最小值是，‎ 又，而时，的值域为，∴当时，的值域为，‎ 从而可以取一个值，使，即,∴，这与假设矛盾．∴不存在，使对任意 成立．‎ ‎113.（陕西文21）设，．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．‎ ‎【解】（1）由题设知，∴令0得=1，‎ 当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。‎ 当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，‎ 因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为 ‎(2)，设，则，‎ 当时，，即，当时，，‎ 因此，在内单调递减，当时，，即 ‎（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立 即从而得。‎ ‎114.（上海理20） 已知函数，其中常数满足 ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，求时的的取值范围．‎ 解：⑴ 当时，任意，‎ 则 ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。‎ ‎⑵，当时，，则；当时，，则。‎ ‎115.（上海文21）已知函数，其中常数满足 ‎（1）若，判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，求时的的取值范围.‎ 解：⑴ 当时，任意，‎ 则 ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。‎ ‎⑵ ‎ 当时，，则；‎ 当时，，则。‎ ‎116.（四川理22）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）设，解关于x的方程；‎ ‎（Ⅲ）试比较与的大小．‎ 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）由（）知，，令，得．‎ 当时，；当时，．‎ 故当时，是减函数；时，是增函数．‎ 函数在处有得极小值．‎ ‎（Ⅱ）方法一：原方程可化为，‎ 即为，且 ‎①当时，，则，即，‎ ‎，此时，∵，‎ 此时方程仅有一解．‎ ‎②当时，，由，得，，‎ 若，则，方程有两解；‎ 若时，则，方程有一解；‎ 若或，原方程无解．‎ 方法二：原方程可化为，‎ 即，‎ ‎①当时，原方程有一解；‎ ‎②当时，原方程有二解；‎ ‎③当时，原方程有一解；‎ ‎④当或时，原方程无解．‎ ‎（Ⅲ）由已知得．‎ 设数列的前n项和为，且（）‎ 从而，当时，．‎ 又 ‎．‎ 即对任意时，有，又因为，所以．‎ 故．‎ ‎117.（四川文22）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）设函数F(x)＝‎18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）设，解关于x的方程；‎ ‎（Ⅲ）设，证明：．‎ 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎．‎ 令，得（舍去）．‎ 当时．；当时，，‎ 故当时，为增函数；当时，为减函数．‎ 为的极大值点，且．‎ ‎（Ⅱ）方法一：原方程可化为，‎ 即为，且 ‎①当时，，则，即，‎ ‎，此时，∵，‎ 此时方程仅有一解．‎ ‎②当时，，由，得，，‎ 若，则，方程有两解；‎ 若时，则，方程有一解；‎ 若或，原方程无解．‎ 方法二：原方程可化为，‎ 即，‎ ‎①当时，原方程有一解；‎ ‎②当时，原方程有二解；‎ ‎③当时，原方程有一解；‎ ‎④当或时，原方程无解．‎ ‎（Ⅲ）由已知得，‎ ‎．‎ 设数列的前n项和为，且（）‎ 从而有，当时，．‎ 又 ‎．‎ 即对任意时，有，又因为，所以．‎ 则，故原不等式成立．‎ ‎118.（天津理21）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，．‎ ‎（Ⅲ）如果，且，证明．‎ ‎【解】（Ⅰ）．令，则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．‎ 函数在处取得极大值．且．‎ ‎（Ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，‎ 所以，于是．‎ 记，则，，‎ 当时，，从而，又，所以，‎ 于是函数在区间上是增函数．‎ 因为，所以，当时，．因此．‎ ‎（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ ‎(2) 若，由由（Ⅰ）及,得,与矛盾；‎ 根据(1)，(2)可得．不妨设．‎ 由（Ⅱ）可知，所以．‎ 因为，所以，又，由（Ⅰ），在区间内是增函数，‎ 所以　，即．‎ ‎119.（天津文20）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解】（Ⅰ）当时，，．，．‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：‎ ‎(1) 若,则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于 ‎　　即解得，又因为，所以．‎ ‎(2) 若，则．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 极小值 增 所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．‎ 因此在区间上，恒成立，等价于　　　即 解得或，又因为，所以．‎ 综合(1),(2), 的取值范围为.‎ ‎120.（浙江理22）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 解：（Ⅰ）定义域为， ………2分 ‎ 令，令 ‎ 故的单调递增区间为，的单调递减区间为 的极大值为 ‎（Ⅱ）证：要证 ‎ 即证， 即证 ‎ 即证 ‎ 令，由（Ⅰ）可知在上递减，故 ‎ 即，令，故 ‎ 累加得，‎ ‎ 故，得证 ‎ 法二：=‎ ‎，其余相同证法.‎ ‎121.（浙江文21）设函数，‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．‎ ‎ 注：为自然对数的底数．‎ ‎（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为，所以 ‎ 由于，所以的增区间为，减区间为 ‎ （Ⅱ）证明：由题意得，，由（Ⅰ）知内单调递增，‎ ‎ 要使恒成立，只要，解得 ‎122.（重庆理18）设的导数满足，其中常数。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ) 设，求函数的极值。‎ 解：（Ⅰ）则；‎ ‎；所以，于是有 故曲线在点处的切线方程为：‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令；‎ 于是函数在上递减，上递增，上递减；‎ 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。‎ ‎123. (重庆文19)设的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值 解：(Ⅰ)，函数的图象关于直线对称，‎ 所以，又；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)，‎ 令；‎ 函数在上递增，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极大值。‎