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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(I卷)
本试题卷共5页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合,,则
(A) (B) (C) (D)
【解析】:,.故.
故选D.
(2)设,其中是实数,则
(A) (B) (C) (D)
【解析】:由可知:,故,解得:.所以,.
故选B.
(3)已知等差数列前项的和为,,则
(A) (B) (C) (D)
【解析】:由等差数列性质可知:,故,而,因此公差
∴.故选C.
(4)某公司的班车在,,发车,小明在至之间到达发车站乘
坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A) (B) (C) (D)
【解析】:如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率.故选B.
(5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的
取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【解析】:表示双曲线,则,∴
由双曲线性质知:,其中是半焦距,∴焦距,解得
∴,故选A.
(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的
表面积是
(A) (B) (C) (D)
【解析】:原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的后的三视图
表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
故选A.
(7)函数在的图像大致为
(A) (B)
(C) (D)
【解析】:,排除A;,排除B;
时,,,当时,
因此在单调递减,排除C;故选D.
(8)若,,则
(A) (B) (C) (D)
【解析】: 由于,∴函数在上单调递增,因此,A错误;
由于,∴函数在上单调递减,∴,B错误;
要比较和,只需比较和,只需比较和,只需和,
构造函数,则,在上单调递增,因此
,又由得,
∴,C正确;
要比较和,只需比较和,而函数在上单调递增,
故,又由得,∴,D错误;
故选C.
(9)执行右面的程序框图,如果输入的,,,
则输出的值满足
(A) (B)
(C) (D)
【解析】:第一次循环:;
第二次循环:;
第三次循环:;
输出,,满足;故选C.
(10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点,已知,,则的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【解析】:以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理
设抛物线为,设圆的方程为,如图:
F
设,,点在抛物线上,
∴……①;点在圆上,
∴……②;点在圆上,
∴……③;联立①②③解得:,
焦点到准线的距离为.故选B.
(11)平面过正方体的顶点,平面,
平面 ,平面,则所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】:如图所示:
∵,∴若设平面平面,则
又∵平面∥平面,结合平面平面
∴,故,同理可得:
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等,即的大小.
而(均为面对交线),因此,即.
故选A.
(12)已知函数,为的零点,为
图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
【解析】:由题意知:
则,其中,在单调,
接下来用排除法:若,此时,在递增,在递减,不满足在单调;若,此时,满足在单调递减。故选B.
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。
(13)设向量a,b,且abab,则 .
【解析】:由已知得:,∴,解得.
(14)的展开式中,的系数是 .(用数字填写答案)
【解析】:设展开式的第项为,,∴.
当时,,即,故答案为10.
(15)设等比数列满足,,则的最大值为 .
【解析】:由于是等比数列,设,其中是首项,是公比.
∴,解得:.故,∴
,当或时,取到最小值,此时取到最大值.所以的最大值为64.
(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【解析】:设生产A产品件,B产品件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则约束为
目标函数;
作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为,在处取得最大值,
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
的内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,的面积为,求的周长.
【解析】:⑴ ,由正弦定理得:
,∵,,∴
∴,,∵,∴
⑵ 由余弦定理得:,,
,∴,∴,
∴周长为
(18)(本小题满分12分)
如图,在以为顶点的五面体中,面
为正方形,,且二面
角与二面角都是.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【解析】:⑴ ∵为正方形,∴,∵,∴,∵
∴面,面,∴平面平面
⑵ 由⑴知,
∵,平面,平面
∴平面,平面
∵面面
∴,∴
∴四边形为等腰梯形
以为原点,如图建立坐标系,设,
,,,设面法向量为,,即,,
设面法向量为,.即
,,设二面角的大小为.
,二面角的余弦值为
(19)(本小题满分12分)
某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求,确定的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?
【解析】:⑴ 每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11
记事件为第一台机器3年内换掉个零件
记事件为第二台机器3年内换掉个零件
由题知,
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为,则的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22
16
17
18
19
20
21
22
⑵ 要令,,
则的最小值为19;
⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用
当时,费用的期望为
当时,费用的期望为
所以应选用
(20)(本小题满分12分)
设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点.
(Ⅰ)证明为定值,并写出点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
【解析】:⑴ 圆A整理为,A坐标,如图,
,则,由,
则,
根据椭圆定义为一个椭圆,方程为,();
⑵ ;设,因为,设,
联立: ,则
圆心到距离,
所以,
(21)(本小题满分12分)
已知函数有两个零点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是的两个零点,证明:.
【解析】:⑴ 由已知得:
① 若,那么,只有唯一的零点,不合题意;
② 若,那么,
所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;
即:
↓
极小值
↑
故在上至多一个零点,在上至多一个零点
由于,,则,
根据零点存在性定理,在上有且仅有一个零点.
而当时,,,
故
则的两根,, ,因为,故当或时,
因此,当且时,
又,根据零点存在性定理,在有且只有一个零点.
此时,在上有且只有两个零点,满足题意.
③ 若,则,
当时,,,
即,单调递增;
当时,,,即,单调递减;
当时,,,即,单调递增.
即:
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
而极大值
故当时,在处取到最大值,那么恒成立,即无解
而当时,单调递增,至多一个零点
此时在上至多一个零点,不合题意.
④ 若,那么
当时,,,即,单调递增
当时,,,即,单调递增
又在处有意义,故在上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.
⑤ 若,则
当时,,,即,单调递增
当时,,,即,单调递减
当时,,,即,
单调递增
即:
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
故当时,在处取到最大值,那么恒成立,即无解
当时,单调递增,至多一个零点,此时在上至多一个零点,不合题意.
综上所述,当且仅当时符合题意,即的取值范围为.
⑵ 由已知得:,不难发现,,
故可整理得:, ,则
,当时,,单调递减;当时,,单调递增.
设,构造代数式:
设,,则,故单调递增,有.
因此,对于任意的,.
由可知、不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有
令,则有
而,,在上单调递增,因此:
整理得:.
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
图,是等腰三角形,.以为圆心,
为半径作圆.
(Ⅰ)证明:直线与⊙相切;
(Ⅱ)点在⊙上,且四点共圆,证明:.
【解析】:⑴ 设圆的半径为,作于
∵,∴
∴与相切
⑵ 方法一:
假设与不平行,与交于,
∵四点共圆,∴
∵,∴
由①②可知矛盾,∴
方法二:
因为,因为所以为的中垂线上,同理所以的中垂线,所以.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(Ⅰ)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线与的公共点都在上,求.
【解析】:⑴ (均为参数),∴ ①
∴为以为圆心,为半径的圆.方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程
⑵ ,两边同乘得
,即 ②,:化为普通方程为
由题意:和的公共方程所在直线即为,①—②得:,即为
∴,∴
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(Ⅱ)求不等式的解集.
【解析】:⑴ 如图所示:
⑵ ,,
①,,解得或,
②,,解得或,或
③,,解得或,或
综上,或或
,解集为