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  • 2021-05-13 发布

高考全国I卷理科数学试题逐题解析1

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(I卷)‎ 本试题卷共5页,24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设集合,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:,.故.‎ 故选D.‎ ‎(2)设,其中是实数,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:由可知:,故,解得:.所以,.‎ 故选B.‎ ‎(3)已知等差数列前项的和为,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:由等差数列性质可知:,故,而,因此公差 ‎ ∴.故选C.‎ ‎(4)某公司的班车在,,发车,小明在至之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:如图所示,画出时间轴:‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率.故选B.‎ ‎(5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的 ‎ 取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:表示双曲线,则,∴‎ 由双曲线性质知:,其中是半焦距,∴焦距,解得 ‎∴,故选A.‎ ‎(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的 表面积是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的后的三视图 表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A.‎ ‎(7)函数在的图像大致为 ‎(A) (B)‎ (C) ‎(D)‎ ‎【解析】:,排除A;,排除B;‎ 时,,,当时,‎ 因此在单调递减,排除C;故选D.‎ ‎(8)若,,则 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】: 由于,∴函数在上单调递增,因此,A错误;‎ 由于,∴函数在上单调递减,∴,B错误;‎ 要比较和,只需比较和,只需比较和,只需和,‎ 构造函数,则,在上单调递增,因此 ‎,又由得,‎ ‎∴,C正确;‎ 要比较和,只需比较和,而函数在上单调递增,‎ 故,又由得,∴,D错误;‎ 故选C.‎ ‎(9)执行右面的程序框图,如果输入的,,,‎ 则输出的值满足 ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎【解析】:第一次循环:;‎ 第二次循环:;‎ 第三次循环:;‎ 输出,,满足;故选C.‎ ‎(10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线于两点,已知,,则的焦点到准线的距离为 ‎ (A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎【解析】:以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为,设圆的方程为,如图:‎ F 设,,点在抛物线上,‎ ‎∴……①;点在圆上,‎ ‎∴……②;点在圆上,‎ ‎∴……③;联立①②③解得:,‎ 焦点到准线的距离为.故选B.‎ ‎(11)平面过正方体的顶点,平面,‎ 平面 ,平面,则所成角的正弦值为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】:如图所示:‎ ‎∵,∴若设平面平面,则 又∵平面∥平面,结合平面平面 ‎∴,故,同理可得:‎ 故、的所成角的大小与、所成角的大小相等,即的大小.‎ 而(均为面对交线),因此,即.‎ 故选A.‎ ‎(12)已知函数,为的零点,为 ‎ 图像的对称轴,且在单调,则的最大值为 ‎ (A)11 (B)9 (C)7 (D)5‎ ‎【解析】:由题意知:‎ 则,其中,在单调,‎ 接下来用排除法:若,此时,在递增,在递减,不满足在单调;若,此时,满足在单调递减。故选B.‎ 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分。‎ ‎(13)设向量a,b,且abab,则 .‎ ‎【解析】:由已知得:,∴,解得.‎ ‎(14)的展开式中,的系数是 .(用数字填写答案)‎ ‎【解析】:设展开式的第项为,,∴.‎ 当时,,即,故答案为10.‎ ‎(15)设等比数列满足,,则的最大值为 .‎ ‎【解析】:由于是等比数列,设,其中是首项,是公比.‎ ‎∴,解得:.故,∴‎ ‎,当或时,取到最小值,此时取到最大值.所以的最大值为64.‎ ‎(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料‎1.5kg,乙材料‎1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料‎0.5kg,乙材料‎0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料‎150kg,乙材料‎90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.‎ ‎【解析】:设生产A产品件,B产品件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规则约束为 目标函数;‎ 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为,在处取得最大值,‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎ 的内角的对边分别为,已知.‎ ‎ (Ⅰ)求;‎ ‎ (Ⅱ)若,的面积为,求的周长.‎ ‎【解析】:⑴ ,由正弦定理得:‎ ‎,∵,,∴‎ ‎∴,,∵,∴‎ ⑵ 由余弦定理得:,,‎ ‎,∴,∴,‎ ‎∴周长为 ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,在以为顶点的五面体中,面 为正方形,,且二面 角与二面角都是.‎ ‎ (Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】:⑴ ∵为正方形,∴,∵,∴,∵‎ ‎∴面,面,∴平面平面 ⑵ 由⑴知,‎ ‎∵,平面,平面 ‎∴平面,平面 ‎∵面面 ‎∴,∴‎ ‎∴四边形为等腰梯形 以为原点,如图建立坐标系,设,‎ ‎,,,设面法向量为,,即,,‎ 设面法向量为,.即 ‎,,设二面角的大小为.‎ ‎,二面角的余弦值为 ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎ 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ ‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎ (Ⅰ)求X的分布列;‎ ‎ (Ⅱ)若要求,确定的最小值;‎ ‎ (Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?‎ ‎【解析】:⑴ 每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11‎ 记事件为第一台机器3年内换掉个零件 记事件为第二台机器3年内换掉个零件 由题知,‎ 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为,则的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ⑵ 要令,,‎ 则的最小值为19;‎ ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用 当时,费用的期望为 当时,费用的期望为 所以应选用 ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎ 设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点.‎ ‎ (Ⅰ)证明为定值,并写出点的轨迹方程;‎ ‎ (Ⅱ)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.‎ ‎【解析】:⑴ 圆A整理为,A坐标,如图,‎ ‎,则,由,‎ 则,‎ 根据椭圆定义为一个椭圆,方程为,();‎ ‎⑵ ;设,因为,设,‎ 联立: ,则 圆心到距离,‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数有两个零点.‎ ‎ (Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎ (Ⅱ)设是的两个零点,证明:.‎ ‎【解析】:⑴ 由已知得:‎ ‎① 若,那么,只有唯一的零点,不合题意;‎ ‎② 若,那么,‎ 所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;‎ 即:‎ ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 故在上至多一个零点,在上至多一个零点 由于,,则,‎ 根据零点存在性定理,在上有且仅有一个零点.‎ 而当时,,,‎ 故 则的两根,, ,因为,故当或时,‎ 因此,当且时,‎ 又,根据零点存在性定理,在有且只有一个零点.‎ 此时,在上有且只有两个零点,满足题意.‎ ‎③ 若,则,‎ 当时,,,‎ 即,单调递增;‎ 当时,,,即,单调递减;‎ 当时,,,即,单调递增.‎ 即:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 而极大值 故当时,在处取到最大值,那么恒成立,即无解 而当时,单调递增,至多一个零点 此时在上至多一个零点,不合题意.‎ ‎④ 若,那么 当时,,,即,单调递增 当时,,,即,单调递增 又在处有意义,故在上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.‎ ‎⑤ 若,则 当时,,,即,单调递增 当时,,,即,单调递减 当时,,,即,‎ 单调递增 即:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 故当时,在处取到最大值,那么恒成立,即无解 当时,单调递增,至多一个零点,此时在上至多一个零点,不合题意.‎ 综上所述,当且仅当时符合题意,即的取值范围为.‎ ⑵ 由已知得:,不难发现,,‎ 故可整理得:, ,则 ‎,当时,,单调递减;当时,,单调递增.‎ 设,构造代数式:‎ 设,,则,故单调递增,有.‎ 因此,对于任意的,.‎ 由可知、不可能在的同一个单调区间上,不妨设,则必有 令,则有 而,,在上单调递增,因此:‎ 整理得:.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 ‎ 图,是等腰三角形,.以为圆心,‎ 为半径作圆.‎ ‎ (Ⅰ)证明:直线与⊙相切;‎ ‎ (Ⅱ)点在⊙上,且四点共圆,证明:.‎ ‎【解析】:⑴ 设圆的半径为,作于 ‎∵,∴‎ ‎∴与相切 ‎⑵ 方法一:‎ 假设与不平行,与交于,‎ ‎∵四点共圆,∴‎ ‎∵,∴‎ 由①②可知矛盾,∴‎ 方法二:‎ 因为,因为所以为的中垂线上,同理所以的中垂线,所以.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.‎ ‎ (Ⅰ)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;‎ ‎ (Ⅱ)直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线与的公共点都在上,求.‎ ‎【解析】:⑴ (均为参数),∴ ①‎ ‎∴为以为圆心,为半径的圆.方程为 ‎∵,∴ 即为的极坐标方程 ⑵ ,两边同乘得 ‎,即 ②,:化为普通方程为 由题意:和的公共方程所在直线即为,①—②得:,即为 ‎∴,∴‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出的图像;‎ ‎ (Ⅱ)求不等式的解集.‎ ‎【解析】:⑴ 如图所示:‎ ‎⑵ ,,‎ ‎①,,解得或,‎ ‎②,,解得或,或 ‎③,,解得或,或 综上,或或 ‎,解集为