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- 2021-05-13 发布
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总纲:条件中同时含有 边和角,若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案,则都化成边(即“角化边”),或者都化成角(即“边化角”)来处理。
第一阶:
典例1(直接使用正余弦定理):(2013年高考上海卷(理)改编)设的内角的对边分别为,若,则=
典例2:(不能直接使用定理)
在中,
(1) 已知,判断的形状
(2) 已知,判断的形状
第二阶:
方法指导:含有的齐次式,优先考虑使用 正弦定理 , 角化边。
例3:(2013年高考天津卷(文))设的内角的对边分别为已知
, = 3, .
(Ⅰ) 求b的值;
(Ⅱ) 求的值.
练习3.(2013年高考江西卷(文))设的内角的对边分别为已知
(1) 求证: 成等差数列; (2) 若=,求的值.
方法指导:含有,,的齐次式,优先考虑使用 正弦定理 边化角。
例4.(2013年高考陕西卷(理))设的内角的对边分别为, 若, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
练习4.(2013年辽宁数学(理)试题)在,内角所对的边长分别为而且 ,则
A. B. C. D.
方法指导:含有的式子,优先考虑 余弦定理 角化边。
例5.(2011山东理17)在,内角所对的边长分别为,已知.
(I)求的值; (II)若,=2,的面积S。
第三阶:
方法指导: 代数变形 或者 三角恒等变形后置
例6:已知,判断的形状
练习6:(2011山东理17)在,内角所对的边长分别为,已知.
(I)求的值; (II)若,=2,的面积S。
方法指导:代数变形 或者 三角恒等变形 前置
例7(代数变形前置):(2013年高考大纲卷(文))设的内角的对边分别为,. (I)求 (II)若,求
例8(三角恒等变形前置):(2013年高考四川卷(文))在中,角的对边分别为,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.
方法指导:含有 面积公式 的问题,要考虑可能结合 余弦定理 使用。
例9:2012年江西卷16.(本小题满分12分)
△在内角的对边分别为,已知
(1)求cosA;
(2)若,△ABC的面积为,求、。
方法指导:同时出现 两个自由角(甚至三个自由角)的时候,要用到
例:10:2011(湖南理17)△在内角的对边分别为,且满足
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值时角、的大小。(提示:、两个角可以消掉一个角)
练习10:(2013年新课标Ⅱ卷数学(理))△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;(提示:使用)
(Ⅱ)若,求△面积的最大值.(法1:可以结合余弦定理,使用基本不等式,)(法2:使用消元,化为一元函数)
参考答案:
典例1:
典例2:(1)等腰三角形 (2)等腰三角形 或 直角三角形
例3 : (1) (2)
练习3: (1),故成等差数列 (2)
例4:
例5: (2)
例6:等腰三角形 或 直角三角形
练习6: (2)
例7:(1) (2)或
例8 :(1) (2)投影为
例9:(1) (2)或
例10:(1) (2)最大值为2,此时或
练10:(1) (2)最大值为,此时