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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)
本试卷满分150分,考试时120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.设,,,且,则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.在中,,,,则( )
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
A. B.
C. D.
7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是
A. B.
C. D.
8.如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有( )
A.个 B.个 C.个
D.个
第二部分(选择题 共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9.若抛物线的焦点坐标为,则 ,准线方程为 。
10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为 。
11.若等比数列满足,,则公比 ;前项和 。
12.设为不等式组所表示的平面区域,区域上的点与点之间的距离的最小值为 。
13.函数的值域为 。
14.向量,,,若平面区域由所有满足(,)的点组成,则的面积为 。
三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)
15.(本小题共13分)
已知函数
(1)求的最小正周期及最大值。
(2)若,且,求的值。
16.(本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市,并停留2天。
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。
(2)求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。
(3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
17.(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:
(1)底面
(2)平面
(3)平面平面
18.(本小题共13分)
已知函数
(1)若曲线在点处与直线相切,求与的值。
(2)若曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范围。
19.(本小题共14分)
直线():相交于,两点,是坐标原点
(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长。
(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形。
20.(本小题共13分)
给定数列,,,。对,该数列前项的最大值记为,后项,,,的最小值记为,。
(1)设数列为,,,,写出,,的值。
(2)设,,,()是公比大于的等比数列,且,证明,,,是等比数列。
(3)设,,,是公差大于的等差数列,且,证明,,,是等差数列。
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9., 10. 11.,
12. 13. 14.
1.
答案:B
解析:集合A中的元素仅有-1,0,1三个数,集合B中元素为大于等于-1且小于1的数,故集合A,B的公共元素为-1,0,故选B.
2.
答案:D
解析:A选项中若c小于等于0则不成立,B选项中若a为正数b为负数则不成立,C选项中若a,b均为负数则不成立,故选D.
3.
答案:C
解析:A选项为奇函数,B选项为非奇非偶函数,D选项虽为偶函数但在(0,+∞)上是增函数,故选C.
4.
答案:A
解析:i(2-i)=1+2i,其在复平面上的对应点为(1,2),该点位于第一象限,故选A.
5.
答案:B
解析:根据正弦定理,,则sin B=sin A=,故选B.
6.
答案:C
解析:i=0时,向下运行,将赋值给S,i增加1变成1,经判断执行否,然后将赋值给S,i增加1变成2,经判断执行是,然后输出,故选C.
7.
答案:C
解析:该双曲线离心率,由已知,故m>1,故选C.
8.
答案:B
解析:设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.
则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),A1(a,0,a),P,
则||=,
||=,
||=,
||=||=,
||=||=,
||=,
故共有4个不同取值,故选B.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.答案:2 x=-1
解析:根据抛物线定义,∴p=2,又准线方程为x==-1,故填2,x=-1.
10.
答案:3
解析:由三视图知该四棱锥底面为正方形,其边长为3,四棱锥的高为1,根据体积公式V=×3×3×1=3,故该棱锥的体积为3.
11.答案:2 2n+1-2
解析:根据等比数列的性质知a3+a5=q(a2+a4),
∴q=2,又a2+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2,
∴Sn==2n+1-2.
12.答案:
解析:区域D表示的平面部分如图阴影所示:
根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2x-y=0的距离.
13.答案:(-∞,2)
解析:当x≥1时,,即,当x<1时,0<2x<21,即0<2x<2;故f(x)的值域为(-∞,2).
14.(2013北京,文14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为__________.
答案:3
解析:=λ+μ,=(2,1),=(1,2).
设P(x,y),则=(x-1,y+1).
∴得
∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,
可得如图.
可得A1(3,0),B1(4,2),C1(6,3),
|A1B1|=,
两直线距离,
∴S=|A1B1|·d=3.
三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)
15.(本小题共13分)
解:(1)
所以,最小正周期
当(),即()时
(2)因为
所以
因为,所以
所以,即
16.(本小题共13分)
解:(1)因为要停留2天,所以应该在3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其间重度污染的有两天,
所以概率为
(2)此人停留的两天共有13种选择,分别是:,,,,,,,,,,,,
其中只有一天重度污染的为,,,,共4种,
所以概率为
(3)因为第5,6,7三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。
17.(本小题共14分)
证明:(1)因为,平面底面且平面底面
所以底面
(2)因为和分别是和的中点,所以,
而平面,平面,所以平面
(3)因为底面, 平面
所以,即
因为,,所以
而平面,平面,且
所以平面
因为,所以,所以四边形是平行四边形,
所以,而平面,平面
所以平面,同理平面,
而平面,平面且
所以平面平面, 所以平面
又因为平面
所以平面平面
18.(本小题共13分)
解:(1)
因为曲线在点处的切线为
所以,即,解得
(2)因为
所以当时,单调递增
当时,单调递减
所以当时,取得最小值,
所以的取值范围是
19.(本小题共14分)
解:(1)线段的垂直平分线为,
因为四边形为菱形,
所以直线与椭圆的交点即为,两点
对椭圆,令得
所以
(2)方法一:当点不是的顶点时,
联立方程得
设,,
则,,
若四边形为菱形,则,即
所以
即
因为点不是的顶点,所以,
所以
即,即
所以
此时,直线与轴垂直,所以为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾,
所以四边形不可能为菱形
方法二:
因为四边形为菱形,所以,
设()
则,两点为圆与椭圆的交点
联立方程得
所以,两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点在上
若,两点的横坐标相等,点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若,两点的横坐标互为相反数,点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形不可能为菱形。
20.(本小题共13分)
解:(1),,
(2)因为,,,()是公比大于的等比数列,且
所以
所以当时,
所以当时,
所以,,,是等比数列。
(3)若,,,是公差大于的等差数列,则
,,,应是递增数列,证明如下:
设是第一个使得的项,则
,,所以,与已知矛盾。
所以,,,,是递增数列
再证明数列中最小项,否则(),则
显然,否则,与矛盾
因而,此时考虑,矛盾
因此是数列中最小项
综上,()
于是,也即,,,是等差数列