• 2.68 MB
  • 2021-05-13 发布

高考试题——北京高考数学文科试题及解析

  • 14页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)‎ 本试卷满分150分,考试时120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设,,,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在复平面内,复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎5.在中,,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.双曲线的离心率大于的充分必要条件是 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有( )‎ A.个 B.个 C.个 ‎ ‎ D.个 第二部分(选择题 共110分)‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.若抛物线的焦点坐标为,则 ,准线方程为 。‎ ‎10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为 。 ‎ ‎11.若等比数列满足,,则公比 ;前项和 。‎ ‎12.设为不等式组所表示的平面区域,区域上的点与点之间的距离的最小值为 。‎ ‎13.函数的值域为 。‎ ‎14.向量,,,若平面区域由所有满足(,)的点组成,则的面积为 。‎ 三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)‎ ‎15.(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数 ‎(1)求的最小正周期及最大值。‎ ‎(2)若,且,求的值。‎ ‎16.(本小题共13分)‎ ‎ 下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染。某人随机选择‎3月1日至14日中的某一天到达该市,并停留2天。‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。‎ ‎(2)求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。‎ ‎(3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)‎ ‎17.(本小题共14分)‎ 如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:‎ ‎(1)底面 ‎(2)平面 ‎(3)平面平面 ‎18.(本小题共13分)‎ 已知函数 ‎(1)若曲线在点处与直线相切,求与的值。‎ ‎(2)若曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范围。‎ ‎19.(本小题共14分)‎ 直线():相交于,两点,是坐标原点 ‎(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长。‎ ‎(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形。‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 给定数列,,,。对,该数列前项的最大值记为,后项,,,的最小值记为,。‎ ‎(1)设数列为,,,,写出,,的值。‎ ‎(2)设,,,()是公比大于的等比数列,且,证明,,,是等比数列。‎ ‎(3)设,,,是公差大于的等差数列,且,证明,,,是等差数列。‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9., 10. 11.,‎ ‎12. 13. 14.‎ ‎1.‎ 答案:B 解析:集合A中的元素仅有-1,0,1三个数,集合B中元素为大于等于-1且小于1的数,故集合A,B的公共元素为-1,0,故选B.‎ ‎2.‎ 答案:D 解析:A选项中若c小于等于0则不成立,B选项中若a为正数b为负数则不成立,C选项中若a,b均为负数则不成立,故选D.‎ ‎3.‎ 答案:C 解析:A选项为奇函数,B选项为非奇非偶函数,D选项虽为偶函数但在(0,+∞)上是增函数,故选C.‎ ‎4.‎ 答案:A 解析:i(2-i)=1+2i,其在复平面上的对应点为(1,2),该点位于第一象限,故选A.‎ ‎5.‎ 答案:B 解析:根据正弦定理,,则sin B=sin A=,故选B.‎ ‎6. ‎ 答案:C 解析:i=0时,向下运行,将赋值给S,i增加1变成1,经判断执行否,然后将赋值给S,i增加1变成2,经判断执行是,然后输出,故选C.‎ ‎7.‎ 答案:C 解析:该双曲线离心率,由已知,故m>1,故选C.‎ ‎8.‎ 答案:B 解析:设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系,如图所示.‎ 则D(0,0,0),D1(0,0,a),C1(0,a,a),C(0,a,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),A(a,0,0),A1(a,0,a),P,‎ 则||=,‎ ‎||=,‎ ‎||=,‎ ‎||=||=,‎ ‎||=||=,‎ ‎||=,‎ 故共有4个不同取值,故选B.‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.答案:2 x=-1‎ 解析:根据抛物线定义,∴p=2,又准线方程为x==-1,故填2,x=-1.‎ ‎10. ‎ 答案:3‎ 解析:由三视图知该四棱锥底面为正方形,其边长为3,四棱锥的高为1,根据体积公式V=×3×3×1=3,故该棱锥的体积为3.‎ ‎11.答案:2 2n+1-2‎ 解析:根据等比数列的性质知a3+a5=q(a2+a4),‎ ‎∴q=2,又a2+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2,‎ ‎∴Sn==2n+1-2.‎ ‎12.答案:‎ 解析:区域D表示的平面部分如图阴影所示:‎ 根据数形结合知(1,0)到D的距离最小值为(1,0)到直线2x-y=0的距离.‎ ‎13.答案:(-∞,2)‎ 解析:当x≥1时,,即,当x<1时,0<2x<21,即0<2x<2;故f(x)的值域为(-∞,2).‎ ‎14.(2013北京,文14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为__________.‎ 答案:3‎ 解析:=λ+μ,=(2,1),=(1,2).‎ 设P(x,y),则=(x-1,y+1).‎ ‎∴得 ‎∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,‎ 可得如图.‎ 可得A1(3,0),B1(4,2),C1(6,3),‎ ‎|A1B1|=,‎ 两直线距离,‎ ‎∴S=|A1B1|·d=3.‎ 三、解答题(共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤)‎ ‎15.(本小题共13分)‎ ‎ 解:(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,最小正周期 当(),即()时 ‎ ‎ ‎(2)因为 ‎ 所以 ‎ 因为,所以 ‎ 所以,即 ‎16.(本小题共13分)‎ 解:(1)因为要停留2天,所以应该在‎3月1日至13日中的某天到达,共有13种选择,其间重度污染的有两天,‎ ‎ 所以概率为 ‎(2)此人停留的两天共有13种选择,分别是:,,,,,,,,,,,,‎ 其中只有一天重度污染的为,,,,共4种,‎ 所以概率为 ‎(3)因为第5,6,7三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。‎ ‎17.(本小题共14分)‎ 证明:(1)因为,平面底面且平面底面 ‎ 所以底面 ‎(2)因为和分别是和的中点,所以,‎ 而平面,平面,所以平面 ‎(3)因为底面, 平面 ‎ 所以,即 因为,,所以 而平面,平面,且 所以平面 因为,所以,所以四边形是平行四边形,‎ 所以,而平面,平面 所以平面,同理平面,‎ 而平面,平面且 ‎ 所以平面平面, 所以平面 ‎ 又因为平面 所以平面平面 ‎18.(本小题共13分)‎ 解:(1)‎ 因为曲线在点处的切线为 所以,即,解得 ‎(2)因为 ‎ 所以当时,单调递增 ‎ 当时,单调递减 ‎ 所以当时,取得最小值,‎ ‎ 所以的取值范围是 ‎19.(本小题共14分)‎ 解:(1)线段的垂直平分线为,‎ ‎ 因为四边形为菱形,‎ 所以直线与椭圆的交点即为,两点 对椭圆,令得 所以 ‎(2)方法一:当点不是的顶点时,‎ ‎ 联立方程得 设,,‎ 则,,‎ ‎ ‎ ‎ 若四边形为菱形,则,即 所以 即 因为点不是的顶点,所以,‎ 所以 即,即 所以 此时,直线与轴垂直,所以为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾,‎ 所以四边形不可能为菱形 方法二:‎ 因为四边形为菱形,所以,‎ 设()‎ 则,两点为圆与椭圆的交点 联立方程得 所以,两点的横坐标相等或互为相反数。‎ 因为点在上 若,两点的横坐标相等,点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。‎ 若,两点的横坐标互为相反数,点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。‎ 所以四边形不可能为菱形。‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 解:(1),,‎ ‎(2)因为,,,()是公比大于的等比数列,且 ‎ 所以 所以当时,‎ 所以当时,‎ 所以,,,是等比数列。‎ ‎(3)若,,,是公差大于的等差数列,则 ‎ ,,,应是递增数列,证明如下:‎ ‎ 设是第一个使得的项,则 ‎ ,,所以,与已知矛盾。‎ ‎ 所以,,,,是递增数列 再证明数列中最小项,否则(),则 显然,否则,与矛盾 因而,此时考虑,矛盾 因此是数列中最小项 综上,()‎ 于是,也即,,,是等差数列