2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版) 9页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎（1）【2017年江苏，1，5分】已知集合，．若，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵集合，．，∴或，解得．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．‎ ‎（2）【2017年江苏，2，5分】已知复数，其中是虚数单位，则的模是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数，∴．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎（3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】产品总数为件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为，则应从丙 种型号的产品中抽取件．‎ ‎【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．‎ ‎（4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入的值为，则输出的值是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】初始值，不满足，所以．‎ ‎【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 ‎ 基础题．‎ ‎（5）【2017年江苏，5，5分】若．则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，∴，解得．‎ ‎【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．‎ ‎（6）【2017年江苏，6，5分】如如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球的半径为R，则球的体积为：，圆柱的体积为：．则．‎ ‎【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎（7）【2017年江苏，7，5分】记函数 的定义域为D．在区间上随机取一个数，则 的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，得，则，则在区间上随机取一个数，则 的概率．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．‎ ‎（8）【2017年江苏，8，5分】在平面直角坐标系中 ，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，，则四边形的面积是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的右准线：，双曲线渐近线方程为：，所以，，‎ ‎．．则四边形的面积是：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎（9）【2017年江苏，9，5分】等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则 ________．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，∵，，∴，，‎ 解得，．则．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（10）【2017年江苏，10，5分】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=（万元）．‎ 当且仅当时取等号．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的导数为：，可得在R上 递增；又，可得为奇函数，‎ 则，即有，即有，解得．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量，，，的模分别为1，1，，与 的夹角为，且，与的夹角为。若（），则 ‎________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】如图所示，建立直角坐标系．．由与的夹角为，且．‎ ‎∴，．∴．．‎ ‎．∴．∵（），‎ ‎∴，，解得，．则．‎ ‎【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（13）【2017年江苏，13，5分】在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，设，则有，‎ ‎，‎ 化为，即，表示直线以及直线下方的区域，‎ 联立，解可得或，由图得：点的横坐标的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于、的关系式．‎ ‎（14）【2017年江苏，14，5分】设是定义在R且周期为1的函数，在区间上， ，其中集合，则方程的解的个数是_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵在区间上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间上，，此时的图象与有且只有 一个交点；同理：区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；区间上，的图象与有且只有一个交点；在区间上，的图象与无交点；故的图象与有8个交点；即方程的解的个数是8．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（15）【2017年江苏，15，14分】如图，在三棱锥中，，，‎ 平面平面，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且．‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2）．‎ 解：（1）在平面内，因为，，所以．又因为平面 ‎，平面，所以．‎ ‎（2）因为平面，平面平面， ‎ 平面BCD，，所以平面．因为平面，所以．又， ，平面，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以．‎ ‎【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎（16）【2017年江苏，16，14分】已知向量，，．‎ ‎ （1）若，求x的值；‎ ‎ （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ 解：（1）因为，，，所以．若，则，‎ 与矛盾，故．于是．又，所以．‎ ‎（2）．‎ 因为，所以，从而．于是，当，即时， 取到最大值3；当，即时，取到最小值．‎ ‎【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．‎ ‎（17）【2017年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎ （1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎ （2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标，‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为c． 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，‎ ‎，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．‎ ‎（2）解法一：‎ 由（1）知，，．设，因为点为第一象限的点，故．‎ 当时，与相交于，与题设不符．‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：． ② 由①②，解得，所以．‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．‎ 又在椭圆E上，故．由，解得； ‎ ‎，无解．因此点P的坐标为．‎ 解法二：‎ 设，由在第一象限，则，，‎ 当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，‎ 当时，，，由，，则，，‎ 直线的方程，①直线的方程，②‎ 联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即，‎ 或，由，在椭圆方程，，解得：，或，无解，‎ 又在第一象限，所以的坐标为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎（18）【2017年江苏，18，16分】如如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎ （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，‎ 求l没入水中部分的长度；‎ ‎ （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．‎ 解：（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处．因为，所以，‎ 从而，记与水面的焦点为，过作，为垂足，‎ 则平面，故，从而．‎ ‎∴玻璃棒没入水中部分的长度为16cm．‎ ‎（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，平面， 所以平面 平面，．同理，平面平面，．记玻璃棒的另一端落在 上点N处．过G作，K为垂足，则．因为，，‎ 所以，从而． ‎ 设，则．‎ 因为，所以．在中，由正弦定理可得，‎ 解得． 因为，所以．‎ 于是．‎ 记EN与水面的交点为P2，过 P2作，Q2为垂足，则平面 EFGH，故，‎ 从而 ．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．‎ ‎【点评】本题考查玻璃棒没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎（19）【2017年江苏，19，16分】对于给定的正整数，若数列满足 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．‎ ‎ （1）证明：等差数列是“数列”；‎ ‎ （2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．‎ 解：（1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而，当时，，‎ 所以，因此等差数列是“数列”．‎ ‎（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，‎ 当时，，① 当时，．②‎ 由①知，，③ ，④‎ 将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为．‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎（20）【2017年江苏，20，16分】已知函数有极值，且导函数的极值 点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．‎ ‎ （1）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎ （2）证明：；‎ ‎（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．‎ 解：（1）由，得．当时，有极小值 ‎．‎ 因为的极值点是的零点．所以，又，故．‎ 因为有极值，故有实根，从而，即．‎ 时，，故在R上是增函数，没有极值；‎ 时，有两个相异的实根，．‎ 列表如下：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 故的极值点是．从而，因此，定义域为．‎ ‎（2）由（1）知，．设，则．‎ 当时，，从而在上单调递增．‎ 因为，所以，故，即．因此．‎ ‎（3）由（1）知，的极值点是，且，．‎ 从而 记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，．‎ 因为，于是在上单调递减．因为，于是，故．‎ 因此a的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ 数学Ⅱ ‎21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（21-A）【2017年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为半圆的直径， 直线PC切半圆O于点C，，P为垂足．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）。‎ 解：（1）因为切半圆O于点C，所以，因为为半圆O的直径，‎ 所以，因为AP⊥PC，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知，故，所以．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎（21-B）【2017年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若曲线C1； 在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．‎ 解：（1）因为， ，所以．‎ ‎（2）设为曲线上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为，‎ 则，即，所以．因为在曲线上，所以，‎ 从而，即．因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线．‎ ‎【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．‎ ‎（21-C）【2017年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）。设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ 解：直线的普通方程为．因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，当时，．‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．‎ ‎【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．‎ ‎（21-D）【2017年江苏，21-D】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知为实数，且，‎ ‎，证明．‎ 解：由柯西不等式可得：，因为所以，‎ 因此．‎ ‎【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．‎ ‎（22）【2017年江苏，22，10分】如图，在平行六面体中，平面，且，，．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ 解：在平面内，过点A作，交BC于点E．因为平面，‎ 所以，．如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．‎ ‎，，．则．‎ ‎（1），‎ 则．‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎（2）平面的一个法向量为．设为平面的一个法向量，‎ 又，则即 不妨取，则，所以为平面的一个法向量，‎ 从而，设二面角的大小为，则．‎ 因为，所以．因此二面角的正弦值为，‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．‎ ‎（23）【2017年江苏，23，10分】已知一个口袋有个白球，个黑球（，），这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（）．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；‎ ‎（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明．‎ 解：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: ．‎ ‎（2）随机变量 X 的概率分布为: ‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量 X 的期望为：．‎ 所以 ‎．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎