• 788.50 KB
  • 2021-05-13 发布

高考理科数学试题及详细答案广东卷

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
绝密★启用前 试卷类型:B ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。‎ ‎ 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式:锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高。‎ 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.巳知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷个 ‎2.设是复数,表示满足的最小正整数,则对虚数单位,‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎3.若函数是函数的反函数,其图像经过点,则 A. B. C. D.‎ ‎4.巳知等比数列满足,且,则当时,‎ A. B. C. D.‎ ‎5.给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④‎ ‎6.一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知成角,且的大小分别为2和4,则的大小为 A.6 B.2 C. D.‎ ‎7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36种 B.12种 C.18种 D.48种 ‎8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 A.在时刻,甲车在乙车前面 B.时刻后,甲车在乙车后面 C.在时刻,两车的位置相同 D.时刻后,乙车在甲车前面 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9~12题)‎ ‎9.随机抽取某产品件,测得其长度分别为,则图3所示的程序框图输出的 ,s表示的样本的数字特征是 .(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”)‎ ‎10.若平面向量满足,平行于轴,,则 .‎ ‎11.巳知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为 .‎ ‎12.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则 , .‎ ‎(二)选做题(13 ~ 15题,考生只能从中选做两题)‎ ‎13.(坐标系与参数方程选做题)若直线与直线(为参数)垂直,则 .‎ ‎14.(不等式选讲选做题)不等式的实数解为 .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图4,点是圆上的点, 且,则圆的面积等于 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤,‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知向量互相垂直,其中.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:‎ 对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得API数据按照区间进行分组,得到频率分布直方图如图5‎ ‎(1)求直方图中的值; ‎ ‎(2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数;‎ ‎(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知 ‎)‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 如图6,已知正方体的棱长为2,点E是正方形的中心,点F、G分别是棱的中点.设点分别是点E、G在平面内的正投影.‎ ‎(1)求以E为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;‎ ‎(2)证明:直线;‎ ‎(3)求异面直线所成角的正弦值 ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.‎ ‎(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;‎ ‎(2)若曲线与点有公共点,试求的最小值.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.‎ ‎(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;‎ ‎(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线,切点为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:‎ 参考答案:‎ ‎ ‎ ‎1.B ‎2.C ‎3.B.‎ ‎4.C ‎5.D ‎6. D.‎ ‎7. A.‎ ‎8. A 二、‎ ‎9.【解析】(或写成),平均数.‎ ‎10.或.‎ ‎11. .‎ ‎12解得,.‎ ‎(二)选做题:第13、14、15题为选做题,考生只能选做其中的两题.‎ ‎13.【解析】;直线:, 直线:,因为,故 ‎.‎ ‎14.【解析】;且,解得且.‎ ‎15.【解析】;设圆的半径为,由正弦定理的,故圆 的面积为.‎ 三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.【解析】(Ⅰ),‎ 即, 又,‎ ‎ , 而,. ‎ ‎ (Ⅱ),‎ 将,代入整理得 ‎ ,结合,,‎ 可得.‎ ‎17.【解析】(Ⅰ)依题意, ‎ ‎ 解得 ‎ (Ⅱ)良好的天数为(天); ‎ 轻微污染的天数(天)‎ ‎(Ⅲ)良好或轻微污染的概率为, ‎ 设事件:某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染,则 ‎.‎ E1‎ G1‎ ‎.‎ A G A1‎ D1‎ C1‎ C B D F E B1‎ 图6‎ ‎.‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)点分别为棱的中点,‎ 题意即求四棱锥的体积,‎ 又, ‎ 点到面的距离为,‎ 故. ‎ ‎(Ⅱ)在正方形中,,‎ ‎,故 ‎ 又面,面,从而, ‎ ‎∵, ∴面.‎ ‎(Ⅲ)∵,, ‎ ‎∴, ∴为异面直线所成角(或其补角),‎ ‎ 在中,, ‎ 所以 ‎ ∴异面直线所成角的正弦值为.‎ A B l P Q ‎.‎ x y O M ‎.‎ ‎19.【解析】联立,可得,,‎ 故线段的中点,设中点,‎ ‎ 从而有,‎ 解得, 因点在曲线上,‎ ‎ ∴,整理得,又,‎ ‎∴即 ‎ ∴线段的中点的轨迹方程为.‎ ‎ (Ⅱ)曲线(圆):, 圆心在直线上,要使最小,只需圆位于直线的上方,且与直线相切,由点到直线的距离公式有,解得(其中舍去).‎ ‎∴要使曲线与有公共点,则的最小值为.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)设,则,‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎,解得,又在取极小值, ‎ ‎∴ ,‎ ‎ , , ,‎ 设, 则 ‎ , ;‎ ‎ (Ⅱ)由, 得 ‎ ‎ 当时,方程有一解,函数有一零点;‎ ‎ 当时,方程有二解,‎ 若,,函数有两个零点 ‎;‎ 若,,函数有两个零点 ‎;‎ ‎ 当时,方程有一解,,‎ ‎ 函数有一零点 ‎21.【解析】曲线是圆心为,半径为的圆, 切线:‎ ‎ (Ⅰ)依题意有,解得,又,‎ ‎ 联立可解得,.‎ ‎ (Ⅱ),‎ ‎ 先证:, ‎ 证法一:利用数学归纳法 ‎ 当时, ,命题成立;‎ ‎ 假设时,命题成立,即,‎ ‎ 则当时,‎ ‎ ∵,‎ 故 ‎ ∴当时,命题成立 ‎ 故成立.‎ 证法二:,,‎ 下证 ‎ 不妨设,令,‎ 则在上恒成立,‎ 故在上单调递减,‎ 从而,即.‎ 综上, 成立.‎