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- 2021-05-13 发布
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第一章 章末检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2013·安徽)若集合A＝{x|logx≥}，则∁RA等于( )
A．(－∞，0]∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．[，＋∞)
答案 A
解析 logx≥⇔logx≥log.
⇔0sin x，则( )
A． p：∃x∈R，x0”
B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q中必有一真一假
D．对于命题p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则 p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
答案 C
解析 若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题．故C错．
7．(2013·威海模拟)已知命题p：无穷数列{an}的前n项和为Sn，若{an}是等差数列，则点列{(n，Sn)}在一条抛物线上；命题q：若实数m>1，则mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列判断正确的是( )
A．s是假命题，r是真命题
B．s是真命题，r是假命题
C．s是假命题，r是假命题
D．s是真命题，r是真命题
答案 C
解析 对于命题p，当{an}为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s也是假命题；由于使mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)的m不存在，故命题q的逆命题r是假命题．
8．已知命题p：关于x的不等式>m的解集为{x|x≠0，x∈R}；命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
答案 B
解析 p真⇔m1⇔m<2.
∵p与q中一真一假，∴1≤m<2.
9．(2013·淮南月考)已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．∅
答案 C
解析 方法一 M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}
＝{a|a＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R}，
N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}
＝{a|a＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R}．
令(1＋3λ1 ,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
则解得λ1＝－1，λ2＝0，
∴M∩N＝{a|a＝(－2，－2)}．
方法二 设=(1，2)+λ(3，4)，λ∈R，
= (－2，－2)+λ(4，5)，λ∈R，
∴点A的轨迹方程为y－2＝(x－1)，
点B的轨迹方程为y＋2＝(x＋2)，
由①②联立解得x＝－2，y＝－2，
∴M∩N＝{(－2，－2)}．
10．设f(x)是R上的减函数，且f(0)＝3，f(3)＝－1，设P＝{x||f(x＋t)－1|<2}，
Q＝{x|f(x)<－1}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )
A．t≤0 B．t≥0 C．t≤－3 D．t≥－3
答案 C
解析 P＝{x||f(x＋t)－1|<2}＝{x|－13}，又由已知得PQ，
∴－t≥3，∴t≤－3.
11．(2013·昆明模拟)若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝，则A∩B中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 A＝{x|01
B．p是假命题， p：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥1
C．p是真命题， p：∃x0∈[0，＋∞)，f(x0)>1
D．p是真命题， p：∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥1
答案 C
解析 ∵f(x)＝()x是R上的减函数，
∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤f(0)＝1.
∴p为真命题，全称命题p的 p为：∃x0∈[0，＋∞)，
f(x0)>1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2013·济南一中期中)“lg x>lg y”是“10x>10y”的________条件．
答案 充分不必要
解析 考虑对数的真数需大于零即可．
14．命题“∃x<0，有x2>0”的否定是______________．
答案 ∀x<0，有x2≤0
解析 “存在”即“∃”的否定词是“任意”即“∀”，而对“>”的否定是“≤”．
15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．
答案 充分不必要
解析 ∵p：x<－3或x>1，
∴ p：－3≤x≤1.
∵q：20，
即|a－1|>2，
∴a>3或a<－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．
解 若a＋2＝3，得a＝1.
∵a＝1时，2a2＋a＝3＝a＋2，
∴a＝1时不符合题意．(4分)
若2a2＋a＝3，
解得a＝1或a＝－.(6分)
由上面知a＝1不符合题意，
a＝－ 时，A＝{，3}，(8分)
综上，符合题意的a的值为－.(10分)
18．(12分)(2013·铁岭月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围．
解 P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}，
S＝{x|1－m≤x≤m＋1}．
假设存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，则必有P＝S.(6分)
所以此方程组无解．(10分)
所以不存在实数m使条件成立．(12分)
19．(12分)(2013·温州模拟)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若 p是 q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，
易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．
(6分)
由 p是 q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，
∴(10分)
故所求实数a的取值范围是[0，]．(12分)
20．(12分)已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：
不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
解 由命题p，得a>1，对于命题q，
因x∈R，ax2－ax＋1>0恒成立，
又因a>0，所以Δ＝a2－4a<0，
即00，设命题p：函数y＝cx为减函数；命题q：
当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋>恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，
求c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx为减函数，
∴0对∈[，2]恒成立，
f(x)min＝2＝2，
当x＝，即x＝1∈[，2]时，有<2，得c>，即q真时，c>.(5分)
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．(7分)
①p真q假时，0
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