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- 2021-05-13 发布
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2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷(理科)(4 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.复数 (i 是虚数单位)的共轭复数是( )
A.2﹣i B.2+i C.﹣2+iD.﹣2﹣i
2.等比数列{an}的前 n(n∈N*)项和为 Sn,若 S1=1,S2=3,则 S3=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3.已知向量 , ,t∈R,则 的最小值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.若 f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)(ω>0)的最小正周期为 π, ,则( )
A.f(x)在 单调递增 B.f(x)在 单调递减
C.f(x)在 单调递增 D.f(x)在 单调递减
5.如图,某几何体的正视图和侧视图都是正三角形,俯视图是圆,若该几何体的表面积
S=π,则它的体积 V=( )
A.π B. C. D.
6.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ξ 服从正态分布 N,已
知 P(80<ξ≤100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析,则应从 120 分
以上的试卷中抽取( )
A.5 份 B.10 份C.15 份D.20 份
7.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值是( )
A.0 B. C. D.
8.若 的展开式中常数项为 1,则实数 a=( )
A. B. C. D.
9.如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7,每次射击的结果相互独立,那么他在 15 次
射击中,最有可能击中目标的次数是( )
A.10 B.11 C.10 或 11 D.12
10.在平面直角坐标系 xOy 中,P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点,
Q 是圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
11.函数 f(x)(x>0)的导函数为 f′(x),若 xf′(x)+f(x)=ex,且 f(1)=e,则( )
A.f(x)的最小值为 e B.f(x)的最大值为 e
C.f(x)的最小值为 D.f(x)的最大值为
12.过双曲线 =1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线
分别交于 A、B 两点,若|AB|=2a,则双曲线离心率 e 的值所在区间为( )
A.(1, ) B.( , ) C.( ,2) D.(2, )
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.设 p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p 是 q 的充分不必充要条件,则实数 a
的取值范围是 .
14.△ABC 三边的长分别为 AC=3,BC=4,AB=5,若 , ,则
= .
15.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解:23=3+5,33=7+9+11,
43=13+15+17+19,…,根据上述规律,103 的分解式中,最大的数是 .
16.已知平面区域 D={(x,y)|0≤x≤1,|y|≤1},∀(x,y)∈D, ≥|x+
|的概率 P= .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知{an}是正项等差数列,∀n∈N*,数列{ }的前 n 项和 Sn= .
(Ⅰ)求 an;
(Ⅱ)设 bn=(﹣1)nan2,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
18.某普通高中组队参加中学生辩论赛,文科班推荐了 3 名男生、4 名女生,理科班推荐了
3 名男生、2 名女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男
生、3 名女生组队集训.
(Ⅰ)求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率;
(Ⅱ)若先抽取女生,每次随机抽取 1 人,设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科
班女生的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望).
19.如图,ABCD﹣A1B1C1D1 是四棱柱,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是梯形,
AB=BC=CD=1,AD=AA1=2.
(Ⅰ)求证:平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1;
(Ⅱ)E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点,DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ,
试判断动点 E 在什么样的曲线上.
20.已知椭圆 Σ: (a>b>0)的焦距为 4,且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 Σ 的方程;
(Ⅱ)A、B 是椭圆 Σ 上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M(0,1),求△OAB 面积的
最大值(O 为坐标原点).
21.已知函数 ,a 是常数,且 a≥1.
(Ⅰ)讨论 f(x)零点的个数;
(Ⅱ)证明: ,n∈N*.
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请
写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲]
22.如图,⊙O 的弦 AB、CD 相交于 E,过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点
P.PA=6,AE=CD=EP=9.
(Ⅰ)求 BE;
(Ⅱ)求⊙O 的半径.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0.
(Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.
[选修 4-5:不等式选讲]
24.(Ⅰ)已知非零常数 a、b 满足 ,求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集;
(Ⅱ)若∀x∈[1,2],x﹣|x﹣a|≤1 恒成立,求常数 a 的取值范围.
2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷(理科)(4 月份)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.复数 (i 是虚数单位)的共轭复数是( )
A.2﹣i B.2+i C.﹣2+iD.﹣2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念求得答案.
【解答】解:∵ = ,
∴复数 的共轭复数是 2+i.
故选:B.
2.等比数列{an}的前 n(n∈N*)项和为 Sn,若 S1=1,S2=3,则 S3=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由题意可得 a2,可得 q,进而可得 a3,前 3 项相加可得 S3.
【解答】解:∵等比数列{an}的前 n(n∈N*)项和为 Sn,S1=1,S2=3,
∴a1=S1=1,a2=S2﹣S1=3﹣1=2,
故公比 q= =2,故 a3=a2q=4,
∴S3=1+2+4=7,
故选:A.
3.已知向量 , ,t∈R,则 的最小值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】可求出向量 的坐标,从而得出 ,显然可看
出 t=3 时, 可取到最小值 2.
【解答】解: ;
∴ ,当 t=3 时取“=”;
∴ 的最小值为 2.
故选:D.
4.若 f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)(ω>0)的最小正周期为 π, ,则( )
A.f(x)在 单调递增 B.f(x)在 单调递减
C.f(x)在 单调递增 D.f(x)在 单调递减
【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由周期求出 ω,由 f(0)= 求出 φ 的值,可得函数的解析式;再利用余弦函数
的单调性得出结论.
【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)= sin(ωx+ϕ+ )(ω>0)
的最小正周期为 =π,可得 ω=2.
再根据 = sin(ϕ+ ),可得 sin(ϕ+ )=1,ϕ+ =2kπ+ ,k∈Z,
故可取 ϕ= ,y= sin(2x+ )= cos2x.
在 上,2x∈(﹣ , ),函数 f(x)= cos2x 没有单调性,故排除 A、
B;
在 上,2x∈(0,π),函数 f(x)= cos2x 单调递减,故排出 C,
故选:D.
5.如图,某几何体的正视图和侧视图都是正三角形,俯视图是圆,若该几何体的表面积
S=π,则它的体积 V=( )
A.π B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥,设底面圆的半径为 r,由正视图可得母线长是
2r,由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出 r,由锥体的体积公式求出几何体的体积.
【解答】解:根据三视图可知几何体是一个圆锥,
设底面圆的半径为 r,由正视图可得母线长是 2r,
∵该几何体的表面积 S=π,∴πr2+πr•(2r)=π,
解得 r= ,
则圆锥的高 h= = =1,
∴几何体的体积 V= = = ,
故选:C.
6.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ξ 服从正态分布 N,已
知 P(80<ξ≤100)=0.40,若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析,则应从 120 分
以上的试卷中抽取( )
A.5 份 B.10 份C.15 份D.20 份
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】根据在一次调研测试中,数学成绩 ξ 服从正态分布 N,得到数学成绩 ξ 关于 ξ=100
对称,根据 P(80<ξ≤100)=0.40,得到 P(ξ>120)=0.1,根据频率乘以样本容量得到这
个分数段上的人数.
【解答】解:由题意,在一次调研测试中,数学成绩 ξ 服从正态分布 N,
∴数学成绩 ξ 关于 ξ=100 对称,
∵P(80<ξ≤100)=0.40,
∴P(ξ>120)=P(ξ<80)=0.5﹣0.40=0.1,
∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.1×100=10.
故选:B.
7.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值是( )
A.0 B. C. D.
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出 S=tan +tan +tan
+…+tan +tan 的值,利用正切函数的周期性即可计算求值.
【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出S=tan +tan +tan
+…+tan +tan 的值,
由于:tan +tan +tan =0,k∈Z,
且:2016=3×672,
所以:S=(tan +tan +tan )+…+(tan +tan +tan )
=0+0+…+0=0.
故选:A.
8.若 的展开式中常数项为 1,则实数 a=( )
A. B. C. D.
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项,令 x 的指数为 0 得常数项列出方程解方
程求出 a 的值.
【解答】解: 展开式的通项公式为
Tr+1=C8r•( )8﹣r•( )r=( )8﹣rC8r•x8﹣frac{4}{3}r,
令 8﹣ r=0,
解得 r=6;
所以展开式的常数项为( )2C86=1,
解得 a=±2 .
故选:C.
9.如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7,每次射击的结果相互独立,那么他在 15 次
射击中,最有可能击中目标的次数是( )
A.10 B.11 C.10 或 11 D.12
【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.
【分析】假设最可能击中目标的次数为k,由条件利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的
概率公式可得 ,求得 k 的范围,可得
k 的最大值.
【解答】解:假设最可能击中目标的次数为 k,
根据某射手每次射击击中目标的概率为 0.7,每次射击的结果相互独立,
则他击中 k 次的概率为 •0.7k•0.315﹣k,
再由 ,求得 0.2≤k≤11.2,
再根据击中目标次数为正整数,可得击中目标次数为 11,
故选:B.
10.在平面直角坐标系 xOy 中,P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点,
Q 是圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 上的动点,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即
可.
【解答】解:圆 x2+y2﹣8x﹣8y+30=0 的标准方程为(x﹣4)2+(y﹣4)2=2,
则圆心坐标为 C(4,4),半径 R= ,
作出不等式组对应的平面区域如图:
则 C 到直线 x+y﹣4=0 的距离最小,
此时 d= =2 ,
则|PQ|的最小值为 d﹣R=2 ﹣ = ,
故选:B.
11.函数 f(x)(x>0)的导函数为 f′(x),若 xf′(x)+f(x)=ex,且 f(1)=e,则( )
A.f(x)的最小值为 e B.f(x)的最大值为 e
C.f(x)的最小值为 D.f(x)的最大值为
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】设g(x)=xf(x),求导,得到 f(x)= ,再根据导数和函数的最值得关系即可
求出.
【解答】解:设 g(x)=xf(x),
∴g′(x)=xf′(x)+f(x)=ex,
∴g(x)=ex,
∴xf(x)=ex,
∴f(x)= ,
∴f′(x)= ,
令 f′(x)=0,解得 x=1,
当 f′(x)>0,时,解得 x>1,函数 f(x)在(1,+∞)单调递增,
当 f′(x)<0,时,解得 0<x<1,函数 f(x)在(1,+∞)单调递减,
∴f(x)min=f(1)=e,
故选:A.
12.过双曲线 =1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线
分别交于 A、B 两点,若|AB|=2a,则双曲线离心率 e 的值所在区间为( )
A.(1, ) B.( , ) C.( ,2) D.(2, )
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线的渐近线方程,由两直线平行的条件可得平行直线的方程,联立解得交
点 A,B 的坐标,可得 AB 的长,结合 a,b,c 的关系和离心率公式,可得 e 的方程,运用
零点存在定理,进而得到离心率的范围.
【解答】解:双曲线 =1 的渐近线方程为 y=± x,
设焦点 F(c,0),由 y= (x﹣c)和双曲线 =1,解得交点 A( ,
),
同理可得 B( ,﹣ ),
即有|AB|= =2a,
由 b2=c2﹣a2,由 e= ,可得 4e2=(e2﹣1)3,
由 f(x)=(x2﹣1)3﹣4x2,可得 f′(x)=6x(x2﹣1)﹣8x>0,x>1,f(x)递增.
又 f(2)>0,f( )<0,
可得 <e<2.
故选:C.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.设 p:|x﹣a|>3,q:(x+1)(2x﹣1)≥0,若¬p 是 q 的充分不必充要条件,则实数 a
的取值范围是 (﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞) .
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】分别解出关于 p,q 的不等式的解集,结合¬p 是 q 的充分必要条件得到关于 a 的
不等式,解出即可.
【解答】解:p:|x﹣a|>3,
解得:x>a+3 或 x<a﹣3;
¬p:a﹣3≤x≤a+3,
q:(x+1)(2x﹣1)≥0,
解得:x≥ 或 x≤﹣1,
若¬p 是 q 的充分不必充要条件,
则 a﹣3≥ 或 a+3≤﹣1,
解得:a≥ 或 a≤﹣4,
故答案为:(﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞).
14.△ABC 三边的长分别为 AC=3,BC=4,AB=5,若 , ,则 =
.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形,然后根据已知条件把
用向量 表示,则 的值可求.
【解答】解:在△ABC 中,由 AC=3,BC=4,AB=5,得 AC2+BC2=AB2,
∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形,如图,
∵ ,∴ ,
又 ,∴
= ,
∴ = = .
故答案为: .
15.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解:23=3+5,33=7+9+11,
43=13+15+17+19,…,根据上述规律,103 的分解式中,最大的数是 109 .
【考点】归纳推理.
【分析】注意观察各个数分解时的特点,不难发现:当底数是2 时,可以分解成两个连续的
奇数之和;当底数是 3 时,可以分解成三个连续的奇数之和.则当底数是 4 时,可分解成 4
个连续的奇数之和,进而求出 23~103 的分解式用的奇数个数,进而求出答案.
【解答】解:由题意,从 23 到 103,正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+10=54 个,
故 103 的分解式中,最大的数是 2×54+1=109,
故答案为:109
16.已知平面区域 D={(x,y)|0≤x≤1,|y|≤1},∀(x,y)∈D, ≥|x+
|的概率 P= .
【考点】几何概型.
【分析】由题意画出图形,利用区域的面积比求概率.
【解答】解:∵ ≥|x+ |,
∴y2≥x,
平面区域 D={(x,y)|0≤x≤1,|y|≤1},所围成图形为矩形,S 矩形=1×2=2,
∀(x,y)∈D,y2≥x,其面积为阴影部分的面积,其 S 阴影= y2dy= y3| = ,
故∀(x,y)∈D, ≥|x+ |的概率 P= = ,
故答案为:
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知{an}是正项等差数列,∀n∈N*,数列{ }的前 n 项和 Sn= .
(Ⅰ)求 an;
(Ⅱ)设 bn=(﹣1)nan2,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)设正项等差数列{an}的公差为 d,由 = .利用“裂项
求和”可得:数列{ }的前 n 项和 Sn= = .
分别取 n=1,2 即可得出.
(II)bn=(﹣1)nan2=(﹣1)n(n+1)2,可得:b2k﹣1+b2k=﹣(n+1)2+(n+2)2=2n+3.当
n=2k(k∈N*)时,数列{bn}的前 n 项和 Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2k﹣1+b2k),即可得
出.当 n=2k﹣1(k∈N*)时,数列{bn}的前 n 项和 Tn=Tn﹣1+an,即可得出.
【解答】解:(I)设正项等差数列{an}的公差为 d,
∵ = .
∴数列{ }的前 n 项和 Sn= + +…+
= = .
n=1 时, =
n=2 时, = = ,
化简解得:a1=2,d=1.
∴an=2+(n﹣1)=n+1.
(II)bn=(﹣1)nan2=(﹣1)n(n+1)2,
∴b2k﹣1+b2k=﹣(n+1)2+(n+2)2=2n+3.
当 n=2k(k∈N*)时,数列{bn}的前 n 项和 Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2k﹣1+b2k)
=(2×1+3)+(2×2+3)+…+(2×k+3)
= +3k
=k2+4k
= +2n.
当 n=2k﹣1(k∈N*)时,数列{bn}的前 n 项和 Tn=Tn﹣1+an
= ﹣(n+1)2
= .
∴Tn= .
18.某普通高中组队参加中学生辩论赛,文科班推荐了 3 名男生、4 名女生,理科班推荐了
3 名男生、2 名女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男
生、3 名女生组队集训.
(Ⅰ)求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率;
(Ⅱ)若先抽取女生,每次随机抽取 1 人,设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科
班女生的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望).
【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其
分布列.
【分析】(Ⅰ)先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有 1 名学生入选集训队的
概率,由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率.
(Ⅱ)由题意 X=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和均值(数学期
望).
【解答】解:(Ⅰ)理科班没有学生入选集训队的概率为 …
理科班有 1 名学生入选集训队的概率为 …
∴理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 …
(Ⅱ)由题意 X=0,1,2…
P(X=0)= = …,
P(X=1)= …
P(X=2)= = …
∴X 的分布列为:
X 0 1 2
P
…
X 的均值(数学期望)EX= = …
19.如图,ABCD﹣A1B1C1D1 是四棱柱,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是梯形,
AB=BC=CD=1,AD=AA1=2.
(Ⅰ)求证:平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1;
(Ⅱ)E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点,DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ,
试判断动点 E 在什么样的曲线上.
【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.
【分析】(I)取 AD 的中点 F,连接 BF,根据各线段长度可得四边形 BCDF 是菱形,△ABF
是正三角形,利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°,即 AB⊥BD,从而 BD⊥平
面 ABB1A1,于是平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1;
(II)以 B 为原点,建立空间直角坐标系,设 E(x,y,2),求出 和平面 C1BD 的法向量
为 ,令|cos< >|= 得出 E 点的轨迹方程.
【解答】证明:(Ⅰ)取 AD 的中点 F,连接 BF,则 AB=BC=CD=AF=DF=1,
∴四边形 BCDF 是菱形,△ABF 是正三角形,
∴∠ABF=∠AFB=60°,∠FBD=∠FDB,
∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°,
∴∠FBD=∠FDB=30°,
∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°,∴AB⊥BD.
∵AA1⊥平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD,
∴AA1⊥BD,又 AA1⊂平面 ABB1A1,AB⊂平面 ABB1A1,AA1∩AB=A,
∴BD⊥平面 ABB1A1,∵BD⊂平面 BDD1B1,
∴平面 BDD1B1⊥平面 ABB1A1.
(Ⅱ)以 B 为原点,BD,BA,BB1 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,
则 B(0,0,0),D( ,0,0),C1( ,﹣ ,2),设 E(x,y,2),
∴ =( ,0,0), =( ,﹣ ,2), =(x﹣ ,y,z).
设平面 C1BD 的一个法向量为 =(x,y,z),则 ,
∴ ,取 z=1 得 =(0,4,1),
∴ =4y+2.∴cos< >= = .
∵DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ,
∴|cos< >|= ,即| |= .
化简整理得, ,
∴动点 E 的轨迹是一条抛物线.
20.已知椭圆 Σ: (a>b>0)的焦距为 4,且经过点 .
(Ⅰ)求椭圆 Σ 的方程;
(Ⅱ)A、B 是椭圆 Σ 上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M(0,1),求△OAB 面积的
最大值(O 为坐标原点).
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由题意可得 c=2,求得焦点坐标,运用椭圆的定义可得 2a=4 ,即 a=2 ,
运用 a,b,c 的关系,可得 b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)根据椭圆的对称性,直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB:y=kx+m,代入椭圆方程,
运用韦达定理和弦长公式,求得 O 到直线 AB 的距离,依题意,|AM|=|BM|,运用两点的
距离公式,化简可得 k,m 的等式,讨论 k=0,k≠0,运用基本不等式和二次函数的最值求
法,即可得到所求面积的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,2c=4,椭圆 Σ 的焦点为 F1(﹣2,0),F2(2,0),
由椭圆的定义可得 2a=|PF1|+|PF2|= +
=3 + =4 ,
即有 a=2 ,则 b2=a2﹣c2=4,
则椭圆 Σ 的方程为 + =1;
(Ⅱ)根据椭圆的对称性,直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB:y=kx+m,
由 得,(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 , ,
,
O 到直线 AB 的距离 ,
△OAB 的面积 ,
依题意,|AM|=|BM|,即 ,
即有(x1﹣x2)(x1+x2)+(y1﹣y2)(y1+y2﹣2)=0,
,
即为(k2+1)(x1+x2)+k(2m﹣2)=0,代入整理得,k(2k2+m+1)=0,
若 k=0,则 ,等号当且仅当 时成立;
若 k≠0,则 2k2+m+1=0, ,
等号当且仅当 m=﹣2, 时成立.
综上所述,△OAB 面积的最大值为 .
21.已知函数 ,a 是常数,且 a≥1.
(Ⅰ)讨论 f(x)零点的个数;
(Ⅱ)证明: ,n∈N*.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)利用导数判断函数的单调性及极值最值,通过对 a 分类讨论求得函数零点的
个数,
(Ⅱ)取 a=2 或 a= ,由(1)知函数单调性,即可证明.
【解答】证明:(Ⅰ) ,
解 f′(x)=0 得 x=0,或 x=a2﹣2a
①a=1 时, ,若 x∈(﹣1,0),f′(x)<0,f(x)>f(0)=0,若 x∈
(0,+∞),f′(x)>0,f(x)>f(0)=0.f(x)有一个零点,
②1<a<2 时,﹣1<a2﹣2a<0,
x (﹣1,a2﹣2a) a2﹣2a (a2﹣2a,0) 0 (0,+∞)
f′(x) + 0 ﹣ 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
由上表可知,f(x)在区间(a2﹣2a,+∞)有一个零点 x=0,
f(a2﹣2a)>f(0)=0,又 ,
任取 , ,
f(x)在区间(t,a2﹣2a)有一个零点,从而 f(x)有两个零点,
③a=2 时, ,f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,有一个零点
x=0,
④a>2 时,a2﹣2a>0,
x (﹣1,0) 0 (0,a2﹣2a) a2﹣2a (a2﹣2a,+∞)
f′(x) + 0 ﹣ 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
由上表可知,f(x)在区间(﹣1,a2﹣2a)有一个零点 x=0,在区间(a2﹣2a,+∞)有一个
零点,从而 f(x)有两个零点,
(Ⅱ)证明:取 a=2,由(1)知 在(﹣1,+∞)上单调递增,
取 (n∈N*),则 ,化简得 ,
取 ,由(1)知 在区间 上单调递减,
取 (n∈N*),由 f(x)>f(0)得
,
即 (n∈N*),
综上, ,n∈N*
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请
写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲]
22.如图,⊙O 的弦 AB、CD 相交于 E,过点 A 作⊙O 的切线与 DC 的延长线交于点
P.PA=6,AE=CD=EP=9.
(Ⅰ)求 BE;
(Ⅱ)求⊙O 的半径.
【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.
【分析】(Ⅰ)由圆的切割线定理,可得 PC=3,再由圆的相交弦定理,即可得到 EB 的长;
(Ⅱ)作 OM⊥AB,PN⊥AB,分别交 AB 于 M,N,设 AN=x,运用勾股定理,解方程可
得 AN=2,求得 PN,AM 的长,运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO,由性质定理,即
可得到所求值.
【解答】解:(I)PA2=PC•PD,PA=6,CD=9,
即 36=PC(PC+9),
得 PC=3(﹣12 舍去),
所以 PD=PC+CD=12,
又 EP=9,所以 ED=PD﹣EP=12﹣9=3,CE=EP﹣PC=9﹣3=6,
又 AE•EB=CE•ED,
则 EB= = =2;
(II)作 OM⊥AB,PN⊥AB,分别交 AB 于 M,N,
设 AN=x,则 AP2﹣AN2+NE2=EP2,
由 AP=6,EP=9,NE=9﹣x,
即有 36﹣x2+(9﹣x)2=81,
得 x=2 即 AN=2,PN= = ,
AB=AE+EB=9+2=11,AM= AB= ,
在直角三角形 PNA 和直角三角形 AMO,
∠APN=∠OAM,∠PAN=∠AOM,
可得△PNA∽△AMO,
得: ,
即有 OA= = = .
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以原点为极点,x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+1=0.
(Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)由 消去参数能得到直线 l 的直角坐标方程,由 ρ2﹣4ρcosθ+1=0,
ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,能求出曲线 C 的直角坐标方程.
(Ⅱ)曲线 C 的圆心为(2,0),半径为 ,求出圆心到直线 的距离,
由此能求出 P 到直线 l 的距离的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)由 消去参数 t 得,
直线 l 的直角坐标方程为 .…
∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0,ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,
∴曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0…
(Ⅱ)∵曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2﹣4x+1=0,
∴曲线 C:(x﹣2)2+y2=3…,圆心为(2,0),半径为 …
圆心到直线 的距离 …
∴P 到直线 l 的距离的最大值 …
[选修 4-5:不等式选讲]
24.(Ⅰ)已知非零常数 a、b 满足 ,求不等式|﹣2x+1|≥ab 的解集;
(Ⅱ)若∀x∈[1,2],x﹣|x﹣a|≤1 恒成立,求常数 a 的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)求出 ab=1,问题转化为|﹣2x+1|≥1,解出即可;(Ⅱ)问题转化为(a﹣1)
(a﹣2x+1)≥0,通过讨论 a 的范围求出不等式的解集,从而求出 a 的范围即可.
【解答】解:(I)由已知 ,
∵a、b 不为 0,∴ab=1,
原不等式相当于|﹣2x+1|≥1,
所以,﹣2x+1≥1 或﹣2x+1≤﹣1,
解得:{x|x≤0 或 x≥1};
(Ⅱ)由已知得,|x﹣a|≥x﹣1≥0,
(x﹣a)2≥(x﹣1)2,(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0,
a=1 时,(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 恒成立,
a>1 时,由(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 得,a≥2x﹣1,从而 a≥3,
a<1 时,由(a﹣1)(a﹣2x+1)≥0 得,a≤2x﹣1,从而 a≤1,
综上所述,a 的取值范围为(﹣∞,1]∪[3,+∞).
2016 年 8 月 22 日