四川高考数学理科卷已修改 13页

‎2014年四川高考理科数学试题 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，集合为整数集，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在的展开式中，含项的系数为 A． B． C． D．‎ ‎3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎4．若，，则一定有 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为 A． B. C． D．‎ ‎6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A．种 B．种 ‎ C．种 D．种 ‎7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 A． B． C． D．‎ ‎8．如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知，。现有下列命题：‎ ‎①；②；③。其中的所有正确命题的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② ‎ ‎10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 A． B． C． D．‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎11．复数 。‎ ‎12．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 。‎ ‎13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，，，，）‎ ‎14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 。‎ ‎15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：‎ ‎①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；‎ ‎②函数的充要条件是有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则；‎ ‎④若函数（，）有最大值，则。‎ 其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）‎ 三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．已知函数。‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若是第二象限角，，求的值。‎ ‎17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。‎ ‎（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；‎ ‎（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。‎ ‎18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。‎ ‎（1）证明：为线段的中点；‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ 俯视图 侧视图 ‎19．设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。‎ ‎（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。‎ ‎20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。‎ ‎（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点T的坐标。‎ ‎21．已知函数，其中，为自然对数的底数。‎ ‎（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。‎ 参考答案 三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．解：（1）由 所以的单调递增区间为（）‎ ‎（2）由 因为 所以 又是第二象限角，所以或 ‎①由（）‎ 所以 ‎②由 所以 综上，或 ‎17．解：（1）可能取值有，10，20，100‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故分布列为 ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ P ‎（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是 则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 ‎（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是 分 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。‎ ‎18．解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：‎ 平面平面，‎ 设为的中点，连接，‎ 于是， 所以平面 因为，分别为线段，的中点，所以，又，故 假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线 从而平面，这与矛盾 所以为线段的中点 ‎（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 于是，，‎ 设平面和平面的法向量分别为和 由，设，则 由，设，则 所以二面角的余弦值 ‎19．解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为 所以 ‎ 因为点在函数的图象上，所以，所以 又，所以 ‎（2）由 函数的图象在点处的切线方程为 所以切线在轴上的截距为，从而，故 从而，，‎ ‎ ‎ 所以 故 ‎20．解：（1）依条件 所以椭圆C的标准方程为 ‎（2）设，，，又设中点为 ‎（i）因为，所以直线的方程为：‎ 所以 于是，‎ 所以。因为 所以，，三点共线 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）‎ ‎（ii），‎ 所以，令（）‎ 则（当且仅当时取“”）‎ 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或 ‎21．解：（1）因为 所以 又 因为， 所以：‎ ‎①若，则，，‎ 所以函数在区间上单增，‎ ‎②若，则，‎ 于是当时，当时，‎ 所以函数在区间上单减，在区间上单增，‎ ‎③若，则，‎ 所以函数在区间上单减，‎ 综上：在区间上的最小值为 ‎（2）由，又 若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间 由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。‎ 若，则 令（）‎ 则。由 所以在区间上单增，在区间上单减 即恒成立 于是，函数在区间内至少有三个单调区间 又 所以 综上，的取值范围为