高考数学热点数列 19页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学热点数列

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数列 数列在中学数学中地位非常重要,它是衔接初等数学和高等数学的桥梁,是高考数学每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等;它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。事实上,在数列的复习中,既要重视公式的应用,还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时,要渗透函数观点,借助函数思想帮助解决;同时要注意新情景下的数列问题研究,有意识建立与等差数列、等比数列的联系,探讨通项和求和问题;数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查,也是同学们在复习中必须重视的问题。‎ ‎  我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势: ‎ 一.题型稳定:近几年来高考数列试题一直稳定在1-2个小题和1道大题上,分值约为20分左右, 占总分值的12%左右,但是如果把数列与其他知识结合的综合题目,分值会更大。‎ 二.在进行数列二轮复习时,建议可以具体从以下几个方面着手:‎ ‎1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;‎ ‎2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;‎ ‎3.注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用; ‎ ‎4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式;‎ ‎5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳; ‎ ‎6.掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系;‎ ‎7.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列;‎ ‎8.掌握一些数列求和的方法 ‎(1)分解成特殊数列的和 ‎(2)裂项求和 ‎(3)“错位相减”法求和 ‎9.以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.‎ 三.方法总结 ‎1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关系式求通项。‎ ‎2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。‎ ‎3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向。‎ 四.2010年高考预测 ‎1. 数列中与的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意与的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查。‎ ‎2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.‎ ‎3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题。‎ ‎4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.‎ ‎5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所在的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.‎ ‎6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。‎ ‎7、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。‎ ‎  ‎ 在近年高考中,对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有:‎ 等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列,若 等差数列的通项公式:------该公式整理后是关于n的一次函数 等差数列的前n项和1. 2. 3.‎ 等差中项: 如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。即:或 等差数列的性质:‎ ‎1.等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有 2. 对于等差数列,若,则。也就是:‎ ‎, ‎ ‎3.若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列。如下图所示:‎ ‎4.设数列是等差数列,:奇数项和,:偶数项和,是前n项和,则有如下性质:‎ ‎1。当n为偶数时,, 2。当n为奇数时,则,,‎ 等比数列的判定方法:‎ ‎① 定义法:若 ② 等比中项:若,则数列是等比数列。‎ 等比数列的通项公式:‎ 如果等比数列的首项是,公比是,则等比数列的通项为。‎ 等比数列的前n项和:1。 2。 3。当时,‎ 等比中项: 如果使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项。那么。‎ 等比数列的性质:‎ ‎1.等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,则有 2. 对于等比数列,若,则也就是:‎ ‎。‎ 3. 若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。如下图所示:‎ 4. 一、选择题(每小题 5 分)‎ ‎1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数,且·=2,=1,则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ 解析:设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数,所以,故,选B ‎2.(2008全国一5)已知等差数列满足,,则它的前10项的和( )‎ A.138 B.‎135 ‎ C.95 D.23‎ 解析:C. 由;‎ ‎3.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时, ‎ A. B. C. D. ‎ 解析:由得,,则, ,选C. ‎ ‎4.(2008北京卷6)已知数列对任意的满足,且,那么等于( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:由已知=+= -12,=+=-24,=+= -30 C ‎5.(2009安徽卷文)已知为等差数列,,则等于 ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7‎ 解析:∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ ‎6.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ‎ A. 18 B. ‎24 ‎‎ C. 60 D. 90 ‎ 解析:由得得,再由得 则,所以,.故选C ‎7.(2008四川卷7)已知等比数列中,则其前3项的和的取值范围是()‎ ‎ (A)      (B) ‎ ‎ (C)      (D)‎ 解析:D .由双勾函数的图象知,或,故本题选D.本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质.以上诸题,基本功扎实的同学耗时不多.‎ ‎8.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于【 C 】‎ A.13 B.‎35 C.49 D. 63 ‎ 解析:故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎9.(2009福建卷理)等差数列的前n项和为,且 =6,=4, 则公差d等于 A.1 B C.- 2 D 3‎ ‎【答案】:C 解析:∵且.故选C ‎ ‎10.(2008江西卷5)在数列中,, ,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ 解析:A ,,…,‎ ‎11.(2009辽宁卷文)已知为等差数列,且-2=-1, =0,则公差d=‎ ‎(A)-2 (B)- (C) (D)2‎ 解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 Þ d=-‎ ‎【答案】B ‎12.(2009辽宁卷理)设等比数列{ }的前n 项和为 ,若 =3 ,则 = ‎ ‎(A) 2 (B) (C) (D)3‎ 解析:设公比为q ,则=1+q3=3 Þ q3=2‎ ‎ 于是 ‎ ‎【答案】B ‎13.(2009宁夏海南卷理)等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列。若=1,则=‎ ‎(A)7 (B)8 (3)15 (4)16‎ 解析:4,2,成等差数列,‎ ‎,选C.‎ ‎14.(2009四川卷文)等差数列{}的公差不为零,首项=1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. 100 C. 145 D. 190‎ ‎【答案】B 解析:设公差为,则.∵≠0,解得=2,∴=100‎ ‎15.(2009湖北卷文)设记不超过的最大整数为[],令{}=-[],则{},[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B 解析:可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列.‎ ‎16.(2009湖北卷文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: ‎ ‎ ‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B‎.1024 ‎‎ C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C 解析:由图形可得三角形数构成的数列通项,同理可得正方形数构成的数列通项,则由可排除A、D,又由知必为奇数,故选C.‎ ‎17.(2009宁夏海南卷文)等差数列的前n项和为,已知,,则 ‎(A)38 (B)20 (C)10 (D)9 ‎ ‎【答案】C 解析:因为是等差数列,所以,,由,得:2-=0,所以,=2,又,即=38,即(‎2m-1)×2=38,解得m=10,故选.C。‎ ‎18.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A 解析:设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去),所以数列的前项和 ‎19.(2009安徽卷理)已知为等差数列,++=105,=99,以表示的前项和,则使得达到最大值的是 ‎ ‎(A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 ‎ 解析:由++=105得即,由=99得即 ,∴,,由得,选B ‎ ‎20.(2009江西卷理)数列的通项,其前项和为,则为 A. B. C. D.‎ 答案:A 解析:由于以3 为周期,故 故选A ‎21.(2009四川卷文)等差数列{}的公差不为零,首项=1,是和的等比中项,则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. ‎100 C. 145 D. 190 ‎ ‎【答案】B 解析:设公差为,则.∵≠0,解得=2,∴=100‎ 二、填空题(每小题 5 分)‎ ‎22.(2009全国卷Ⅰ理) 设等差数列的前项和为,若,则= 。‎ 解析:是等差数列,由,得 ‎. ‎ ‎23.(2008四川卷16)设等差数列的前项和为,若,则的最大值为___________。‎ 解析:由题意,,即,,.‎ 这是加了包装的线性规划,有意思.建立平面直角坐标系,画出可行域(图略),画出目标函数即直线,由图知,当直线过可行域内点时截距最大,此时目标函数取最大值.本题明为数列,实为线性规划,着力考查了转化化归和数形结合思想.掌握线性规划问题"画-移-求-答"四步曲,理解线性规划解题程序的实质是根本.这是本题的命题意图.‎ 因约束条件只有两个,本题也可走不等式路线.设,‎ 由解得,‎ ‎∴,‎ 由不等式的性质得: ‎ ‎,即 ‎,的最大值是4.‎ ‎24.(2009浙江理)设等比数列的公比,前项和为,则 .‎ 答案:15‎ 解析:对于 ‎25. (2008安徽卷14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是 ‎ 解析:1 ∵∴从而。‎ ‎∴a=2,,则 ‎26.(2009浙江文)设等比数列的公比,前项和为,则 .‎ ‎【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系.‎ 解析:对于 ‎ ‎27.(2009浙江文)设等差数列的前项和为,则,,,成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前项积为,则, , ,成等比数列.‎ 答案: 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 ‎ 解析:对于等比数列,通过类比,有等比数列的前项积为,则,,成等比数列.‎ ‎28. (2008湖北卷14)已知函数,等差数列的公差为.若,则 .-6‎ 解析:依题意,所以 ‎29.(2009北京文)若数列满足:,则 ;前8项的和 .(用数字作答)‎ 解析:本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎,‎ 易知,∴应填255.‎ ‎30. (2008湖北卷15)观察下列等式:‎ ‎……………………………………‎ 可以推测,当≥2()时, ‎ ‎ .,0‎ 解析:由观察可知当,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,所以,‎ 第四项均为零,所以。‎ ‎31.(2009北京理)已知数列满足:则________;=_________.‎ ‎【答案】1,0‎ 解析:本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. ‎ 依题意,得,. ‎ ‎ ∴应填1,0.‎ ‎32.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则= . ‎ 解析: 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ‎ 有连续四项在集合,四项成等比数列,公比为,= -9‎ ‎33.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.‎ 解析::设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. ‎ 答案:13.‎ ‎【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.‎ ‎34.(2009全国卷Ⅱ文)设等比数列{}的前n项和为。若,则= ‎ 答案:3‎ 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由得q3=3故a4=a1q3=3。‎ ‎35.(2009湖北卷理)已知数列满足:(m为正整数),若,则m所有可能的取值为__________。 ‎ ‎【答案】4 5 32‎ 解析:(1)若为偶数,则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时, 故 ‎②当为奇数时, ‎ 故得m=4。‎ ‎(2)若为奇数,则为偶数,故必为偶数 ‎,所以=1可得m=5‎ ‎36.(2009全国卷Ⅱ理)设等差数列的前项和为,若则 9 . ‎ 解析:为等差数列,‎ ‎37.(2009辽宁卷理)等差数列的前项和为,且则 ‎ 解析:∵Sn=na1+n(n-1)d ‎ ‎ ∴S5=‎5a1+10d,S3=‎3a1+3d ‎ ∴6S5-5S3=‎30a1+60d-(‎15a1+15d)=‎15a1+45d=15(a1+3d)=‎15a4‎ ‎【答案】‎ 三.解答题 ‎38.(2009湖北卷理)(本小题满分13分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知数列的前n项和(n为正整数)。‎ ‎(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令,试比较与的大小,并予以证明。‎ 解析:(I)在中,令n=1,可得,即 当时,,‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列. ‎ ‎ 于是.‎ ‎(II)由(I)得,所以 由①-②得 ‎ 于是确定的大小关系等价于比较的大小 ‎ 由 ‎ 可猜想当证明如下:‎ 证法1:(1)当n=3时,由上验算显示成立。‎ ‎(2)假设时 所以当时猜想也成立 综合(1)(2)可知 ,对一切的正整数,都有 证法2:当时 综上所述,当,当时 ‎39.(2009四川卷文)(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。 ‎ ‎(I)求数列与数列的通项公式; ‎ ‎(II)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得 成立?若存在,找出一个正整数;若不存在,请说明理由;‎ ‎(III)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;‎ ‎【解析】(I)当时, ‎ 又 ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列,‎ ‎∴, ‎ ‎(II)不存在正整数,使得成立。‎ 证明:由(I)知 ‎ ‎∴当n为偶数时,设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时,设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n,都有 ‎ ‎∴不存在正整数,使得成立。 ‎ ‎(III)由得 ‎ 又, ‎ 当时,,‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………14分 ‎40. (2008全国一22).‎ 设函数.数列满足,. ‎ ‎(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,整数.证明:.‎ 解析:(Ⅰ)证明:,‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,‎ 由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;‎ ‎(ⅱ)假设当时,成立,即 那么当时,由在区间是增函数,得 ‎.而,则,‎ ‎,也就是说当时,也成立;‎ 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.‎ ‎ (Ⅲ)证明:由.可得 ‎ 1, 若存在某满足,则由⑵知:‎ 2, 若对任意都有,则 ‎,即成立.‎ ‎41.(2009全国卷Ⅱ理)‎ 设数列的前项和为 已知 ‎(I)设,证明数列是等比数列 ‎ ‎(II)求数列的通项公式。‎ 解:(I)由及,有 由,...①  则当时,有.....②‎ ‎②-①得 又,是首项,公比为2的等比数列.‎ ‎(II)由(I)可得,‎ ‎   数列是首项为,公差为的等比数列. ‎ ‎   , ‎ 评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找.‎ 第(II)问中由(I)易得,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:,主要的处理手段是两边除以.‎ 总体来说,09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列(全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法),一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎