高考数学热点数列 19页

数列 数列在中学数学中地位非常重要，它是衔接初等数学和高等数学的桥梁，是高考数学每年必考的重要内容。内容涉及到数列概念、等差数列和等比数列通项及求和、数学归纳法和数列极限等；它渗透了分类讨论和类比、归纳等重要的数学思想。事实上，在数列的复习中，既要重视公式的应用，还要注意计算的合理性。在处理某些数列问题时，要渗透函数观点，借助函数思想帮助解决；同时要注意新情景下的数列问题研究，有意识建立与等差数列、等比数列的联系，探讨通项和求和问题；数学思想如分类思想、特殊化思想等在数列中的考查，也是同学们在复习中必须重视的问题。‎ ‎　　我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： ‎ 一．题型稳定：近几年来高考数列试题一直稳定在1-2个小题和1道大题上，分值约为20分左右， 占总分值的12%左右，但是如果把数列与其他知识结合的综合题目，分值会更大。‎ 二．在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:‎ ‎1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；‎ ‎2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；‎ ‎3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用； ‎ ‎4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；‎ ‎5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； ‎ ‎6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；‎ ‎7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；‎ ‎8．掌握一些数列求和的方法 ‎(1)分解成特殊数列的和 ‎(2)裂项求和 ‎(3)“错位相减”法求和 ‎9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．‎ 三．方法总结 ‎1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。‎ ‎2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。‎ ‎3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。‎ 四．2010年高考预测 ‎1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。‎ ‎2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.‎ ‎3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。‎ ‎4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.‎ ‎5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.‎ ‎6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。‎ ‎７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。‎ ‎　　‎ 在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：‎ 等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列，若 等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n的一次函数 等差数列的前n项和1． 2. 3.‎ 等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 等差数列的性质:‎ ‎1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 2． 对于等差数列，若，则。也就是：‎ ‎， ‎ ‎3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：‎ ‎4．设数列是等差数列，：奇数项和，：偶数项和，是前n项和，则有如下性质：‎ ‎1。当n为偶数时，， 2。当n为奇数时，则，，‎ 等比数列的判定方法:‎ ‎① 定义法：若 ② 等比中项：若，则数列是等比数列。‎ 等比数列的通项公式:‎ 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。‎ 等比数列的前n项和：1。 2。 3。当时，‎ 等比中项: 如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。‎ 等比数列的性质:‎ ‎1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 2． 对于等比数列，若，则也就是：‎ ‎。‎ 3． 若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：‎ 4． 一、选择题（每小题 5 分）‎ ‎1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ 解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎2.（2008全国一5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）‎ A．138 B．‎135 ‎ C．95 D．23‎ 解析：C. 由；‎ ‎3.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， ‎ A. B. C. D. ‎ 解析：由得，，则， ，选C. ‎ ‎4.（2008北京卷6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30 C ‎5.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7‎ 解析：∵即∴同理可得∴公差∴.选B。‎ ‎6.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ‎ A. 18 B. ‎24 ‎‎ C. 60 D. 90 ‎ 解析：由得得,再由得 则,所以,.故选C ‎7.（2008四川卷7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()‎ ‎　（Ａ）　　　　　 （Ｂ）　‎ ‎　（Ｃ）　　　　　 （Ｄ）‎ 解析：D ．由双勾函数的图象知，或，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．‎ ‎8.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】‎ A．13 B．‎35 C．49 D． 63 ‎ 解析：故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎9.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3‎ ‎【答案】：C 解析：∵且.故选C ‎ ‎10.（2008江西卷5）在数列中，， ，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ 解析：A ，，…，‎ ‎11.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝‎ ‎（A）－2 （B）－ （C） （D）2‎ 解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－‎ ‎【答案】B ‎12.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = ‎ ‎（A） 2 （B） （C） （D）3‎ 解析：设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2‎ ‎ 于是 ‎ ‎【答案】B ‎13.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=‎ ‎（A）7 （B）8 （3）15 （4）16‎ 解析：4，2，成等差数列，‎ ‎,选C.‎ ‎14.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. 100 C. 145 D. 190‎ ‎【答案】B 解析：设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100‎ ‎15.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B 解析：可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.‎ ‎16.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： ‎ ‎ ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B‎.1024 ‎‎ C.1225 D.1378‎ ‎【答案】C 解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.‎ ‎17.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则 ‎（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 ‎ ‎【答案】C 解析：因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（‎2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。‎ ‎18.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 ‎19.（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 ‎ ‎（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 ‎ 解析：由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B ‎ ‎20.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为 A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：由于以3 为周期,故 故选A ‎21.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 ‎ A. 90 B. ‎100 C. 145 D. 190 ‎ ‎【答案】B 解析：设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100‎ 二、填空题（每小题 5 分）‎ ‎22.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 。‎ 解析：是等差数列,由,得 ‎. ‎ ‎23.（2008四川卷16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。‎ 解析：由题意，，即，，．‎ 这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．‎ 因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，‎ 由解得，‎ ‎∴，‎ 由不等式的性质得： ‎ ‎，即 ‎，的最大值是4．‎ ‎24.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ 答案：15‎ 解析：对于 ‎25. （2008安徽卷14）在数列在中，，，,其中为常数，则的值是 ‎ 解析：1 ∵∴从而。‎ ‎∴a=2，，则 ‎26.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则 ．‎ ‎【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系．‎ 解析：对于 ‎ ‎27.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．‎ 答案： 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 ‎ 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．‎ ‎28. （2008湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .－6‎ 解析：依题意，所以 ‎29.（2009北京文）若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答）‎ 解析：本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎，‎ 易知，∴应填255.‎ ‎30. （2008湖北卷15）观察下列等式：‎ ‎……………………………………‎ 可以推测，当≥2（）时， ‎ ‎ .，0‎ 解析：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，‎ 第四项均为零，所以。‎ ‎31.（2009北京理）已知数列满足：则________；=_________.‎ ‎【答案】1，0‎ 解析：本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. ‎ 依题意，得，. ‎ ‎ ∴应填1，0.‎ ‎32.（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= . ‎ 解析： 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 ‎ 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9‎ ‎33.(2009山东卷文)在等差数列中,,则.‎ 解析：:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. ‎ 答案:13.‎ ‎【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.‎ ‎34.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。若，则= ‎ 答案：3‎ 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。‎ ‎35.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 ‎ ‎【答案】4 5 32‎ 解析：（1）若为偶数，则为偶, 故 ‎①当仍为偶数时， 故 ‎②当为奇数时， ‎ 故得m=4。‎ ‎（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ‎，所以=1可得m=5‎ ‎36.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则 9 . ‎ 解析：为等差数列，‎ ‎37.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则 ‎ 解析：∵Sn＝na1＋n(n－1)d ‎ ‎ ∴S5＝‎5a1＋10d,S3＝‎3a1＋3d ‎ ∴6S5－5S3＝‎30a1＋60d－(‎15a1＋15d)＝‎15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝‎15a4‎ ‎【答案】‎ 三．解答题 ‎38.(2009湖北卷理)（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列的前n项和（n为正整数）。‎ ‎（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。‎ 解析：（I）在中，令n=1，可得，即 当时，，‎ ‎.‎ ‎ . ‎ ‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列. ‎ ‎ 于是.‎ ‎(II)由（I）得，所以 由①-②得 ‎ 于是确定的大小关系等价于比较的大小 ‎ 由 ‎ 可猜想当证明如下：‎ 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。‎ ‎（2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 ‎39.（2009四川卷文）（本小题满分14分）‎ 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 ‎ ‎（I）求数列与数列的通项公式； ‎ ‎（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得 成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；‎ ‎【解析】（I）当时， ‎ 又 ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴， ‎ ‎（II）不存在正整数，使得成立。‎ 证明：由（I）知 ‎ ‎∴当n为偶数时，设 ‎ ‎∴‎ 当n为奇数时，设 ‎∴‎ ‎∴对于一切的正整数n，都有 ‎ ‎∴不存在正整数，使得成立。 ‎ ‎（III）由得 ‎ 又， ‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………14分 ‎40. （2008全国一22）．‎ 设函数．数列满足，． ‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解析：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 ‎ 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ ‎41.（2009全国卷Ⅱ理）‎ 设数列的前项和为 已知 ‎（I）设，证明数列是等比数列 ‎ ‎（II）求数列的通项公式。‎ 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．②‎ ‎②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列．‎ ‎（II）由（I）可得，‎ ‎　　　数列是首项为，公差为的等比数列． ‎ ‎　　　， ‎ 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．‎ 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．‎ 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎