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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题分类汇编数列

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‎2005年高考试题分类解析(数列部分)‎ 选择题 ‎1. (广东卷)已知数列满足,,….若,则(B)‎ ‎(A)(B)3(C)4(D)5‎ ‎2. (福建卷)3.已知等差数列中,的值是 ( A )‎ ‎ A.15 B.30 C.31 D.64‎ ‎3. (湖南卷)已知数列满足,则= (B )‎ ‎ A.0 B. C. D. ‎4. (湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a2=5,则 ‎  = (C)‎ ‎  A.2   B.   C.1   D. ‎5. (湖南卷)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2005(x)=(C)‎ ‎  A.sinx  B.-sinx  C.cosx  D.-cosx ‎6. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3 ,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=(C )‎ ‎ ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189‎ ‎7. (全国卷II) 如果数列是等差数列,则(B )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎8. (全国卷II) 11如果为各项都大于零的等差数列,公差,则(B)‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎9. (山东卷)是首项=1,公差为=3的等差数列,如果=2005,则序号等于(C )‎ ‎(A)667 (B)668 (C)669 (D)670‎ ‎10. (上海)16.用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3‎ 一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2‎ i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3‎ 是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1‎ 的数阵中, b1+b2+┄+b120等于 3 1 2‎ 3 ‎2 1‎ ‎ [答]( C )‎ ‎ (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720‎ ‎11. (浙江卷)=( C )‎ ‎(A) 2 (B) 4 (C) (D)0‎ ‎12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( C)‎ ‎ (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。‎ ‎13. (江西卷)‎ 填空题 ‎1. (广东卷)‎ 设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三角形不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数,则_____5________;当n>4时,=_____________.‎ ‎2. (北京卷)已知n次多项式,‎ ‎ 如果在一种算法中,计算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算的值共需要 n(n+3) 次运算.‎ ‎ 下面给出一种减少运算次数的算法:(k=0, 1,2,…,n-1).利用该算法,计算的值共需要6次运算,计算的 值共需要 2n 次运算.‎ ‎3. (湖北卷)设等比数列的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为 -2 .‎ ‎4. (全国卷II) 在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为___216 __.‎ ‎5. (山东卷) ‎6. (上海)12、用个不同的实数可得到个不同的排列,每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行,记,。例如:用1,2,3可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,,那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,=_-1080_________。‎ ‎7、计算:=_3 _________。‎ ‎8. (天津卷)设,则 ‎9. (天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且,则=_2600_ ___.‎ ‎10. (重庆卷)= -3 .‎ 解答题[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1.(北京卷)设数列{an}的首项a1=a≠,且, ‎ 记,n==l,2,3,…·.‎ ‎(I)求a2,a3;‎ ‎(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;‎ ‎(III)求.‎ 解:(I)a2=a1+=a+,a3=a2=a+;‎ ‎(II)∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,‎ 所以b1=a1-=a-, b2=a3-=(a-), b3=a5-=(a-),‎ 猜想:{bn}是公比为的等比数列·‎ ‎ 证明如下:‎ ‎ 因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn, (n∈N*)‎ ‎ 所以{bn}是首项为a-, 公比为的等比数列·‎ ‎ (III).‎ ‎2.(北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求 ‎ (I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;‎ ‎ (II)的值.‎ 解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得 ,,,‎ 由(n≥2),得(n≥2),‎ 又a2=,所以an=(n≥2),‎ ‎∴ 数列{an}的通项公式为;‎ ‎(II)由(I)可知是首项为,公比为项数为n的等比数列,∴ = ‎3.(福建卷)已知{}是公比为q的等比数列,且成等差数列.‎ ‎ (Ⅰ)求q的值;‎ ‎(Ⅱ)设{}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.‎ 解:(Ⅰ)由题设 ‎(Ⅱ)若 当 故 若 当[来源:Zxxk.Com]‎ 故对于 ‎4. (福建卷)已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列: ‎(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;‎ ‎(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1, bn+1=,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an};‎ ‎(Ⅲ)若,求a的取值范围.‎ ‎ (I)解法一: ‎ 故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}‎ ‎5. (湖北卷)设数列的前n项和为Sn=2n2,为等比数列,且 ‎ (Ⅰ)求数列和的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)设,求数列的前n项和Tn.‎ 解:(1):当 故{an}的通项公式为的等差数列.‎ 设{bn}的通项公式为 故 ‎(II) 两式相减得 ‎6. (湖北卷)已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数. ‎ 设数列的各项为正,且满足 ‎ (Ⅰ)证明 ‎(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);‎ ‎(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当时,对任意b>0,都有 解:(Ⅰ)证法1:∵当即 ‎ 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知,当n≥3时有, ‎∵ 证法2:设,首先利用数学归纳法证不等式 ‎ (i)当n=3时, 由 知不等式成立.‎ ‎(ii)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即 则 即当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由(i)、(ii)知, 又由已知不等式得 ‎ (Ⅱ)有极限,且 ‎ (Ⅲ)∵ 则有 故取N=1024,可使当n>N时,都有 ‎7. (湖南卷)已知数列为等差数列,且 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)证明 ‎(I)解:设等差数列的公差为d.‎ ‎ 由即d=1.‎ 所以即 ‎(II)证明因为,‎ 所以 ‎8. (湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.‎ ‎ (Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;‎ ‎ (Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明)‎ ‎  (Ⅱ)设a=2,b=1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的 ‎ 最大允许值是多少?证明你的结论.‎ 解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为 ‎ (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得 ‎ ‎ 因为x1>0,所以a>b.‎ ‎ 猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.‎ ‎ (Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*‎ ‎ 由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 ‎ 00.‎ 又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,‎ 所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.‎ 由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).‎ 综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.‎ ‎9. (江苏卷)设数列{an}的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且, 其中A,B为常数.‎ ‎(Ⅰ)求A与B的值;‎ ‎(Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;‎ ‎(Ⅲ)证明不等式.‎ 解:(Ⅰ)由,,,得,,.‎ 把分别代入,得 解得,,.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,即 , ①‎ 又. ②‎ ‎②-①得,,‎ 即. ③‎ 又. ④‎ ‎④-③得,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,又,‎ 因此,数列是首项为1,公差为5的等差数列.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,.考虑.‎ .‎ ‎∴.‎ 即,∴.‎ 因此,.‎ ‎10. (辽宁卷)已知函数设数列}满足,数列}满足 ‎ (Ⅰ)用数学归纳法证明;‎ ‎ (Ⅱ)证明 解:(Ⅰ)证明:当 因为a1=1,‎ 所以 ………………2分 下面用数学归纳法证明不等式 ‎ (1)当n=1时,b1=,不等式成立,‎ ‎ (2)假设当n=k时,不等式成立,即 那么 ………………6分 ‎ 所以,当n=k+1时,不等也成立。‎ 根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分 ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, 所以 …………10分 故对任意………………(12分)‎ ‎11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项,前n项和为,且。‎ ‎(Ⅰ)求的通项;‎ ‎(Ⅱ)求的前n项和。‎ 解:(Ⅰ)由 得 即 可得 因为,所以 解得,因而 ‎ (Ⅱ)因为是首项、公比的等比数列,故 则数列的前n项和 前两式相减,得 即 ‎12. (全国卷Ⅰ) 设等比数列的公比为,前n项和。‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设,记的前n项和为,试比较与的大小。‎ 解:(Ⅰ)因为是等比数列, 当 上式等价于不等式组: ①‎ 或 ②‎ 解①式得q>1;解②,由于n可为奇数、可为偶数,得-10且-1<<0或>0‎ 当或时即 当且≠0时,即 当或=2时,即 ‎13. (全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列,、、成等差数列.又,‎ .‎ ‎(Ⅰ) 证明为等比数列;‎ ‎(Ⅱ) 如果数列前3项的和等于,求数列的首项和公差.‎ ‎ (I)证明:∵、、成等差数列 ‎∴2=+,即 又设等差数列的公差为,则(-)=(-3)‎ 这样,从而(-)=0‎ ‎∵≠0‎ ‎∴=≠0‎ ‎∴ ‎∴是首项为=,公比为的等比数列。‎ ‎(II)解。∵ ∴=3 ∴==3‎ ‎14.(全国卷II)已知是各项为不同的正数的等差数列,、、成等差数列.又,.‎ ‎(Ⅰ) 证明为等比数列;‎ ‎(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和,求数列的首项和公差.‎ ‎(注:无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)‎ 解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,依题意,由 得 ‎ 即,得 因 当=0时,{an}为正的常数列 就有 ‎ 当=时,,就有 于是数列{}是公比为1或的等比数列 ‎(Ⅱ)如果无穷等比数列的公比=1,则当→∞时其前项和的极限不存在。‎ 因而=≠0,这时公比=, ‎ 这样的前项和为 则S= ‎ 由,得公差=3,首项==3‎ ‎15. (全国卷III) 在等差数列中,公差的等差中项.‎ 已知数列成等比数列,求数列的通项 解:由题意得:……………1分 ‎ ‎ 即…………3分 又…………4分 ‎ 又成等比数列,‎ ‎∴该数列的公比为,………6分 ‎ 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 ‎16. (山东卷)已知数列的首项前项和为,且 ‎(I)证明数列是等比数列;‎ ‎(II)令,求函数在点处的导数并比较与的大小.‎ 解:由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有,又从而即数列是等比数列;‎ ‎(II)由(I)知 因为所以 从而= ‎=-= 由上-=‎ =12①‎ 当时,①式=0所以;‎ 当时,①式=-12所以 当时,又 所以即①从而 ‎17.(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.‎ 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,‎ ‎(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?‎ ‎(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ ‎ [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,‎ ‎ 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,‎ ‎ 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.‎ 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.‎ ‎(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,‎ 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.‎ ‎ 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ ‎18. (天津卷)已知.‎ ‎(Ⅰ)当时,求数列的前n项和;‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎(18)解:(Ⅰ)当时,.这时数列的前项和 .   ①‎ ‎①式两边同乘以,得     ② ‎ ‎①式减去②式,得   若,‎ ,‎ 若, ‎(Ⅱ)由(Ⅰ),当时,,则.‎ 当时, 此时,.‎ 若,.‎ 若,.‎ ‎19. (天津卷)若公比为c的等比数列{}的首项=1且满足:(=3,4,…)。‎ ‎ (I)求c的值。‎ ‎(II)求数列{}的前项和。‎ ‎20. (浙江卷)已知实数a,b,c成等差数列,a+1,了+1,c+4成等比数列,求a,b,c.‎ 解:由题意,得 由(1)(2)两式,解得 将代入(3),整理得 解得 或 故,或 经验算,上述两组数符合题意。‎ ‎21(浙江卷)设点(,0),和抛物线:y=x2+an x+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-,由以下方法得到:‎ ‎ x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离,…,点在抛物线:y=x2+an x+bn上,点(,0)到的距离是 到 上点的最短距离.‎ ‎ (Ⅰ)求x2及C1的方程.‎ ‎ (Ⅱ)证明{}是等差数列.‎ 解:(I)由题意,得。‎ 设点是上任意一点,则 令 则 由题意,得即 又在上,‎ 解得 故方程为 ‎(II)设点是上任意一点,则 令,则.‎ 由题意得g,即 又 即 (*)‎ 下面用数学归纳法证明 ‎①当n=1时, 等式成立。‎ ‎②假设当n=k时,等式成立,即 则当时,由(*)知 又 即当时,等式成立。‎ 由①②知,等式对成立。‎ 是等差数列。‎ ‎22. (重庆卷)数列{an}满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0 (n³1)。记(n³1)。‎ ‎ (1) 求b1、b2、b3、b4的值;‎ ‎ (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。‎ 解法一:‎ ‎(I) ‎(II)因, 故猜想 因,(否则将代入递推公式会导致矛盾)。 ‎∵ 故的等比数列.‎ , 解法二:(Ⅰ)由 整理得 ‎(Ⅱ)由 所以 故 由得 故 解法三:‎ ‎(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ) 从而 故 ‎23. (重庆卷)数列{an}满足.‎ ‎(Ⅰ)用数学归纳法证明:;‎ ‎(Ⅱ)已知不等式,其中无理数e=2.71828….‎ ‎ (Ⅰ)证明:(1)当n=2时,,不等式成立.‎ ‎ (2)假设当时不等式成立,即 那么. 这就是说,当时不等式成立.‎ 根据(1)、(2)可知:成立.‎ ‎(Ⅱ)证法一:‎ 由递推公式及(Ⅰ)的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即 ‎(Ⅱ)证法二:‎ 由数学归纳法易证成立,故 令 取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因 故成立 ‎24. (江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.‎ 解:方法一:先考虑偶数项有: ‎ ‎ ………‎ ‎ ‎ ‎ 同理考虑奇数项有: ‎………‎ ‎ ‎ 综合可得 ‎ 方法二:因为 ‎ 两边同乘以,可得:‎ 令 所以 ‎………‎ ‎ 又 ‎∴ ‎∴ ‎25. (江西卷)已知数列 ‎(1)证明 ‎(2)求数列的通项公式an.‎ 解:(1)方法一 用数学归纳法证明:‎ ‎1°当n=1时, ‎ ∴,命题正确.‎ ‎2°假设n=k时有[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 则 ‎ 而 又 ‎∴时命题正确.‎ 由1°、2°知,对一切n∈N时有 方法二:用数学归纳法证明:‎ ‎ 1°当n=1时,∴;[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎ 2°假设n=k时有成立,‎ ‎ 令,在[0,2]上单调递增,所以由假设 有:即 也即当n=k+1时 成立,所以对一切 ‎ (2)下面来求数列的通项: ,‎ 又bn=-1,所以