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  • 2021-05-13 发布

高考数学拿分题训练平面向量与解析几何更多关注高中学习资料库

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‎2014高考数学“拿分题”训练:平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。‎ 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。‎ 二、例题解析 例1、(2000年全国高考题)椭圆的焦点为FF,点P为其上的动点,当∠FP F为钝角时,点P横坐标的取值范围是___。‎ 解:F1(-,0)F2(,0),设P(3cos,2sin)‎ 为钝角 ‎∴‎ ‎ =9cos2-5+4sin2=5 cos2-1<0‎ ‎ 解得:∴点P横坐标的取值范围是()‎ 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。‎ 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求的最大值和最小值。‎ 分析:因为O为AB的中点,所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。‎ 解:设已知圆的圆心为C,由已知可得:‎ 又由中点公式得 P C y x A o B 所以 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ 又因为 点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上, ‎ 所以 且 所以 即 故 所以的最大值为100,最小值为20。‎ 点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手。‎ 例3、(2003年天津高考题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过△ABC的( )‎ ‎(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 分析:因为同向的单位向量,由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线(射线)同向的一个向量,又,知P点的轨迹是∠ABC的角平分线,从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。‎ 反思:根据本题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤;‎ (1) 由顶点坐标(含线段端点)或直线方程求得角两边的方向向量;‎ (2) 求出角平分线的方向向量 (3) 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程:过P(),其方向向量为,其方程为}‎ 例4、(2003年天津)已知常数,向量,经过原点以 为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点,其中.试问:是否存在两个定点,使得为定值,若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎(本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.)‎ 解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.‎ ‎∵, ∴=(λ,a),=(1,-2λa).‎ 因此,直线OP和AP的方程分别为 和 .‎ 消去参数λ,得点的坐标满足方程.‎ 整理得 ……① 因为所以得: ‎ ‎(i)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;‎ ‎ (ii)当时,方程①表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点;‎ ‎ (iii)当时,方程①也表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点.‎ 点评:本题以平面向量为载体,考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景,我们不难看到,本题即为下题:在△OAP中,O(0,0)、A(0,a)为两个定点,另两边OP与AP的斜率分别是,求P的轨迹。‎ 而课本上有一道习题(数学第二册(上)第96页练习题4):‎ 三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在直线的斜率之积等于,求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。‎ 例5.(2004年天津卷理22)椭圆的中心是原点O,它的短轴长为,相应于焦点F(c,0)()的准线与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.‎ ‎ (1)求椭圆的方程及离心率;‎ ‎(2)若,求直线PQ的方程;‎ ‎(3)设(),过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M,证明 ‎.‎ 分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.‎ ‎(1)解:由题意,可设椭圆的方程为.‎ ‎ 由已知得解得 所以椭圆的方程为,离心率.‎ ‎(2)解:由(1)可得A(3,0).‎ 设直线PQ的方程为.由方程组 ‎ 得 依题意,得.‎ 设,则, ①. ②‎ 由直线PQ的方程得.于是 ‎. ③‎ ‎∵,∴. ④‎ 由①②③④得,从而.‎ 所以直线PQ的方程为或 ‎(2)证明:.由已知得方程组 ‎ 注意,解得 因,故 ‎.‎ 而,所以.‎ 三、总结提炼 由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,使向量与解析几何之间有着密切联系,而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查,这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向量有关知识,树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材,在教学中从推导有关公式、定理,例题讲解入手,让学生去品位、去领悟,在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性,逐渐形成应用向量的意识,在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论,加以引申,使之成为解题方法,体会向量解题的优越性,在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题,逐步树立运用向量知识解题的意识。‎