全国新课标卷高考文科数学及答案 5页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)‎ 数学(文科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知集合，则 ( )‎ A．(－1,3) B．(－1,0) C．(0,2) D．(2,3)‎ ‎2．若为实数，且，则 ( )‎ A．－4 B．－3 C．3 D．4‎ ‎3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎4．向量，，则 ( )‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．设是等差数列的前项和，若，则 ( )‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎7．已知三点 ，，则外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的 (　　) 第8题图 A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎9．已知等比数列满足，，则 (　　)‎ A．2 B．1 C. D. ‎10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎11.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　 　) ‎ ‎12.设函数，则使得成立的x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知函数的图象过点，则________.‎ ‎14．若x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ ‎15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为________．‎ ‎16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则________.‎ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分) 中，是上的点，平分，‎ ‎(1)求(2)若，求 ‎18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．‎ ‎ ‎ 图①‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎ (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．‎ 图②‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．‎ ‎19.(本小题满分12分)如图，长方体中，，,，点,分别在,上，.过点,的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；‎ ‎(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，点在C上．‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点,，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数．‎ ‎(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（I）求与交点的直角坐标；‎ ‎（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值 ‎24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎1、选A ‎2、故选D ‎3、选D ‎4、选C ‎5、解：在等差数列中，因为 ‎6、解：如图所示，选D.‎ ‎7、选B.‎ ‎8、故选B.‎ ‎9、解：因为所以，‎ 故选C.‎ ‎10、解：因为A,B都在球面上，又所以 三棱锥的体积的最大值为，所以R=6，所以球的表面积为 S=π，故选C.‎ ‎11、解：如图，当点P在BC上时，‎ 当时取得最大值，‎ 以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<.‎ 又函数不是一次函数，故选B.‎ ‎12、解：因为函数 故选A.‎ 第二卷 一、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ‎13、答：a=-2‎ ‎14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.‎ ‎15、解：设双曲线的方程为 ‎16、解：‎ 二、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎17、解：（Ⅰ）由正弦定理得 再由三角形内角平分线定理得 ‎（Ⅱ）‎ ‎18、解：（1）B地区频率分布直方图如图所示 比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：‎ A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分 B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分 A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。‎ ‎（2）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6，‎ ‎ B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，‎ 所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。‎ ‎19、解：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。‎ ‎（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 ‎20、解、（I）如图所示，由题设得 又点的坐标满足椭圆的方程，所以，‎ 联立解得：‎ ‎ ‎ ‎（II）设A,B两点的坐标为 上面两个式子相减得：‎ ‎（定值）‎ ‎21、解：已知.‎ ‎ ‎ ‎（II）由（1）知，当 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 ‎22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形，又AB=AC,‎ 所以∥‎ ‎（II）解：‎ ‎23.在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,‎ 在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（I）求与交点的直角坐标；‎ ‎（II）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ 解：（I）曲线 的直角坐标方程是 ‎（II）曲线 ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设 均为正数,且.证明：‎ ‎（I）若 ,则；‎ ‎（II）是的充要条件.‎ ‎24、证明：（I）因为 由题设知 ‎（II）（必要性）‎ ‎（充分性）若