湖北高考真题含答案数学理 10页

绝密★启用前 试卷类型：B ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（理工农医类）‎ 本试题卷共4页，三大题21小题.全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.‎ ‎ 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.‎ 答在试题卷、草稿纸上无效.‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.‎ ‎1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复 数的点是 ‎ A．E B．F ‎ C．G D．H ‎2．设集合，则 的子集的个数是 ‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎3．在中，a=15，b=10，A=，则=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是‎3”‎为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=‎ 第 10 页 共 10 页 ‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为 ‎ A．26，16，8 B．25，17，‎8 ‎C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎7．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的 内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下 去，设为前n个圆的面积之和，则=‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ‎ A．152 B．‎126 ‎C．90 D．54‎ ‎9．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎10．记实数中的最大数为，最小数为已知的三边边长为a，b，c（），定义它的倾斜度为 ‎ ‎ ‎ 则是“为等边三角”的 ‎ A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.一题两空的题，其答案按先后顺序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．在的展开式中，系数为有理数的项共有 项.‎ ‎12．已知，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为 .‎ ‎13．四柱形容器内部盛有高度为‎8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm.‎ ‎14．某射手射击所得环数的分布列如下：‎ 第 10 页 共 10 页 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0．1‎ ‎0．3‎ ‎ 已知的期望，则y的值为 .‎ ‎15．设称为a、b的调和平均数，如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C做OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a，b的几何平均数，线段 的长度是a，b的调和平均数.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （I）求函数的最小正周期；‎ ‎ （II）求函数的最大值，并求使取得最大值的x的集合.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 为了在夏季降温和冬天了供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎ （I）求k的值及的表达式；‎ ‎ （II）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，且OA=OB=OC=1.‎ ‎ （I）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使并计算的值;‎ ‎ （II）求二面角O—AC—B的平面角的余弦值. ‎ 第 10 页 共 10 页 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎ （I）求曲线C的方程；‎ ‎ （II）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列满足：；数列满足：‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图象在点处的切线方程为 ‎ （I）用a表示出b，c；‎ ‎ （II）若上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎ （III）证明：‎ 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.‎ ‎1—10 DADCBBCBCA 二、填空题：‎ ‎11．6 12．5 13．4 14．0.4 15．CD，DE 三、解答题：本大题共6小题，共75分.‎ ‎16．本小题主要考查三角函数的基本公式，周期和最值等基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）‎ 解：（I）‎ 第 10 页 共 10 页 的最小正周期为 ‎ （II）‎ 当时，取得最大值 取得最大值时，对应的x的集合为 ‎17．本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，（满分12分）‎ ‎ 解：（I）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为，‎ ‎ 再由 ‎ 而建造费用为 ‎ 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎ ‎ ‎ （II）‎ ‎ 解得（舍去）‎ ‎ 当时， 当 故x=5是的最小值点，对应的最小值为 当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.‎ ‎18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎ （I）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC. ‎ 又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.‎ 平面ONC，‎ 取Q为AN的中点，则PQ//NC，‎ 在等腰 第 10 页 共 10 页 在 在 ‎ （II）连结ON，PO.‎ 由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，‎ 又平面OAB，∴OC⊥ON，‎ 又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC，‎ ‎∴OP是NP在平面AOC内的射影，‎ 在等腰中，P为AC的中点，‎ 根据三垂线定理，知：AC⊥NP.‎ 为二面角O—AC—B的平面角，‎ 在等腰中，OC=OA=1，，‎ 在 解法二：‎ ‎ （I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在角的直线为x轴，z轴，建立空间直角从标系O—xyz（如图所示）‎ 则A（1，0，0），C（0，0，1），‎ ‎∵P为AC中点，‎ 设 第 10 页 共 10 页 所以存在点使得 ‎ （II）记平面ABC的法向量为，则由 且，‎ 得故可取 又平面OAC的法向量为 二面角O—AC—B的平面角是锐角，记为 ‎19．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力.（满分12分）‎ ‎ 解：（I）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：‎ ‎ ‎ ‎ 化简得 ‎ （II）设过点M（m，0）的直线与曲线C的交点为 设的方程为 于是 ①‎ 又 ‎ ②‎ 第 10 页 共 10 页 又于是不等式②等价于 ‎ ③‎ 由①式，不等式③等价于 ‎ ④‎ 对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于 由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是 ‎20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力.‎ ‎ （满分13分）‎ 解：（I）由题意可知，‎ 令 又则数列是首项为公比为的等比数列，即 ‎，故 又 故 ‎ （II）用反证法证明：‎ 假设数列存在三点按某种顺序成等差数列，由于数列 是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只可能有成立，‎ ‎，‎ 第 10 页 共 10 页 两边同乘化简得 由于，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.‎ 故数列中任意三项不可能成等差数列.‎ ‎21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）‎ 解：（I）‎ ‎ （II）由（I）知，‎ 令 则 ‎（i）当 若是减函数，所以 即上不恒成立.‎ ‎（ii）当 若是增函数，所以 即时，‎ 综上所述，所求a的取值范围为 ‎ （II）解法一：由（II）知：当 令 且当 令 第 10 页 共 10 页 即 将上述n个不等式依次相加得 整理得 解法二：用数学归纳法证明.‎ ‎ （1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立.‎ ‎ （2）假设n=k时，不等式成立，就是、‎ 那么 由（II）知：当时，有 令 令 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.‎ 根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立.‎ 第 10 页 共 10 页