高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解 9页

高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解 一、选择题 ‎1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎[答案]　A ‎[解析]　f(x)＝cos(2x＋)＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.‎ ‎(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝(　　)‎ A．2π B．π C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　y＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x ‎＝＋sin，∴最小正周期T＝π.‎ ‎2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，)的模为，则cos2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵|a|2＝cos2α＋2＝cos2α＋＝，‎ ‎∴cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎3．已知tan＝3，则cosα＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　cosα＝cos2－sin2＝ ‎＝＝＝－，故选B.‎ ‎4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角的三角形 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵sinAsinB＝cos2，‎ ‎∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，‎ ‎∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，‎ ‎∴cos(A－B)＝1，‎ ‎∵－πcosx，‎ ‎∴sinx－cosx＝，故选D.‎ ‎7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是(　　)‎ A．x≤y B．x＜y C．x≥y D．x＞y ‎[答案]　D ‎[解析]　∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.‎ ‎(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是(　　)‎ A．2ab>c2 B．a2＋b2a2 D．b2＋c20，‎ ‎∴0，‎ 由余弦定理得，cosC＝<0，‎ ‎∴a2＋b2－c2<0，故应选B.‎ ‎8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎[答案]　D ‎[解析]　y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，‎ 将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移个单位得，sin2＝sin＝－sin＝－cos2x，故选D.‎ ‎9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，‎ 则tan的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，‎ ‎∵<α<π，∴cosα＝－，∴tanα＝－，‎ ‎∴tan＝＝.‎ ‎10．(2010·湖北黄冈模拟)若≤α≤，则＋等于(　　)‎ A．－2cos B．2cos C．－2sin D．2sin ‎[答案]　C ‎[解析]　∵≤α≤，∴≤≤.‎ ‎∴＋ ‎＝＋ ‎＝＋ ‎＝－(sin＋cos)－(sin－cos)‎ ‎＝－2sin.‎ 二、填空题 ‎11．(2010·广东罗湖区调研)若sin＝，则cos2θ＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵sin＝，∴cosθ＝，‎ ‎∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.‎ ‎12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝的最大值与最小值的积是________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　y＝＝ ‎＝·＝＋ ‎＝sin2x·cos2x＝sin4x，‎ 所以最大与最小值的积为－.‎ ‎13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为 ‎＝ ‎＝＝1.‎ ‎14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ＝＝，‎ ‎∵tanθ＝，∴tan＝(负值舍去)，‎ ‎∴tan2＝.‎ ‎(理)＝________.‎ ‎[答案]　－4 ‎[解析]　＝ ‎＝＝－4.‎ 三、解答题 ‎15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.‎ ‎(1)求f()的值；‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.‎ ‎(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx ‎＝3cos2x－4cosx－1‎ ‎＝3(cosx－)2－，x∈R 因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.‎ ‎(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值及最小值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx ‎＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx ‎＝cos2x＋sin2x＝ ‎＝sin.‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，‎ ‎∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1.‎ ‎16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；‎ ‎(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，‎ 所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.‎ ‎(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，‎ 因为C为锐角，所以C＝，‎ 在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，‎ 所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ‎＝×＋×＝.‎ ‎(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.‎ ‎(1)求tan‎2A的值；‎ ‎(2)求的值．‎ ‎[解析]　(1)∵·＝(sinB＋cosB)sinC＋‎ cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，‎ ‎∴sinA＋cosA＝－①‎ 两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，‎ ‎∵－<0，∴A∈，‎ ‎∴sinA－cosA＝＝②‎ 联立①②得：sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝－，‎ ‎∴tan‎2A＝＝＝－.‎ ‎(2)∵tanA＝－，‎ ‎∴＝＝ ‎＝＝13.‎ ‎17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.‎ ‎(1)求m和a的值；‎ ‎(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax ‎＝－sin2ax＝－sin＋，‎ 由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，‎ 所以m＝－或m＝，‎ 由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，‎ 所以m＝－或m＝，a＝2.‎ ‎(2)∵f(x)＝－sin＋，‎ ‎∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴x＝－(k∈Z)，‎ 由0≤－≤　(k∈Z)，得k＝1或k＝2，‎ 因此点A的坐标为或.‎ ‎(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f ′(x)是f(x)的导函数．‎ ‎(1)求函数F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)的最大值和最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)＝‎2f ′(x)，求的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosx，‎ ‎∴f ′(x)＝cosx－sinx，‎ ‎∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)‎ ‎＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx ‎＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋sin，‎ ‎∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝1＋.‎ 最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)∵f(x)＝‎2f ′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，‎ ‎∴cosx＝3sinx，∴tanx＝，‎ ‎∴＝＝＝2.‎