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  • 2021-05-13 发布

高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解

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高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解 一、选择题 ‎1.(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)=cos2(x+)-sin2(x+),x∈R,则函数f(x)是(  )‎ A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 ‎[答案] A ‎[解析] f(x)=cos(2x+)=-sin2x为奇函数,周期T==π.‎ ‎(理)(2010·辽宁锦州)函数y=sin2x+sinxcosx的最小正周期T=(  )‎ A.2π B.π C. D. ‎[答案] B ‎[解析] y=sin2x+sinxcosx=+sin2x ‎=+sin,∴最小正周期T=π.‎ ‎2.(2010·重庆一中)设向量a=(cosα,)的模为,则cos2α=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎[答案] B ‎[解析] ∵|a|2=cos2α+2=cos2α+=,‎ ‎∴cos2α=,∴cos2α=2cos2α-1=-.‎ ‎3.已知tan=3,则cosα=(  )‎ A. B.- C. D.- ‎[答案] B ‎[解析] cosα=cos2-sin2= ‎===-,故选B.‎ ‎4.在△ABC中,若sinAsinB=cos2,则△ABC是(  )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角的三角形 ‎[答案] B ‎[解析] ∵sinAsinB=cos2,‎ ‎∴[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cosC),‎ ‎∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC,‎ ‎∴cos(A-B)=1,‎ ‎∵-πcosx,‎ ‎∴sinx-cosx=,故选D.‎ ‎7.(文)在锐角△ABC中,设x=sinA·sinB,y=cosA·cosB,则x,y的大小关系是(  )‎ A.x≤y B.x<y C.x≥y D.x>y ‎[答案] D ‎[解析] ∵π>A+B>,∴cos(A+B)<0,即cosAcosB-sinAsinB<0,∴x>y,故应选D.‎ ‎(理)(2010·皖南八校)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,如果cos(2B+C)+2sinAsinB<0,那么a、b、c满足的关系是(  )‎ A.2ab>c2 B.a2+b2a2 D.b2+c20,‎ ‎∴0,‎ 由余弦定理得,cosC=<0,‎ ‎∴a2+b2-c2<0,故应选B.‎ ‎8.(2010·吉林省调研)已知a=(cosx,sinx),b=(sinx,cosx),记f(x)=a·b,要得到函数y=sin4x-cos4x的图象,只需将函数y=f(x)的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎[答案] D ‎[解析] y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos2x,‎ 将f(x)=a·b=2sinxcosx=sin2x,向右平移个单位得,sin2=sin=-sin=-cos2x,故选D.‎ ‎9.(2010·浙江金华十校模考)已知向量a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈,若a·b=,‎ 则tan的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] a·b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=,∴sinα=,‎ ‎∵<α<π,∴cosα=-,∴tanα=-,‎ ‎∴tan==.‎ ‎10.(2010·湖北黄冈模拟)若≤α≤,则+等于(  )‎ A.-2cos B.2cos C.-2sin D.2sin ‎[答案] C ‎[解析] ∵≤α≤,∴≤≤.‎ ‎∴+ ‎=+ ‎=+ ‎=-(sin+cos)-(sin-cos)‎ ‎=-2sin.‎ 二、填空题 ‎11.(2010·广东罗湖区调研)若sin=,则cos2θ=________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] ∵sin=,∴cosθ=,‎ ‎∴cos2θ=2cos2θ-1=-.‎ ‎12.(2010·江苏无锡市调研)函数y=的最大值与最小值的积是________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] y== ‎=·=+ ‎=sin2x·cos2x=sin4x,‎ 所以最大与最小值的积为-.‎ ‎13.(2010·浙江杭州质检)函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°),(x∈R)的最大值是________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] y=sinxcos10°+cosxsin10°+cosxcos40°-sinxsin40°=(cos10°-sin40°)sinx+(sin10°+cos40°)cosx,其最大值为 ‎= ‎==1.‎ ‎14.(文)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则tan2=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设OC=r,∵AD=3DB,且AD+DB=2r,∴AD=,∴OD=,∴CD=r,∴tanθ==,‎ ‎∵tanθ=,∴tan=(负值舍去),‎ ‎∴tan2=.‎ ‎(理)=________.‎ ‎[答案] -4 ‎[解析] = ‎==-4.‎ 三、解答题 ‎15.(文)(2010·北京理)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.‎ ‎(1)求f()的值;‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值.‎ ‎[解析] (1)f()=2cos+sin2-4cos=-1+-2=-.‎ ‎(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx ‎=3cos2x-4cosx-1‎ ‎=3(cosx-)2-,x∈R 因为cosx∈[-1,1],所以当cosx=-1时,f(x)取最大值6;当cosx=时,f(x)取最小值-.‎ ‎(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设f(x)=a·b.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值及最小值.‎ ‎[解析] (1)f(x)=a·b=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx ‎=cos2x-sin2x+2sinxcosx ‎=cos2x+sin2x= ‎=sin.‎ ‎∴f(x)的最小正周期T=π.‎ ‎(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,‎ ‎∴当2x+=,即x=时,f(x)有最大值;当2x+=,即x=时,f(x)有最小值-1.‎ ‎16.(文)设函数f(x)=cos+sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;‎ ‎(2)设A、B、C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA的值.‎ ‎[解析] (1)f(x)=cos+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x,‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期为π.‎ ‎(2)f()=-sinC=-,所以sinC=,‎ 因为C为锐角,所以C=,‎ 在△ABC中,cosB=,所以sinB=,‎ 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ‎=×+×=.‎ ‎(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角,=(sinB+cosB,cosC),=(sinC,sinB-cosB),·=-.‎ ‎(1)求tan‎2A的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎[解析] (1)∵·=(sinB+cosB)sinC+‎ cosC(sinB-cosB)=sin(B+C)-cos(B+C)=-,‎ ‎∴sinA+cosA=-①‎ 两边平方并整理得:2sinAcosA=-,‎ ‎∵-<0,∴A∈,‎ ‎∴sinA-cosA==②‎ 联立①②得:sinA=,cosA=-,∴tanA=-,‎ ‎∴tan‎2A===-.‎ ‎(2)∵tanA=-,‎ ‎∴== ‎==13.‎ ‎17.(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)=sin2ax-sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为.‎ ‎(1)求m和a的值;‎ ‎(2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且x0∈,求点A的坐标.‎ ‎[解析] (1)f(x)=sin2ax-sinaxcosax ‎=-sin2ax=-sin+,‎ 由题意知,m为f(x)的最大值或最小值,‎ 所以m=-或m=,‎ 由题设知,函数f(x)的周期为,∴a=2,‎ 所以m=-或m=,a=2.‎ ‎(2)∵f(x)=-sin+,‎ ‎∴令sin=0,得4x+=kπ(k∈Z),‎ ‎∴x=-(k∈Z),‎ 由0≤-≤ (k∈Z),得k=1或k=2,‎ 因此点A的坐标为或.‎ ‎(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a=(sinx,1),b=(1,cosx),记f(x)=a·b,f ′(x)是f(x)的导函数.‎ ‎(1)求函数F(x)=f(x)f ′(x)+f 2(x)的最大值和最小正周期;‎ ‎(2)若f(x)=‎2f ′(x),求的值.‎ ‎[解析] (1)f(x)=sinx+cosx,‎ ‎∴f ′(x)=cosx-sinx,‎ ‎∴F(x)=f(x)f ′(x)+f 2(x)‎ ‎=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx ‎=cos2x+sin2x+1=1+sin,‎ ‎∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,F(x)max=1+.‎ 最小正周期为T==π.‎ ‎(2)∵f(x)=‎2f ′(x),∴sinx+cosx=2cosx-2sinx,‎ ‎∴cosx=3sinx,∴tanx=,‎ ‎∴===2.‎