高考理科数学新课标1卷解析版 12页

‎ 2013年高考理科数学新课标1卷解析版 一、选择题（题型注释）‎ ‎1．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则( )‎ A、A∩B=Æ B、AB=R C、BA D、AB ‎【答案】B；‎ ‎【解析】依题意，由数轴可知，选B.‎ ‎【考点定位】本题考查集合的基本运算，考查学生数形结合的能力.‎ ‎2．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( )‎ A、－4 （B）－ （C）4 （D）‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】设，故，所以，解得.‎ ‎【考点定位】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 ‎【答案】C；‎ ‎【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照年段分层抽样.‎ ‎【考点定位】本题考查随机抽样，考查学生对概念的理解.‎ ‎4．已知双曲线C:－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为 ( )‎ A、y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x ‎【答案】C；‎ ‎【解析】，故，即，故渐近线方程为.‎ ‎【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎5．执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )‎ A、[－3,4] B、[－5,2]‎ C、[－4,3] D、[－2,5] ‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】若，则；若，；综上所述.‎ ‎【考点定位】本题考查算法框图，考查学生的逻辑推理能力.‎ ‎6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )‎ A、cm3 B、cm‎3‎ C、cm3 D、cm3‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，，设，故，因为，解得，故该球的半径，所以.‎ ‎【考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能力.‎ ‎7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( )‎ A、3 B、‎4‎ C、5 D、6‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】，故；因为，故，故，因为，故，即.‎ ‎【考点定位】本题考查等差数列的基本公式，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎8．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )‎ A、16+8 B、8+8‎ C、16+16 D、8+16‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】上半部分体积为，下半部分体积，故总体积.‎ ‎【考点定位】本题考查三视图以及简单组合体的体积计算，考查学生的空间想象能力.‎ ‎9．设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a=7b，则m＝ ( )‎ A、5 B、‎6‎ C、7 D、8‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】，，因为，解得m=6.‎ ‎【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )‎ A、＋＝1 B、＋＝‎1‎ ‎ C、＋＝1 D、＋＝1‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.‎ ‎【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎11．已知函数f(x)＝，若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )‎ A、（－∞，0] B、（－∞，1] C、[－2，1] D、[－2，0]‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】作出函数图像，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，，，，故；当时，，，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，‎ ‎【考点定位】本题考查导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.‎ ‎12．设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…‎ 若b1＞c1，b1＋c1＝‎2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )‎ A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】因为，不妨设，；‎ 故；‎ ‎，，， ；‎ 显然；‎ 同理，，，，，显然.‎ ‎【考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，考查学生特殊到一般的数学思想.‎ 二、双选题（题型注释）‎ 三、判断题（题型注释）‎ 四、连线题（题型注释）‎ 五、填空题（题型注释）‎ ‎13．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】，故，故.‎ ‎【考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎14．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】当时，；当时，，故；所以.‎ ‎【考点定位】本题考查数列的前n项和与通项公式之间的关系，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎15．设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】.‎ ‎【考点定位】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解 ‎16．若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.‎ ‎【答案】16；‎ ‎【解析】依题意，为偶函数，‎ 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.‎ ‎【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.‎ 六、综合题（题型注释）‎ 七、探究题（题型注释）‎ 八、解答题 ‎17．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°‎ ‎(1)若PB=，求PA；‎ ‎(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA ‎【答案】（1）因为，所以，所以，由余弦定理得：；‎ ‎（2）设，由已知得，由正弦定理得，化简得，故.‎ ‎【解析】（1）利用余弦定理可以求出PA；（2）在中使用正弦定理可以得到，进而化简，得到结论.‎ ‎【考点定位】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合的能力以及转化与化归能力.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B‎1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.‎ ‎（Ⅰ）证明AB⊥A‎1C;‎ ‎（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A‎1C 与平面BB‎1C‎1C所成角的正弦值。‎ ‎【答案】（1）取AB的中点O，连接、、，因为CA=CB，所以，由于AB=A A1，∠BA A1=600，所以，所以平面，因为平面，所以AB⊥A1C；‎ ‎（2）以O为原点，OA所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图直角坐标系，，，，则，，，设为平面的法向量，则，所以为平面的一个法向量，所以直线A‎1C 与平面BB‎1C‎1C所成角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）构造辅助线证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2‎ ‎）利用向量法进行求解.‎ ‎【考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及向量法求空间角，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.‎ ‎19．（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则；‎ ‎（2）X的可能取值为400、500、800；‎ ‎，，，则X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X为400、500、800时的概率，进而列出分布列，求出期望.‎ ‎【考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ ‎【答案】依题意，圆M的圆心，圆N的圆心，故，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为；‎ ‎（2）对于曲线C上任意一点，由于（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；‎ 若直线l垂直于x轴，易得；‎ 若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为，再对直线l进行分类讨论求弦长.‎ ‎【考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程，考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.‎ ‎21．（本小题满分共12分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值 ‎（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围。‎ ‎【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；‎ ‎（2）令，则，由题设可得，故，令得，‎ ‎（1）若，则，从而当时，，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；‎ ‎（2）若，，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立 ‎（3）若，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；‎ 综上所述k的取值范围为.‎ ‎【解析】（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）构造函数“”，对k的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.‎ ‎【考点定位】本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。‎ ‎（Ⅰ）证明：DB=DC；‎ ‎（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。‎ ‎【答案】（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，，，又因为，所以DE为直径，由勾股顶底得DB=DC.‎ ‎（2）由（1），，，故是的中垂线，故，圆心为O，连接BO，则，，所以，故外接圆半径为.‎ ‎【解析】（1）利用弦切角定理进行求解；（2）利用（1）中的结论配合角度的计算可以得到答案.‎ ‎【考点定位】本题考查几何证明中的定理运用，考查学生的数形结合的能力.‎ ‎23．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）因为，消去参数，得，即 ‎，‎ 故极坐标方程为；‎ ‎（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.‎ ‎【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.‎ ‎（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 当时，令，，做出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；‎ ‎（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故 ‎，故，故的取值范围是.‎ ‎【解析】（1）构造函数，作出函数图像，观察可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.‎ ‎【考点定位】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.‎