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  • 2021-05-13 发布

2011年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

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‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)‎ 数学(文)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则(M∩N)=(  ) ‎ A.{1,2}          B.{2,3} C.{2,4}           D.{1,4}‎ ‎2、函数 y=2(x≥0)的反函数为(  ) ‎ A. (x∈R)            B. (x≥0) ‎ ‎ C.y=4x2(x∈R)          D.y=4x2(x≥0)‎ ‎3、设向量a,b满足|a|=|b|=1,,则|a+2b|=(  ) ‎ A.            B.           C.            D.‎ ‎4、若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最小值为(  )‎ A.17            B.14         C.5            D.3‎ ‎5、下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是(  ) ‎ A.a>b+1         B.a>b-1 C.a2>b2             D.a3>b3‎ ‎6、设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=(  ) ‎ A.8           B.7            C.6           D.5‎ ‎7、设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于(  ) ‎ A.          B.3          C.6           D.9‎ ‎8、已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD=…(  ) ‎ A.2        B.            C.           D.1‎ ‎9、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(  ) ‎ A.12种           B.24种 C.30种         D.36种 ‎10、(5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-5/2)=(  ) ‎ A.           B.        C.            D.‎ ‎11、设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=(  ) ‎ A.4          B.           C.8       D.‎ ‎12、已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为(  ) ‎ A.7π           B.9π            C.11π          D.13π 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、 (1-x)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为______.‎ ‎14、已知,tanα=2,则cosα=______.‎ ‎15、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______.‎ ‎16、已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线,则|AF2|=______.‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.‎ ‎18、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,‎ ‎. ‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若A=75°,b=2,求a,c.‎ ‎19、根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. ‎ ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;‎ ‎(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.‎ ‎20、如图,四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1. ‎ ‎(1)证明:SD⊥平面SAB;‎ ‎(2)求AB与平面SBC所成的角的大小.‎ ‎21、已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). ‎ ‎(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2);‎ ‎(2)若f(x)在x=x0处取得极小值,x0∈(1,3),求a的取值范围.‎ ‎22、已知O为坐标原点,F为椭圆C:在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点,点P满足. ‎ ‎(1)证明:点P在C上;‎ ‎(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A,P,B,Q四点在同一圆上.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(2全国卷)‎ 数学(文)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1、(5分) D ‎ M∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3},‎ 又∵U={1,2,3,4},∴(M∩N)={1,4}.‎ ‎2、(5分) B ‎ 由 (x≥0)得 (y≥0),‎ ‎∴,∴反函数为 (x≥0).‎ ‎3、(5分) B ‎ 由|a|=|b|=1,,‎ 得 ‎.‎ ‎4、(5分) C ‎ 由x,y的约束条件画出可行域如图:‎ 设l0:,‎ 则过A点时,z的值最小.‎ 由得A(1,1),‎ ‎∴zmin=2×1+3×1=5. ‎ ‎5、(5分) A ‎ A项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以“a>b+1”为“a>b”成立的充分不必要条件.‎ ‎6、(5分) D ‎ 由Sk+2-Sk=24,∴ak+1+ak+2=24,‎ ‎∴a1+kd+a1+(k+1)d=24,∴2a1+(2k+1)d=24.‎ 又a1=1,d=2,∴k=5. ‎ ‎7、(5分) C ‎ 由题意得:为函数f(x)=cosωx的最小正周期的正整数倍,∴ (k∈N*),‎ ‎∴ω=6k(k∈N*),∴ω的最小值为6. ‎ ‎8、(5分) C ‎ 如图,AB=2,AC=BD=1,连结BC,则△ABC为直角三角形,‎ ‎∴.‎ 又△BCD为直角三角形,‎ ‎ ∴.‎ ‎9、(5分) B ‎ 先从4人中选2人选修甲课程,有种方法,剩余2人再选修剩下的2门课程,有22种方法,∴共有种方法.‎ ‎10、(5分) A ‎ ‎∵f(x)是周期为2的奇函数,‎ ‎∴‎ ‎11、(5分) C ‎ 由题意可设两圆的方程均为:(x-r)2+(y-r)2=r2.‎ 将(4,1)代入,可得:(4-r)2+(1-r)2=r2,‎ ‎∴r2-10r+17=0.∴此方程两根r1,r2分别为两圆半径,‎ ‎∴两圆心的距离 ‎12、(5分) D ‎ 由题意可得截面图形.‎ ‎∵圆M的面积为4π,∴圆M的半径为2.‎ ‎∵α与β所成二面角为60°,‎ ‎∴∠BMC=60°.‎ 在△OMB中,∠OMB=90°,MB=2,OB=4,∴∠OBM=60°.‎ ‎∴OB∥CD,.‎ 在△OMN中,∠OMN=30°,,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴圆N的面积为.‎ 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)‎ ‎13、(5分) 0‎ 解析:(1-x)10的通项公式.‎ ‎∴,,‎ ‎∴系数之差为.‎ ‎14、(5分) ‎ 解析:∵α∈(π,),tanα=2,‎ ‎∴.又sin2α+cos2α=1,∴5cos2α=1,‎ ‎∴.‎ ‎15、(5分) ‎ 解析:如图,连结DE.∵AD∥BC,‎ ‎∴AE与BC所成的角,即为AE与AD所成的角,即∠EAD.‎ 设正方体棱长为a,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎16、(5分) 6‎ 解析:F1(-6,0),F2(6,0),M(2,0),‎ ‎∴|F1M|=8,|MF2|=4.‎ 由内角平分线定理得:‎ ‎,‎ 又|AF1|-|AF2|=2a=2×3=6,‎ ‎∴2|AF2|-|AF2|=|AF2|=6. ‎ 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)‎ ‎17、(10分) 解:设{an}的公比为q,由题设得 解得或 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);‎ 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. ‎ ‎18、(12分) 解:(1)由正弦定理得.‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.‎ 故,因此B=45°.‎ ‎(2) sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=.‎ 故,‎ ‎.‎ ‎19、(12分) 解:记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;‎ B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;‎ C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;‎ D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.‎ ‎(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,‎ P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.‎ ‎(2) ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,‎ P(E)=×0.2×0.82=0.384. ‎ ‎20、(12分) ‎ 解法一:‎ ‎(1)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2.‎ 连结SE,‎ 则SE⊥AB,.‎ 又SD=1,故ED2=SE2+SD2,‎ 所以∠DSE为直角.‎ 由AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E,得AB⊥平面SDE,所以AB⊥SD.‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直.‎ 所以SD⊥平面SAB.‎ ‎(2)由AB⊥平面SDE知,平面ABCD⊥平面SDE.‎ 作SF⊥DE,垂足为F,‎ 则SF⊥平面ABCD,.‎ 作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1.‎ 连结SG,则SG⊥BC.‎ 又BC⊥FG,SG∩FG=G,故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.‎ 作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC.‎ ‎,即F到平面SBC的距离为.‎ 由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,E到平面SBC的距离d也为.‎ 设AB与平面SBC所成的角为α,‎ 则,.解法二:以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.‎ 设D(1,0,0),则A(2,2,0),B(0,2,0).‎ 又设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0,‎ ‎(1) =(x-2,y-2,z),=(x,y-2,z),=(x-1,y,z),‎ 由得 ‎,‎ 故x=1.‎ 由得y2+z2=1,‎ 又由得x2+(y-2)2+z2=4,‎ 即y2+z2-4y+1=0,故,.‎ 于是,,,,,.‎ 故DS⊥AS,DS⊥BS,又AS∩BS=S,‎ 所以SD⊥平面SAB.‎ ‎(2)设平面SBC的法向量a=(m,n,p),‎ 则,,,.‎ 又,,‎ 故 取p=2得.又,‎ ‎.‎ 故AB与平面SBC所成的角为.‎ ‎21、(12分) 解:(1)f′(x)=3x2+6ax+3-6a.‎ 由f(0)=12a-4,f′(0)=3-6a,得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3-6a)x+12a-4,‎ 由此知曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2).‎ ‎(2)由f′(x)=0,得x2+2ax+1-2a=0.‎ ‎①当时,f(x)没有极小值;‎ ‎②当或时,由f′(x)=0,得 ‎,,‎ 故x0=x2.由题设知1<-a+<3.‎ 当时,不等式无解;‎ 当时,解不等式,‎ 得.‎ 综合①②得a的取值范围是(,).‎ ‎22、(12分) 解:(1)F(0,1),l的方程为,代入并化简得.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),‎ 则,,‎ ‎,,‎ 由题意得,y3=-(y1+y2)=-1.‎ 所以点P的坐标为.‎ 经验证,点P的坐标)满足方程,故点P在椭圆C上.‎ ‎(2)由P和题设知,Q,PQ的垂直平分线l1的方程为.①‎ 设AB的中点为M,则M,AB的垂直平分线l2的方程为.②‎ 由①②得l1、l2的交点为N,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故|NP|=|NA|.‎ 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|,‎ 由此知A,P,B,Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.‎