高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析 38页

第六单元 解三角形 教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过 正弦定理、余弦定理 ‎[过双基]‎ ‎1．正弦定理 ＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．‎ 由正弦定理可以变形：‎ ‎(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；‎ ‎(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ ‎2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A，‎ b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C.‎ 余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎　　 ‎1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝，且b＜c，则b＝(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D. 解析：选C　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4，∵b＜c，∴b＝2.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A的大小为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 解析：选B　由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccos A，又因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝，则A＝60°.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝.则c的值为(　　)‎ A．4 B．2‎ C．5 D．6‎ 解析：选A　∵c＝2a，b＝4，cos B＝，‎ ‎∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 即16＝c2＋c2－c2＝c2，‎ 解得c＝4.‎ ‎4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，‎ 故tan B＝2sin A＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，‎ 又A＝B＝，则△ABC是正三角形，‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ ‎5．(2018·湖南四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的大小为(　　)‎ A.或 B.或 C. D. 解析：选A　由题意知，＝⇒cos C＝，‎ sin C＝，又C∈(0，π)，∴C＝或.‎ ‎6．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)‎ A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：选D　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，‎ ‎∴AC＝10(km)．‎ ‎7．(2018·贵州质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 解析：选C　∵c2＝(a－b)2＋6，‎ ‎∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①‎ ‎∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②‎ 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ ‎8．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10 n mile　　　　　　 B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile 解析：选A　画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10.‎ 故B，C两点间的距离是10 n mile.‎ 二、填空题 ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：因为3sin A＝2sin B，所以由正弦定理可得3a＝2b，则b＝3，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，则c＝4.‎ 答案：4‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．‎ 解析：∵在△ABC中，角A，B，C成等差数列，‎ ‎∴2B＝A＋C，由三角形内角和定理，可得B＝，‎ 又∵边a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，‎ 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ ‎∴ac＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－2ac＝0，‎ 故(a－c)2＝0，可得a＝c，‎ 所以△ABC的形状为等边三角形．‎ 答案：等边三角形 ‎11．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围为________．‎ 解析：由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，以2为半径的圆与AB有两个交点，当A＝90°时，圆与AB相切，只有一解；当A＝45°时，交于B点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°b，a＝5，c＝6，sin B＝.‎ ‎(1)求b和sin A的值；‎ ‎(2)求sin的值．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，因为a>b，‎ 故由sin B＝，可得cos B＝.‎ 由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，‎ 所以b＝.‎ 由正弦定理＝，得sin A＝＝.‎ 所以b的值为，sin A的值为.‎ ‎(2)由(1)及a0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.‎ ‎3．(2018·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是(　　)‎ A．a＝c B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2‎ 解析：选B　由余弦定理，得cos A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin B＝sin A＝sin 30°＝，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c ‎，可知A成立，故选B.‎ ‎4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　如图所示，设CD＝a，则易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选C　因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，‎ 则由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，‎ 即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，‎ 即＝4，‎ 所以＝4，‎ 解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，·>0，a＝，则b＋c的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，‎ 由余弦定理可得cos A＝＝＝，‎ ‎∵A是△ABC的内角，∴A＝60°.‎ ‎∵a＝，‎ ‎∴由正弦定理得＝＝＝＝1，‎ ‎∴b＋c＝sin B＋sin(120°－B)＝sin B＋cos B ‎＝sin(B＋30°)．‎ ‎∵·＝||·||·cos(π－B)>0，‎ ‎∴cos B<0，B为钝角，‎ ‎∴90°0，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积S＝bcsin A＝.‎ 法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝，‎ 又由a>b，知A>B，所以cos B＝.‎ 故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.‎ 所以△ABC的面积S＝absin C＝.‎ ‎12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B·(acos B＋bcos A)＝ccos B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由正弦定理得，‎ sin B(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Ccos B，‎ ‎∴sin Bsin(A＋B)＝sin Ccos B，‎ ‎∴sin Bsin C＝sin Ccos B.‎ ‎∵sin C≠0，∴sin B＝cos B，即tan B＝.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ ‎(2)∵S△ABC＝acsin B＝ac＝2，∴ac＝8.‎ 根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ ‎∴12＝a2＋c2－8，即a2＋c2＝20，‎ ‎∴a＋c＝＝＝6，‎ ‎∴△ABC的周长为6＋2.‎ ‎1．在平面五边形ABCDE中，已知∠A＝120°，∠B＝90°，∠C＝120°，∠E＝90°，AB＝3，AE＝3，当五边形ABCDE的面积S∈时，则BC的取值范围为________．‎ 解析：因为AB＝3，AE＝3，且∠A＝120°，‎ 由余弦定理可得BE＝＝3，且∠ABE＝∠AEB＝30°.‎ 又∠B＝90°，∠E＝90°，所以∠DEB＝∠EBC＝60°.‎ 又∠C＝120°，所以四边形BCDE是等腰梯形．‎ 易得三角形ABE的面积为，‎ 所以四边形BCDE的面积的取值范围是.‎ 在等腰梯形BCDE中，令BC＝x，则CD＝3－x，且梯形的高为，‎ 故梯形BCDE的面积为·(3＋3－x)·，‎ 即15≤(6－x)x<24，‎ 解得≤x<2或4