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  • 2021-05-13 发布

高考数学文科解三角形最全讲解含答案解析

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第六单元 解三角形 教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过 正弦定理、余弦定理 ‎[过双基]‎ ‎1.正弦定理 ===2R,其中R是三角形外接圆的半径.‎ 由正弦定理可以变形:‎ ‎(1)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;‎ ‎(2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.‎ ‎2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A,‎ b2=a2+c2-2accos B,‎ c2=a2+b2-2abcos_C.‎ 余弦定理可以变形:cos A=,cos B=,cos C=.‎ ‎   ‎1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2 ,cos A=,且b<c,则b=(  )‎ A.3           B.2 C.2 D. 解析:选C 由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b,解得b=2或4,∵b<c,∴b=2.‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,则角A的大小为(  )‎ A.30° B.60°‎ C.120° D.150°‎ 解析:选B 由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccos A,又因为b2+c2-a2=bc,所以cos A=,则A=60°.‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin A+bsin B1.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=.则c的值为(  )‎ A.4 B.2‎ C.5 D.6‎ 解析:选A ∵c=2a,b=4,cos B=,‎ ‎∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,‎ 即16=c2+c2-c2=c2,‎ 解得c=4.‎ ‎4.已知△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 由正弦定理得sin B=2sin Acos B,‎ 故tan B=2sin A=2sin=,又B∈(0,π),所以B=,‎ 又A=B=,则△ABC是正三角形,‎ 所以S△ABC=bcsin A=×1×1×=.‎ ‎5.(2018·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为(  )‎ A.或 B.或 C. D. 解析:选A 由题意知,=⇒cos C=,‎ sin C=,又C∈(0,π),∴C=或.‎ ‎6.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(  )‎ A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析:选D 如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,‎ ‎∴AC=10(km).‎ ‎7.(2018·贵州质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )‎ A.3 B. C. D.3 解析:选C ∵c2=(a-b)2+6,‎ ‎∴c2=a2+b2-2ab+6.①‎ ‎∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.②‎ 由①②得-ab+6=0,即ab=6.‎ ‎∴S△ABC=absin C=×6×=.‎ ‎8.一艘海轮从A处出发,以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(  )‎ A.10 n mile       B.10 n mile C.20 n mile D.20 n mile 解析:选A 画出示意图如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10.‎ 故B,C两点间的距离是10 n mile.‎ 二、填空题 ‎9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.‎ 解析:因为3sin A=2sin B,所以由正弦定理可得3a=2b,则b=3,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×=16,则c=4.‎ 答案:4‎ ‎10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C成等差数列,且边a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________.‎ 解析:∵在△ABC中,角A,B,C成等差数列,‎ ‎∴2B=A+C,由三角形内角和定理,可得B=,‎ 又∵边a,b,c成等比数列,∴b2=ac,‎ 由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,‎ ‎∴ac=a2+c2-ac,即a2+c2-2ac=0,‎ 故(a-c)2=0,可得a=c,‎ 所以△ABC的形状为等边三角形.‎ 答案:等边三角形 ‎11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围为________.‎ 解析:由AC=b=2,要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,以2为半径的圆与AB有两个交点,当A=90°时,圆与AB相切,只有一解;当A=45°时,交于B点,也就是只有一解,所以要使三角形有两解,需满足45°b,a=5,c=6,sin B=.‎ ‎(1)求b和sin A的值;‎ ‎(2)求sin的值.‎ ‎[解] (1)在△ABC中,因为a>b,‎ 故由sin B=,可得cos B=.‎ 由已知及余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=13,‎ 所以b=.‎ 由正弦定理=,得sin A==.‎ 所以b的值为,sin A的值为.‎ ‎(2)由(1)及a0,所以新三角形中最大的角是一个锐角,故选A.‎ ‎3.(2018·太原模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(  )‎ A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2‎ 解析:选B 由余弦定理,得cos A===,则A=30°.又b=a,由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=,所以B=60°或120°.当B=60°时,△ABC为直角三角形,且2a=c,可知C、D成立;当B=120°时,C=30°,所以A=C,即a=c ‎,可知A成立,故选B.‎ ‎4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 如图所示,设CD=a,则易知AC=a,AD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=(a)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=.‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于(  )‎ A. B. C.- D.- 解析:选C 因为2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,‎ 则由面积公式与余弦定理,得absin C=2abcos C+2ab,‎ 即sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,‎ 即=4,‎ 所以=4,‎ 解得tan C=-或tan C=0(舍去).‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2+c2-a2=bc,·>0,a=,则b+c的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 在△ABC中,b2+c2-a2=bc,‎ 由余弦定理可得cos A===,‎ ‎∵A是△ABC的内角,∴A=60°.‎ ‎∵a=,‎ ‎∴由正弦定理得====1,‎ ‎∴b+c=sin B+sin(120°-B)=sin B+cos B ‎=sin(B+30°).‎ ‎∵·=||·||·cos(π-B)>0,‎ ‎∴cos B<0,B为钝角,‎ ‎∴90°0,所以c=3.‎ 故△ABC的面积S=bcsin A=.‎ 法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,‎ 又由a>b,知A>B,所以cos B=.‎ 故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.‎ 所以△ABC的面积S=absin C=.‎ ‎12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin B·(acos B+bcos A)=ccos B.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若b=2,△ABC的面积为2,求△ABC的周长.‎ 解:(1)由正弦定理得,‎ sin B(sin Acos B+sin Bcos A)=sin Ccos B,‎ ‎∴sin Bsin(A+B)=sin Ccos B,‎ ‎∴sin Bsin C=sin Ccos B.‎ ‎∵sin C≠0,∴sin B=cos B,即tan B=.‎ ‎∵B∈(0,π),∴B=.‎ ‎(2)∵S△ABC=acsin B=ac=2,∴ac=8.‎ 根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,‎ ‎∴12=a2+c2-8,即a2+c2=20,‎ ‎∴a+c===6,‎ ‎∴△ABC的周长为6+2.‎ ‎1.在平面五边形ABCDE中,已知∠A=120°,∠B=90°,∠C=120°,∠E=90°,AB=3,AE=3,当五边形ABCDE的面积S∈时,则BC的取值范围为________.‎ 解析:因为AB=3,AE=3,且∠A=120°,‎ 由余弦定理可得BE==3,且∠ABE=∠AEB=30°.‎ 又∠B=90°,∠E=90°,所以∠DEB=∠EBC=60°.‎ 又∠C=120°,所以四边形BCDE是等腰梯形.‎ 易得三角形ABE的面积为,‎ 所以四边形BCDE的面积的取值范围是.‎ 在等腰梯形BCDE中,令BC=x,则CD=3-x,且梯形的高为,‎ 故梯形BCDE的面积为·(3+3-x)·,‎ 即15≤(6-x)x<24,‎ 解得≤x<2或4