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- 2021-05-13 发布
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第 1 讲 排列、组合与二项式定理
考情解读 1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不
在”问题、相邻问题、相间问题)为主,主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、
选取问题等;对二项式定理的考查,主要是利用通项求展开式的特定项,利用二项式定理展
开式的性质求有关系数问题.主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑
思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查,一般以选择、填空
题的形式出现,难度中等,还经常与概率问题相结合,出现在解答题的第一或第二个小题中,
难度也为中等;对于二项式定理的考查,主要出现在选择题或填空题中,难度为易或中等.
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要
通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.
2.排列与组合
(1)排列:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不
同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Amn=n(n
-1)(n-2)…(n-m+1)或写成 Amn=
n!
n-m!.
(2)组合:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素组成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数公式是
Cmn=
nn-1n-2…n-m+1
m! 或写成 Cmn=
n!
m!n-m!.
(3)组合数的性质
①Cmn=Cn-mn ;
②C mn+1=Cmn+Cm-1n .
3.二项式定理
(1)二项式定理:( a+b)n =C 0nanb0 +C 1nan - 1b+C 2nan - 2b2 +…+C rnan - rbr +…+C nna0bn(r=
0,1,2,…,n).
(2)二项展开式的通项
Tr+1=Crnan-rbr,r=0,1,2,…,n,其中 C rn叫做二项式系数.
(3)二项式系数的性质
①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,
即 C0n=Cnn,C1n=Cn-1n ,…,Ckn=Cn-kn ,….
②最大值:当 n 为偶数时,中间的一项的二项式系数 取得最大值;当 n 为奇数时,中间的
两项的二项式系数 , 相等,且同时取得最大值.
③各二项式系数的和
a.C0n+C1n+C2n+…+Ckn+…+Cnn=2n;
b.C0n+C2n+…+C2rn +…=C1n+C3n+…+C2r+1n +…=
1
2·2n=2n-1.
热点一 两个计数原理
例 1 (1)将 1,2,3,…,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一
列从上到下分别依次增大.当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法为( )
A.6 种 B.12 种
C.18 种 D.24 种
(2)如果一 个三位正整数“ a1a2a3”满足 a10,即
5
2x2-m≤0 在区间[
2
2 , 2]上恒
成立,所以 m≥(
5
2·x2)max,在区间[
2
2 , 2]上,易知当 x= 2时,
5
2x2 有最大值,最大值为
5,所以 m≥5.
即实数 m 的取值范围是[5,+∞).
(推荐时间:60 分钟)
一、选择题
1.(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有
( )
A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对
答案 C
解析 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与面对角线 AC 成 60°角的面对
角线有 B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,D1C,DC1,共 8 条,同理与 DB 成 60°
角的面对角线也有 8 条.因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上
的 8 条对角线共组成 16 对.又正方体共有 6 个面,所以共有 16×6=
96(对).又因为每对被计算了 2 次,因此成 60°角的面对角线有
1
2×96=48(对).
2.在(x-
2
x)5 的二项展开式中,x2 的系数为( )
A.40 B.-40
C.80 D.-80
答案 A
解析 (x-
2
x)5 的展开式的通项为
Tr+1=Cr5x5-r(-
2
x)r=(-2)rCr5 ,
令 5-
3r
2 =2,得 r=2,故展开式中 x2 的系数是(-2)2C25=40,故选 A.
3.从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,
则不同的抽取方法数为( )
A.224 B.112
C.56 D.28
35 2
r
x
−
答案 B
解析 根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1 个男生的方
法:C28C14=112.
4.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a0+a1+a3+a5 的值为( )
A.122 B.123 C.243 D.244
答案 B
解析 在已知等式中分别取 x=0、x=1 与 x=-1,得 a0=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,a0
-a1+a2-a3+a4-a5=-1,因此有 2(a1+a3+a5)=35+1=244,a1+a3+a5=122,a0+a1+a3
+a5=123,
故选 B.
5.(2014·四川)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为( )
A.30 B.20
C.15 D.10
答案 C
解析 因为(1+x)6 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr6xr,x(1+x)6 的展开式中含 x3 的项为 C26x3
=15x3,所以系数为 15.
6.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画,排成一列,要求同一品
种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有( )
A.A44A55 B.A33A44A35
C.C13A44A55 D.A22A44A55
答案 D
解析 先把 3 种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,故只能放
在中间,又油画与国画有 A 22种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有 A
22A44A 55种.
7.二项式( x-
1
3 x)n 的展开式中第 4 项为常数项,则常数项为( )
A.10 B.-10
C.20 D.-20
答案 B
解析 由题意可知二项式( x-
1
3 x)n 的展开式的常数项为 T4=C3n( x)n-3(-
1
3 x)3=(-1)3C
3n ,
令 3n-15=0,可得 n=5.
故所求常数项为 T4=(-1)3C35=-10,故选 B.
3 15
6
n
x
−
8.有 A、B、C、D、E 五位学生参加网页设计比赛,决出了第一到第五的名次.A、B 两位学生
去问成绩,老师对 A 说:你的名次不知道,但肯定没得第一名;又对 B 说:你是第三名.请
你分析一下,这五位学生的名次排列的种数为( )
A.6 B.18
C.20 D.24
答案 B
解析 由题意知,名次排列的种数为 C13A33=18.
9.在二项式(x2-
1
x)n 的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和为
( )
A.32 B.-32
C.0 D.1
答案 C
解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n=32,解得 n=5.
因此,令 x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(12-
1
1)5=0,故选 C.
10.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格涂一种颜色,相
邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,则所有涂色方法的种数为( )
A.60 B.80
C.120 D.260
答案 D
解析 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4.如果使用 2 种颜色,则只
能是第 1,4 个小方格涂一种,第 2,3 个小方格涂一种,方法种数是 C25A22=20;
如果使用 3 种颜色,若第 1,2,3 个小方格不同色,第 4 个小方格只能和第 1 个小
方格相同,方法种数是 C35A33=60,若第 1,2,3 个小方格只用 2 种颜色,则第 4 个方格只能用第
3 种颜色,方法种数是 C35×3×2=60;如果使用 4 种颜色,方法种数是 C45A44=120.根据分类加
法计数原理,知总的涂法种数是 20+60+60+120=260,故选 D.
二、填空题
11.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为 2013 年社
会关注的五个焦点.小王想利用 2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注
度.若小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点,则“雾霾治理”作为其中的一个调查热
点,但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________.
答案 72
解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这 4 个热点选出 3 个,
有 C 34种不同的选法;在调查时,“雾霾治理”安排的调查顺序有 A13种可能情况,其余三个热
点调查顺序有 A 33种,故不同调查顺序的总数为 C34A13A33=72.
12.(x-1)(4x2+
1
x2-4)3 的展开式中的常数项为________.
答案 160
解析 (x-1)(4x2+
1
x2-4)3=(x-1)(2x-
1
x)6,其中(2x-
1
x)6 展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr6
(2x)6-r·(-
1
x)r=(-1)r·Cr6·26-r·x6-2r,
令 r=3,可得 T4=(-1)3C36·23=-160,
所以二项式(x-1)(4x2+
1
x2-4)3 的展开式中常数项为(-1)×(-160)=160.
13.(2014·北京)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不
相邻,则不同的摆法有________种.
答案 36
解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有 A22A 44种方法,将产
品 A,B,C 捆绑在一起,且 A 在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有 A22A 33种方法.于
是符合题意的排法共有 A22A44-A22A33=36(种).
14.(2014·课标全国Ⅱ)(x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写
答案)
答案
1
2
解析 设通项为 Tr+1=C r10x10-rar,令 10-r=7,
∴r=3,∴x7 的系数为 C 310a3=15,∴a3=
1
8,∴a=
1
2.
15.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,
且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为________.
答案 36
解析 若甲、乙分到的车间不再分人,则分法有 C13×A22×C13=18 种;若甲、乙分到的车间再
分一人,则分法有 3×C13×A22=18 种.所以满足题意的分法共有 18+18=36 种.
16.已知(x+
a
x)6(a>0)的展开式中常数项为 240,则(x+a)(x-2a)2 的展开式中 x2 项的系数
为________.
答案 -6
解析 (x+
a
x)6 的二项展开式的通项为
Tr+1=Cr6x6-r(
a
x)r=Cr6a ,令 6-
3r
2 =0,得 r=4,则其常数项为 C46a4=15a4=240,则 a4
36 2
r
x
−
=16,由 a>0,故 a=2.又(x+a)(x-2a)2 的展开式中,x2 项为-3ax2.故 x2 项的系数为(-
3)×2=-6.