高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题最值位置不迷惑单调区间始与末 22页

‎【题型综述】‎ 函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.‎ 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：‎ ‎（1）求在内的极值；‎ ‎（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.‎ 函数的最值与极值的关系 ‎（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； ‎（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；‎ ‎（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；‎ ‎（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.‎ ‎【典例指引】‎ 例1．已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定最值的取值地方从而计算得出最值 点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可得到最值 例2．设函数 .‎ ‎(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎， 当时， ，‎ 的取值范围是.‎ 例3．已知函数的一个极值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而得到实数的值；（2）研究函数在区间上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数的方程，解之即可. ‎ 试题解析：（1）由，得 ‎，‎ 令，得或；令，得；‎ 令，得或.所以函数有两个极值为和令.‎ 若，得，解得；‎ 若，得，解得；‎ 综上，实数的值为或5. ‎ ‎（2）由（1）得， ， 在区间上的变化情况如下表所示：‎ ‎【同步训练】‎ ‎1．已知函数（且），为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值；‎ ‎（Ⅱ）若函数只有一个零点，求的值．‎ ‎【思路引导】‎ ‎(1)由导函数的解析式可得．‎ ‎(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．‎ ‎（Ⅱ）， ，‎ 令，得，则 ‎①当时， ，‎ 极小值 所以当时， 有最小值，‎ 因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，‎ 因为当时， ，所以此方程无解．‎ ‎②当时， ，‎ 极小值 点评：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎2．已知函数f(x)＝(x－k)ex，‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．‎ ‎【思路引导】‎ ‎（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的单调区间．‎ ‎（2）当k﹣1≤0时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，f（x）min=f（0）=﹣k；当1＜k≤2时，函数f（x）在区间[0，k﹣1]上递减，（k﹣1，1]上递增，；当k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．‎ 试题解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1. ‎ 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ ‎(k－1)‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k.‎ 当0