2020年高考江苏卷数学真题试卷（含答案） 16页

2020 年高考江苏卷数学真题试卷（含答案） 参考公式： 柱体的体积 V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合 { 1,0,1,2}, {0,2,3}AB   ，则 AB ▲ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数 ( 1 i) (2 i)z    的实部是 ▲ ． 3．已知一组数据 4 ,2 ,3 ,5 ,6aa 的平均数为 4，则 a 的值是 ▲ ． 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ▲ ． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 22 2 105 ()xy aa  的一条渐近线方程为 5 2yx ，则该双曲线的离 心率是 ▲ ． 7．已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时，   2 3 fxx  ，则  8f  的值是 ▲ ． 8．已知 2sin() 4   = 2 3 ，则sin 2 的值是 ▲ ． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm， 高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm. 10．将函数 πs i n (3 2)4yx ﹢ 的图象向右平移 π 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ． 11．设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 2 2 1( )n nS n n n     N ，则 d+q 的值是 ▲ ． 12．已知 22451(,)xyyxy R ，则 22xy 的最小值是 ▲ ． 13．在△ABC 中， 43=90ABACBAC， ，∠ ，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 3()2PAmPBmPC （m 为常数），则 CD 的长度是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3(0)2P ， ，A，B 是圆 C： 221()36 2xy 上的两个动点，满足 PAPB ， 则△PAB 面积的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3,2,45acB ． （1）求 sin C 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4c o s 5A D C   ，求 tan DAC∠ 的值． 17．（本小题满分 14 分） 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， OO  为铅垂线( O  在 AB 上)．经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1h (米)与 D 到 的距离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40ha ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 2h (米)与 F 到 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6800hbb  .已知点 B 到 的距离为 40 米． （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括 端点)．.桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 2 k (万元)(k>0)，问OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :143 xyE 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且 在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． （1）求 12A F F△ 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 O P Q P 的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记 O A B△ 与 MAB△ 的面积分别为 S1，S2，若 213SS ，求点 M 的坐标． 19．（本小题满分 16 分） 已知关于 x 的函数 ( ), ( )y f x y g x与 ()(,)hxkxbkb R 在区间 D 上恒有 ()()()fxhxgx． （1）若    222 2 ()f x xx g xxx D    ， ， ， ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 ) x x g k x h kx k Df x x x        ， ， ， ，求 k 的取值范围； （3）若  4 2 2 3 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t         ， ， ，   , 2, 2D m n  ，求证： 7nm ． 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 ()nan *N 的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 1 11 1 1 k kknn nSSa   成立，则称此数列为“λ～k”数列． （1）若等差数列  na 是“λ～1”数列，求 λ 的值； （2）若数列 是“ 3 ~23 ”数列，且 0na  ，求数列 的通项公式； （3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列 为“λ～3”数列，且 0na  ？若存在，求 λ 的取值范 围；若不存在，说明理由． 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5 分,共计 70 分. 1．{0,2} 2．3 3．2 4． 1 9 5． 3 6． 3 2 7． 4 8． 1 3 9． 1 2 3 2  10． 5 24x  11．4 12． 4 5 13． 18 5 或 0 14． 1 0 5 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推 理论证能力.满分 14 分. 证明：因为 ,EF分别是 1,AC B C 的中点，所以 1EF AB∥ . 又 /EF  平面 11A B C ， 1AB  平面 ， 所以 EF∥ 平面 . （2）因为 1BC 平面 ABC ， AB  平面 ABC , 所以 1B C AB . 又 ABAC , 1BC 平面 , AC  平面 1AB C , 1 ,B CACC  所以 AB  平面 1AB C . 又因为 AB  平面 1ABB ,所以平面 1A B C  平面 1ABB . 16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查 运算求解能力.满分 14 分. 解：（1）在 ABC△ 中，因为 3, 2, 45a c B    ， 由余弦定理 222 2cosbacacB ，得 2 92232 cos455b   ， 所以 5b  . 在 中，由正弦定理 sin sin bc BC ， 得 52=s i n 4 5 s i n C ， 所以 5s i n . 5C  （2）在 A D C△ 中，因为 4c o s 5A D C   ,所以 ADC 为钝角， 而 180ADCCCAD   ,所以 C 为锐角. 故 2 25cos1sin, 5CC 则 sin1tan cos2 CC C. 因为 4cos 5ADC  ，所以 2 3sin1cos 5ADCADC ， sin3tan cos4 ADCADC ADC    . 从而 31 tan()2 42tantan(180)tan()=== 311 tantan11 1 ( )42 ADCCADCADCCADCC ADCC               . 17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数 学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分. 解：（1）设 1111,,,AABBCDEF 都与 MN 垂直， 1111,,,ABDF 是相应垂足. 由条件知，当 40O'B  时， 3 1 1 406 40 160,800BB    则 1 160AA  . 由 21 160,40 O'A  得 80.O'A  所以 80 40 120ABO'A O'B （米）. （2）以 O 为原点， OO' 为 y 轴建立平面直角坐标系 x O y （如图所示）. 设 2(,),(0,40),Fxyx  则 3 2 1 6,800yxx 3 2 11601606 800EFyxx . 因为 8 0 ,CE  所以 80O'C x. 设 1( 8 0 , ) ,D x y  则 2 1 1 ( 8 0 ) ,40yx 所以 22 1 11160160(80)4 . 4040CDyxxx  记桥墩 CD 和 EF 的总造价为 ()fx， 则 32 32 131( )= (1606 )(4 )800240 13(160)(040).80080 f xkxxkxx kxxx   2333( )= (160)(20)80040800 kfxkxxx x  ， 令 ()=0fx ， 得 20.x  所以当 20x  时， ()fx取得最小值. 答：（1）桥 AB 的长度为 120 米； （2）当 O'E 为 20 米时，桥墩CD 和 EF 的总造价最低. 18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 16 分. 解：（1）椭圆 22 :143 xyE 的长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ，焦距为 2 c ， 则 2 2 24, 3, 1a b c   . 所以 12AF F△ 的周长为 2 2 6ac. （2）椭圆 E 的右准线为 4x  . 设 ( ,0) , (4 , )P x Q y ， 则 ( ,0), ( 4, )OP x QP x y    ， 2(4)(2)44,OPQPxxx  在 2x  时取等号. 所以OP QP 的最小值为 4 . （3）因为椭圆 22 :143 xyE 的左、右焦点分别为 12,FF，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内， 212AFF F⊥ ， 则 12 3(1,0),(1,0),(1,) 2FFA . 所以直线 :3430.ABxy  设 ( , )M x y ，因为 213SS ，所以点 M 到直线 AB 距离等于点O 到直线 AB 距离的 3 倍. 由此得 | 343|| 30403| 355 xy  ， 则 34120xy 或3460xy . 由 22 3 4 12 0, 143 xy xy     得 2724320xx ，此方程无解； 由 22 3 4 6 0, 143 xy xy     得 27 12 4 0xx   ，所以 2x  或 2 7x  . 代入直线 : 3460lxy  ，对应分别得 0y  或 12 7y  . 因此点 M 的坐标为 (2,0) 或 2 12( , )77 . 19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 能力.满分 16 分. 解:（1）由条件 ()()()fxhxgx ，得 222 2xxkxbxx ， 取 0x  ，得 00b，所以 0b  ． 由 2 2x x k x，得 2 2 ()0xkx ，此式对一切 ( , )x      恒成立， 所以 22 0()k，则 2k  ，此时 222x x x   恒成立， 所以 ( ) 2h x x  ． （2） 1 ln,()()()() 0,hgx kxxx x . 令 () 1lnuxxx  ，则 1( ) 1 ,u ' x x 令 ( )=0u' x ，得 1x  . 所以 min() 0 (1)uxu .则 1 l nxx 恒成立， 所以当且仅当 0k  时， ( ) ( )f x g x  恒成立． 另一方面， ( ) ( )fx h x 恒成立，即 2 1x x kx k    恒成立， 也即 2 ()1 1 +0xkxk 恒成立． 因为 0k  ，对称轴为 1 02 kx ， 所以 214 1) 0(() kk ，解得 13k ． 因此，k 的取值范围是 0 3.k （3）①当 12t 时， 由 ()()gxhx ，得 2 3 4 24 8 4( ) 3 2x t t x t t     ，整理得 42 23 3 2 8( ) 0.( )4 ttx t t x      令 32 42=()(3 28),tttt  则 6 4 2= 5 3 8t t t    ． 记 642 53( )1 ),28(ttttt   则 5 3 2 220 6 2 (3 1)( 3() )06t t t t t t't       恒成立， 所以 ()t 在[1, 2]上是减函数，则 ( 2) ( ) (1)t  ，即 2 ( ) 7t． 所以不等式 () 有解，设解为 12x x x ， 因此 21 7nmxx  ． ②当 01t时， 432()()11 34241fhtttt ． 设 432 = 342( 41) ttttvt  ， 322 ()=1212444(1)(31),v'tttttt  令 ( ) 0vt，得 3 3t  ． 当 3 3(0 )t  ， 时， ( ) 0vt， ()vt 是减函数； 当 ( 1)3 3t  ， 时， ( ) 0vt， 是增函数． (0) 1v  ， (1) 0v  ，则当 01t时， ( ) 0vt  ． （或证： 2()(1)(31)(1)0vtttt ．） 则 (1)(1)0fh ，因此 1 ( ) mn ， ． 因为 22mn［ ］［- ，， ］，所以 217nm ． ③当 20t 时，因为 ()fx， ()gx 均为偶函数，因此 7nm 也成立． 综上所述， ． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）因为等差数列{}na 是“λ～1”数列，则 11nnnSSa  ，即 11nnaa ， 也即 1(1)0 na ，此式对一切正整数n均成立． 若 1  ，则 1 0na   恒成立，故 320aa，而 21 1aa   ， 这与 是等差数列矛盾． 所以 1  ．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列 *{}()nanN 是“ 3 ~23 ”数列， 所以 11 3 3n n nS S a ，即 11 3 3n n n nS S S S   ． 因为 0na  ，所以 1 0nnSS ，则 113113 nn nn SS SS  ． 令 1n n n S bS   ，则 23113nnbb ，即 221( 1) ( 1)( 1)3n n nb b b    ． 解得 2nb  ，即 1 2n n S S   ，也即 1 4n n S S   ， 所以数列 {}nS 是公比为4的等比数列． 因为 111Sa，所以 14 n nS  ．则 2 1(1), 34(2).n n na n    （3）设各项非负的数列 *{ }( )nan N 为“ ~3 ”数列， 则 111 333 11nnnS S a  ，即 333 11nnnnSSSS  ． 因为 0na  ，而 1 1a  ，所以 1 0nnSS ，则 3 131 1=1nn nn SS SS． 令 3 1 =n n n S S c ，则 3311( 1)nnnccc  ，即 333(1)(1)( 1)nnnccc  ．（ *） ①若 0  或 =1 ，则（*）只有一解为 =1nc ，即符合条件的数列 {}na 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…） ②若 1  ，则（*）化为 3 2 3 2(1)(1)0 1nnnccc     ， 因为 1nc  ，所以 3 2 3 2 101nncc    ，则（*）只有一解为 ， 即符合条件的数列 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…） ③若 0 1  ，则 3 2 3 2 101nncc     的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）． 所以 1nnSS  或 3 1nnStS  ． 由于数列{}nS 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 有无数多个，则对应的 有无数多个． 综上所述，能存在三个各项非负的数列 为“ ”数列，  的取值范围是01． 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则 按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 平面上点 (2, 1)A  在矩阵 1 1 a b   M 对应的变换作用下得到点 (3, 4)B  ． （1）求实数 a ， b 的值； （2）求矩阵 M 的逆矩阵 1M ． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点 1 π( , ) 3A  在直线 : c os 2l  上，点 2 π( , ) 6B  在圆 : 4sinC  上（其中 0  ， 02   ）． （1）求 1 ， 2 的值； （2）求出直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标． C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 设 x  R ，解不等式 2 |1|||4xx ． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= 5 ,BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= 1 4 BC，设二面角 F—DE—C 的大小为 θ，求 sinθ 的值． 23．（本小题满分 10 分） 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换 放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1，q1 和 p2，q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ． 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21．【选做题】 A．[选修 4-2：矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为 1 2 3=1 1 4 a b                    ，所以 2 1 3, 2 4, a b      解得 2ab ，所以 21 12   M ． （2）因为 21 12   　 　　M ， det221150（ ） （ ）M ，所以 M 可逆， 从而 1 21 55 12 55        　 - 　　　 M ． B．[选修4-4：坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）由 1 cos23   ，得 1 4  ； 2 4sin26 ，又（0，0）（即（0， 6  ））也在圆C上， 因此 2 2  或0． （2）由 cos2, 4sin,      得 4sin cos 2 ，所以sin 2 1  ． 因为 0  ， 0 2  ，所以 4  ， =2 2 ． 所以公共点的极坐标为 (22,) 4  ． C．[选修4-5：不等式选讲] 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x>0时，原不等式可化为 2 2 4xx   ，解得 20 3x； 当 10x   时，原不等式可化为 2 2 4xx   ，解得 10x   ； 当 1x  时，原不等式可化为 2 2 4xx    ，解得 2 1x    ． 综上，原不等式的解集为 2|2 }3{ xx   ． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运 算求解能力．满分10分． 解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以CO⊥BD． 又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC． 以  O B O C O A， ， 为基底，建立空间直角坐标系O–xyz． 因为BD=2， 5C B C D，AO=2， 所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）． 因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）． 则 AB =（1，0，–2）， DE =（1，1，1）， 所以 |||102 |15|| 15|||| 53 cos ABDEAB DE ABDE     ， ． 因此，直线AB与DE所成角的余弦值为 15 15 ． （2）因为点F在BC上， 1 4BFBC ， BC =（–1，2，0）． 所以 111 (,,0)442BFBC ． 又 2 0,0DB （ , ）， 故 71(,,0)42DFDBBF ． 设 1111 ()xyz ， ，n 为平面DEF的一个法向量， 则 1 1 0 0, DE DF     ，n n 即 111 11 0 710,42 xyz xy       ， 取 1 2x  ，得 1 –7y  ， 1 5z  ，所以 1 (27 5)n ， ， ． 设 2 2 2 2()x y z ， ，n 为平面DEC的一个法向量，又 DC =（1，2，0）， 则 2 2 0 0, DE DC     ，n n 即 222 22 0 20, xyz xy      ， 取 2 2x  ，得 2 –1y  ， 2 –1z  ， 所以 2 (2 1 1)n   ， ， ． 故 2 1 1 2||| 475 |13|||||co |13 786 s    nn nn ． 所以 2 2 391 cossn 13i    ． 23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满 分10分． 解：（1） 11 31 1 11 33 CC 1 C C 3p    ， 11 32 1 11 33 CC 2 C C 3q    ， 1111 3121 21111111111 3333 CCCC 1270 (1)CCCC3927ppqpqpq  ， 11111111 33222112 21111 11111111 33333333 CCCCCCCC ()(1)CCCCCCCCqpqpq 1 1216= 9327q ． （2）当 2n  时， 11 1 1 31 2 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 3 3 3 CC C C 120 (1 )C C C C 3 9n n n n n n np p q p q p q                 ，① 1111 1 1 11 3322 2 1 12 11111 11 1 1 11 1 3 33 3 3 33 3 CCCC C C CC()(1)C CC C C CC Cnnnnnqpqp q               1 12= 93nq ，② 2① ② ，得  1 1 1 1 1 2 4 1 2 1 2223 9 9 3 3 3n n n n n n np q p q q p q            ． 从而 11 12(2 11)3nnnnpqpq  ，又 11 1 312 pq， 所以 11112()1() 3331 nn nnpq   ， *n N ．③ 由②，有 1 313 ()595nnqq ，又 1 3 5 1 15q  ， 所以 11 1 3()15 9 5 n nq    ， ． 由③，有 13111()210 111()()3392 5 nn nn npq ［ ］ ， ． 故 311111()() 109235 nn nnpq ， ． nX 的概率分布 0 1 2 P 1 nnpq nq np 则 *1()0(1)121() , 3 n nnnnnEXpqqpn N ．