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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第I卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题上作答无效.
3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
一、选择题
1、复数=1+,为的共轭复数,则--1=
(A)-2 (B)- (C) (D)2
2、函数=(≥0)的反函数为
(A)=(∈R) (B)=(≥0)
(C)=(∈R) (D)=(≥0)
3、下面四个条件中,使>成立的充分而不必要的条件是
(A)>+1 (B)>-1 (C)> (D)>
4、设为等差数列的前项和,若,公差,,则
(A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
5、设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于
(A) (B)3 (C)6 (D)9
6、已知直二面角,点,,为垂足,,,为垂足,若,,则到平面的距离等于
(A) (B) (C) (D) 1
7、某中学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有
(A)4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种
8、曲线在点(0,2)处的切线与直线和围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
9、设是周期为2的奇函数,当时,,则=
(A) (B) (C) (D)
10、已知抛物线:的焦点为,直线与交于,两点,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
11、已知平面截一球面得圆,过圆心且与成二面角的平面截该球面得,若该球面的半径为4,圆的面积为,则圆的面积为
(A) (B). (C). (D).
12、设向量,,满足,,,则的最大值等于
(A)2 (B) (C) (D)1
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己凡人名字、准考证号填写清楚,然后贴好条形码,请认真核条形码上凡人准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.
3.第Ⅱ卷共10小题,共90分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中横线上.
13、 的二项展开式中,的系数与的系数之差为____________________.
14、已知 ,,则______________.
15、已知、分别为双曲线: 的左、右焦点,点 ,点的坐标为(2,0),为的平分线,则______________.
16、已知、分别在正方形、楞,上,且,,则面与面所成的二面角的正切值等于_______________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分10分)的内角,,的对边分别为,,,已知,,求.
18、(本小题满分12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率;
(Ⅱ)表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求的期望.
19、(本小题满分12分)如图,棱锥中,∥,,侧面为等边三角形,,.
(I)证明:平面;
(II)求与平面所成的角的大小.
20、(本小题满分12分)设数列满足,且.
(I)求的通项公式;
(II)设,记,证明:.
21、(本小题满分12分)已知为坐标原点,为椭圆C:在
轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交于,两点,点满足.
(Ⅰ)证明:点在上;
(Ⅱ)设点关于点的对称点为,
证明:、、、四点在同一圆上.
22、(本小题满分12分)(Ⅰ)设函数,证明:当时,;
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互补相同的概率为.证明:.
2011年普通高等学校招生全国统一考试答案
理科数学(必修+选修II)
一、选择题:
BBADC; CBDAD; DA
1.解:,,故选B.
2. 解:,,,故反函数为,,故选B.
3. ,反之,例如:,,满足,但即,推不出,故是的充分不必要条件,故选A.
4.解:根据题意:,,转化为,
,故选D.
5.解:函数图象平移个单位长度后,所的图像与原图像重合,说明函数平移整个周期,所以,令,可得,故选C.
6.解:由题意画出图形,直二面角,点,,为垂足,,,为垂足,若,,则到平面的距离转化为三棱锥
的高,,,,
由,可知,,
7.解:由题意知本题是一个分类计数问题,一是3本集邮册一本画册,让一个人拿走画册由4种,另一种是2本画册2本邮册,只要选两个人拿画册种,根据分类计数原理知共10种。故选B.
8. 解:,,,所以曲线在点处的切线方程为:,即,令,解得,
令,解得,所以切线与直线和围成的三角形的面积为
,故选A.
9. 解:是周期为2的奇函数,当时,,
,故选A.
10. 解:因为抛物线:的焦点为,的坐标为,又因为直线与交于,两点,则,两点的坐标为,,则 ,
则,故选D.
11. 因为圆的面积为,所以圆的半径为2,由勾股定理可得,过圆心且与成二面角的平面截该球面得,,在直角三角形中,,则圆的面积为,故选D.
12. 解:,,所以,的夹角为,设,,,则,,则,,
,四点共圆,
,,,由三角形外接圆的直径
,当为直径时,
模最大,最大值为2,故选A.
二、填空题:
13. 解:展开式的通项公式为,令得,令得,
所以的系数与的系数为,,的系数与的系数之差为,
,故答案为0.
14. 解:由 ,,得,,则,故答案为.
15. 解:不妨设在双曲线的右支上,为的平分线,
,又,解得,故答案为
16. 解:由题意画出图形如图:
因为、分别在正方形、
棱,上,且,
,延长、交点为连接,
过作连接、所以面与
面所成的二面角就是、
因为,,所以
,所以,
设正方体的棱长、所以,,,在中,,故答案为.
17. 解:由,得到钝角且,利用正弦定理,可变为;,即有
,又,,是
的内角,故,或(舍去),所以
,解得.
18.(Ⅰ)设该车主购买乙种保险的概率为,则,该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为,由对立事件的概率,该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率为;
(Ⅱ)甲、乙两种保险都不购买的概率为,~,所以.
19.(I)证明:在直角梯形中,∥,,侧面为等边三角形,,,,则面为等边三角形,,,,,,同理,
,,,平面,平面;
(II)建立空间直角坐标系,则,,,
作出在底面上的投影,则四棱锥中,∥,,侧面为等边三角形知,一定在轴上,又,,可解得
,从而解得,故可得,则,
,设平面的一个法向量为:,则,,即,解得,,,即平面的一个法向量为
,又,,
,即与平面所成的角的大小为.
20. 解:(I)是公差为1的等差数列,,
,
(II),
.
21、证明:(Ⅰ)设,,椭圆: ①,则直线的方程为: ②,联立方程组可得,则,,则,设,则有,,,,
,的坐标为代入①方程成立,所以点在上;
(Ⅱ)设点关于点的对称点为,证明:、、、
四点在同一圆上.设线段的中点坐标为,
即,过线段的中点且垂直于的直线方程
为:,即 ③,关于点的对称点为,故
为线段的中点,过线段的中点且垂直于的直线方程为 ④,联立③,④得:,,③,④的交点就是圆心,
,故过,两点圆的方程为: ⑤,把代入⑤,,
,、也在圆⑤上,、、、四点在同一圆上.
22. (Ⅰ)证明:,当时,,,所以在上是单调递增函数,所以当时,,即当时,;(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取20次,则抽得的20个号码互补相同的概率为,要证,先证:,即证,
即证,而,
,﹍,
,,即,
再证:,即证,即证,即证,
由(Ⅰ),当时,,
令,则,即,综上所述,.