高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程教师版 13页

‎（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点23参数方程和极坐标方程（教师版）‎ ‎【三年真题重温】‎ ‎1.【2011新课标全国理，23】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），‎ 是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．‎ ‎(Ⅰ)当求的方程；‎ ‎(Ⅱ)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．‎ ‎2.【2010新课标全国理，23】选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线C1（t为参数），C2（为参数），‎ ‎（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。‎ ‎【2012新课标全国理，23】坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，‎ 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围。‎ ‎【命题意图猜想】‎ ‎2011年高考考查了参数方程和极坐标的题目，可化为普通方程求解，涉及到直线和圆的参数方程；2010年高考主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力.2012年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化，以椭圆的参数方程为背景，意在考查考生利用坐标之间的转化求解。预测2013年高考对直线与圆的参数方程的考查还会继续加强.‎ ‎【最新考纲解读】‎ ‎1．坐标系 ‎(1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．‎ ‎(2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎(3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．‎ ‎2．参数方程 ‎(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物线运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．‎ ‎(2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择恰当的参数写出它们的参数方程．‎ ‎(3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．‎ ‎【回归课本整合】‎ ‎1．极坐标和直角坐标的互化公式 若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则.求曲线的极坐标方程f(ρ，θ)＝0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同．特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形．‎ ‎(4)极坐标方程ρ＝ρ(θ)表示的平面图形的对称性：‎ 若ρ(－θ)＝ρ(θ)，则图形关于极轴对称；‎ 若ρ(π－θ)＝ρ(θ)，则图形关于射线θ＝对称；‎ 若ρ(π＋θ)＝ρ(θ)，则图形关于极点对称．‎ ‎2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程 ‎①圆心在极轴上点C(a,0)，过极点的圆方程ρ＝2acosθ.‎ ‎②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r.‎ ‎③圆心在处且过极点的圆方程为ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．‎ ‎④过极点倾角为α的直线的极坐标方程为：‎ θ＝α或θ＝π＋α.‎ ‎⑤过A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线ρcosθ＝a.‎ ‎⑥过A(a>0)与极轴平行的直线ρsinθ＝a.‎ ‎3.参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(*)，并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，而这条曲线上任一点M(x，y)都可以通过(*)式得到，则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数这时，参数t的几何意义是：以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点的有向线段的数量为MN且|t|＝|MN|.‎ ‎4．圆的参数方程 ‎(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)；‎ ‎(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎5．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．‎ ‎(2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．‎ ‎【方法技巧提炼】‎ ‎1.极坐标与直角坐标的互化 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎2.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎3.参数方程与普通方程的互化 在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．‎ ‎4.直线的参数方程及应用 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ ‎(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎(2)定点M0是弦M‎1M2‎的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎(3)设弦M‎1M2‎中点为M，则点M对应的 参数值tM＝ ‎(由此可求|M‎1M2‎|及中点坐标)．‎ ‎5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1．在极坐标系中，如无特别说明时，ρ≥0，θ∈R；点的极坐标不惟一，若规定ρ≥0,0≤θ<2π，则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外)；‎ 曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程，但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程．‎ ‎2．极坐标方程θ＝θ1表示一条射线并非直线，只有当允许ρ<0时，θ＝θ1才表示一条直线．‎ ‎3．只有在a2＋b2＝1时，直线(t为参数)中的参数t才表示由M(x0，y0)指向N(x，y)的有向线段的数量，而在a2＋b2≠1时，|MN|＝·t.‎ ‎4．消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围．‎ ‎【新题预测演练】‎ ‎1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎（1）求圆C1和C2的极坐标方程；‎ ‎（2）射线OM:θ = α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求| OP | · | OQ |的最大值 ‎2. 【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，），射线与曲线C1交于极点O外的三点A,B, C.‎ ‎(I)求证：；‎ ‎(II)当时，B, C两点在曲线C2上，求m与a的值.‎ ‎3. 【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C1的极坐标方程为：‎ ‎(I)求曲线C1的普通方程；‎ ‎(II)曲线C2的方程为，设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值.‎ ‎4. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知点，参数，点Q在曲线C：上。‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求点P与点Q之间的最小值。‎ ‎5.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标中,已知圆,圆．‎ ‎（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；‎ ‎（2）求圆的公共弦的参数方程．‎ ‎6. 【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】‎ 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为。（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围。‎ ‎7.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为（t为参数,O < a <),曲线C的极坐标方程为 ‎(I)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(II)设直线l与曲线C相交于A ,B两点,当a变化时,求的最小值.‎ ‎8. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】(本题满分10分)选修4 －4 ：坐标系与参数方程将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.(I)求直线l与曲线C的方程；‎ ‎(II)求C上的点到直线l的最大距离.‎ ‎9. 【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】‎ ‎ 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线Cl的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为为参数）。‎ ‎ （I）当时，求曲线Cl与C2公共点的直角坐标； ‎ ‎ （II）若，当变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．‎ ‎10. 【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】平面直角坐标系中，将曲线（a为参数）上的每～点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线C2的方程为p=4sinθ．‎ ‎（I）求Cl和C2的普通方程．‎ ‎（Ⅱ）求Cl和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程．‎ ‎11. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】‎ 选修4－4：坐标系与参数方程选讲.‎ 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎⑴ 求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎⑵ 设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.‎ ‎ ‎ ‎12.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．‎ ‎ （1）求圆心C的直角坐标；‎ ‎ （2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 圆心C到距离是，‎ ‎∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………（10分）‎ ‎13.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】‎ 在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，‎ 直线与曲线分别交于两点.‎