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  • 2021-05-13 发布

2015高考平面向量综合应用

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‎15.(2010•湖南)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣16‎ B.‎ ‎﹣8‎ C.‎ ‎8‎ D.‎ ‎16‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 本题是一个求向量的数量积的问题,解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度,解题过程中有一个技巧性很强的地方,就是把变化为两个向量的和,再进行数量积的运算.‎ 解答:‎ 解:∵∠C=90°,‎ ‎∴=0,‎ ‎∴=()‎ ‎==42=16‎ 故选D.‎ 点评:‎ 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. ‎ ‎ ‎10.(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=﹣2,则λ=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 由题意可得=0,根据=﹣(1﹣λ)﹣λ=(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,求得λ的值.‎ 解答:‎ 解:由题意可得=0,‎ 由于=()•()=[﹣]•[﹣]‎ ‎=0﹣(1﹣λ)﹣λ+0=(λ﹣1)4﹣λ×1=﹣2,‎ 解得 λ=,‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.‎ ‎18.(2009•陕西)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足学,则等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 向量的共线定理;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.‎ 解答:‎ 解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,‎ 又由点P在AM上且满足 ‎∴P是三角形ABC的重心 ‎∴‎ ‎==﹣‎ 又∵AM=1‎ ‎∴=‎ ‎∴=﹣‎ 故选A 点评:‎ 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.‎ ‎ ‎ ‎1.(2006•陕西)已知非零向量与满足(+)•=0,且•=﹣,则△ABC为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 等腰非等边三角形 B.‎ 等边三角形 ‎ ‎ C.‎ 三边均不相等的三角形 D.‎ 直角三角形 考点:‎ 向量在几何中的应用;平面向量的综合题.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直,得到等腰三角形;利用向量的数量积求出三角形的夹角,得到非等边三角形.‎ 解答:‎ 解:、分别是、方向的单位向量,‎ 向量+在∠BAC的平分线上,‎ 由(+)•=0知,AB=AC,‎ 由•=﹣,可得∠CAB=120°,‎ ‎∴△ABC为等腰非等边三角形,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查单位向量的定义;向量垂直的充要条件;向量数量积的应用.‎ ‎ ‎ ‎3.(2005•湖南)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 外心 B.‎ 内心 C.‎ 重心 D.‎ 垂心 考点:‎ 平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算,由,我们任取其中两个相等的量,如,根据平面向量乘法分配律,及减法法则,我们可得,同理我们也可以得到PA⊥BC,PC⊥AB,由三角形垂心的性质,我们不难得到结论.‎ 解答:‎ 解:∵,‎ 则由得:‎ ‎,∴‎ 同理PA⊥BC,‎ PC⊥AB,‎ 即P是垂心 故选D 点评:‎ 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.‎ 外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.‎ 垂心定理:三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.‎ 内心定理:三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.‎ ‎4.设向量,满足,,<>=60°,则的最大值等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎1‎ 考点:‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 利用向量的数量积求出的夹角;利用向量的运算法则作出图;结合图,判断出四点共圆;利用正弦定理求出外接圆的直径,求出最大值.‎ 解答:‎ 解:∵,‎ ‎∴的夹角为120°,‎ 设,则;=‎ 如图所示 则∠AOB=120°;∠ACB=60°‎ ‎∴∠AOB+∠ACB=180°‎ ‎∴A,O,B,C四点共圆 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=‎ 当OC为直径时,模最大,最大为2‎ 故选A 点评:‎ 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理.‎ ‎ ‎ ‎9.(2014•浙江二模)在△ABC中,已知•=4,||=3,M、N分别是BC边上的三等分点,则•的值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ ‎8‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 分析:‎ 取BC边的中点O,由向量加法的三角形法则,把•=4转化为,再由||=3求得,则可求,把•转化为|AO|2﹣|OM|2,再由已知求得,则答案可求.‎ 解答:‎ 解:如图,‎ 设BC的中点为O,由,‎ 得==,‎ ‎∵,‎ ‎∴,由此可得:,‎ 而===|AO|2﹣|OM|2,‎ 由已知,‎ ‎∴|AO|2﹣|OM|2=,‎ ‎∴=6.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量加法的三角形法则,体现了数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(2014•商丘二模)已知向量与的夹角为120°,且,若,且,则实数λ的值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎13‎ C.‎ ‎6‎ D.‎ 考点:‎ 向量加减混合运算及其几何意义.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出.‎ 解答:‎ 解:∵,且,‎ ‎∴===0.‎ 又向量与的夹角为120°,且,‎ ‎∴===﹣3.‎ ‎∴32﹣λ•22+(λ﹣1)×(﹣3)=0,‎ 解得λ=.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题考查了向量垂直与数量积之间的关系,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(2014•萧山区模拟)在△ABC中,点M是BC中点.若∠A=120°,,则的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 由题意表示出,通过向量的数量积以及基本不等式求出||的最小值.‎ 解答:‎ 解:在△ABC中,点M是BC中点,∴=.‎ 再由∠A=120°,,可得||•||•cosA=﹣,∴||•||=1.‎ 又 ==≥≥=,‎ 故的最小值是,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,基本不等式的应用,属于中档题.‎ ‎11.(2014•宜春模拟)如图,已知圆M:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎[﹣6,6]‎ C.‎ D.‎ ‎[﹣4,4]‎ 考点:‎ 向量在几何中的应用.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题;转化思想;平面向量及应用.‎ 分析:‎ 通过圆的方程求出圆的圆心与半径,求出ME,OM,利用向量的三角形法则,化简,然后利用数量积求解范围即可.‎ 解答:‎ 解:因为圆M:(x﹣3)2+(y﹣3)2=4,圆心的坐标(3,3)半径为2,‎ 所以|ME|=,|OM|==3,‎ ‎,==,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴=6cos(π﹣∠OME)∈[﹣6,6],‎ 的取值范围是[﹣6,6].‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查向量在几何中的应用,注意向量的垂直与向量的转化,数量积的应用,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎14.(2014•西城区一模)已知平面向量=(2,﹣1),=(1,3),那么||等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎13‎ 考点:‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出.‎ 解答:‎ 解:∵=(2,﹣1)+(1,3)=(3,2),‎ ‎∴==.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎19.(2014•陕西二模)已知为单位向量,当的夹角为时,在上的投影为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 由条件求得||和||的值,求得cos<,>= 的值,再根据在上的投影为||•cos<,>,计算求得结果.‎ 解答:‎ 解:由题意可得||===,‎ ‎||===,‎ cos<,>===,‎ 故在上的投影为:||•cos<,>=•=,‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的求法,求向量的模,两个向量的夹角公式,属于中档题.‎ ‎7.(2014•郑州一模)已知向量是与单位向量夹角为60°的任意向量,则对任意的正实数t,|t﹣|的最小值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎0‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎1‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 等差数列与等比数列.‎ 分析:‎ 由题意利用两个向量的数量积的定义可得•=,再根据|t﹣|==,利用二次函数的性质求得它的最小值.‎ 解答:‎ 解:由题意可得•=||×1×cos60°=,对任意的正实数t,‎ ‎∵|t﹣|====,‎ 故当t||=时,|t﹣|取得最小值为=,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模,二次函数的性质,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎5.设、、是单位向量,且,则•的最小值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2‎ B.‎ ‎﹣2‎ C.‎ ‎﹣1‎ D.‎ ‎1﹣‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 压轴题.‎ 分析:‎ 由题意可得 =,故要求的式子即 ﹣()•+=1﹣ cos=1﹣cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值.‎ 解答:‎ 解:∵、、 是单位向量,,∴,=.‎ ‎∴•=﹣()•+=0﹣()•+1=1﹣ cos ‎=1﹣cos≥.‎ 故选项为D 点评:‎ 考查向量的运算法则;交换律、分配律但注意不满足结合律.‎ ‎12.(2011•辽宁)若为单位向量,且=0,,则的最大值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ D.‎ ‎2‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算;向量的模.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;整体思想.‎ 分析:‎ 根据及为单位向量,可以得到 ‎,要求的最大值,只需求的最大值即可,然后根据数量积的运算法则展开即可求得.‎ 解答:‎ 解:∵,‎ 即﹣+≤0,‎ 又∵为单位向量,且=0,‎ ‎∴,‎ 而=‎ ‎=3﹣2≤3﹣2=1.‎ ‎∴的最大值为1.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题是个中档题.考查平面向量数量积的运算和模的计算问题,特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决,考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎1.(2013•辽宁)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 平行向量与共线向量;单位向量.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 由条件求得 =(3,﹣4),||=5,再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果.‎ 解答:‎ 解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,‎ 则与向量同方向的单位向量为 =,‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(2013•湖南)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 令,,,作出图象,根据图象可求出的最大值、最小值.‎ 解答:‎ 解:令,,,‎ 如图所示:则,‎ 又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,‎ 易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,‎ 所以的取值范围为[﹣1,+1].‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查平面向量的数量积运算,根据题意作出图象,数形结合是解决本题的有力工具.‎ ‎ ‎ ‎23.(2014•宁波模拟)已知、、均为单位向量,且满足•=0,则(++)•(+)的最大值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1+2‎ B.‎ ‎3+‎ C.‎ ‎2+‎ D.‎ ‎2+2‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 先求得(++)•(+)=2+•(2+),再根据|2+|=,||=1,利用两个向量的数量积的定义求得(++)•(+)的最大值.‎ 解答:‎ 解:∵、、均为单位向量,且满足•=0,‎ 则(++)•(+)=+++++=1+0+2++1 ‎ ‎=2+2+=2+•(2+),‎ 又|2+|=,‎ ‎∴2+•(2+)=2+1××cos<,2+>,‎ 故当<,2+>=0时,(++)•(+)取得最大值为2+,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量数量积的定义,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎30.(2013•许昌三模)设向量=(sinθ+cosθ+1,1),=(1,1),θ∈[,],m是向量 在向量向上的投影,则m的最大值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.菁优网版权所有 专题:‎ 平面向量及应用.‎ 分析:‎ 由条件求得 =2sin(θ+)+2.由题意可得m=||•cos<,>=.再由θ∈[,],利用正弦函数的定义域和值域求得 sin(θ+)的最大值,即可求得m的最大值.‎ 解答:‎ 解:∵向量=(sinθ+cosθ+1,1)=(2sin(θ+)+1,1),=(1,1),∴=2sin(θ+)+2.‎ 由题意可得m=||•cos<,>=||•=.‎ 再由θ∈[,],可得θ+∈[,],sin(θ+)∈[,1],故m的最大值为 =2,‎ 故选C 点评:‎ 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用,两角和的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.‎ ‎ ‎