高考试题——数学文全国卷 10页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ） ‎ 一、选择题 ‎1．函数的定义域为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎1D 解析：依题意，解得， 0≤x≤1，所以函数的定义域为，选择D;‎ 点评：本题考查了不等式的解法，函数定义域的求法以及交集、并集等集合运算，是基础题目。‎ ‎2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）‎ s t O A．‎ s t O s t O s t O B．‎ C．‎ D．‎ ‎2A 解析：（法一）由于汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，所以，从路程与时间的图像看，其图像的切线斜率由逐渐增大、定值、逐渐减小，易知，A正确；‎ ‎（法二）根据汽车加速行驶、匀速行驶s=vt、减速行驶并结合图像易知选择A；‎ 点评：本题考查了学生的识图能力与导数的概念及几何意义。‎ ‎3．的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．5 C． D．1‎ ‎3 C 解析：依题意，设第r+1为项，则，∵，所以展开式中的系数为，选择C;‎ ‎4．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎4 B 解析：曲线在点处的切线的倾斜角，选择B；‎ ‎5．在中，，．若点满足，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ B D C A ‎5 A 解析：如图，∵，，∴点满足，，选择A；‎ ‎6．是（ ）‎ A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 ‎6 D 解析：，所以，这个函数是最小正周期为的奇函数，选择D；‎ ‎7．已知等比数列满足，则（ ）‎ A．64 B．81 C．128 D．243‎ ‎7A 解析：设等比数列的公比为q，则q==2，所以，，选择A；‎ ‎8．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8 A 解析：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以函数是函数的反函数，所以由得，∴，，选择A；‎ ‎9．为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎9 C 解析：依题意，，所以只需将函数向左平移个长度单位，得到函数的图象，选择C;‎ ‎10．若直线与圆有公共点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.D解析：由题意知，直线与圆有交点，则.即，选择D；‎ ‎11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.B解析：由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.‎ 另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为 长度均为，平面的法向量为,‎ ‎，则与底面所成角的正弦值为.‎ ‎12．将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）‎ A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎12.B. 解析：先排第一行，有=6种不同方法，然后再排其他两行，每种对应2中不同排法，共有6×2=12种不同排法，选择B; ‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修选修Ⅰ）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．‎ ‎3．本卷共10小题，共90分．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎13题图 ‎13．若满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎13. 9．解析：如图，作出可行域，作出直线，将平移至过点处时，函数有最大值9.‎ ‎14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．‎ ‎14. 2. 解析：由抛物线的焦点坐标为，又焦点为坐标原点得，∴，则，与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为。‎ A B C ‎15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎15 解析：如图，不妨设|AC|=3，|AB|=4,则|BC|=5，所以2a=8,2c=4,e=.‎ A B C D O H ‎16．已知菱形中，，，沿对角线将 折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ．‎ ‎16. 解析：如图，依题意，易知，∠AOC是二面角的平面角，∠AOC= ，又AO=1，过A作AH⊥CO，交CO于H，则AH⊥平面BCD，在RTAOH中，AH=AOsin600=。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设的内角所对的边长分别为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求边长；‎ ‎（Ⅱ）若的面积，求的周长．‎ ‎17.解析：（Ⅰ）在中，由，得，据正弦定理得，∴，由于B是三角形内角，所以B，据平方关系式得， cosB=，∴sinB=，又，所以a=5；‎ ‎（2）由（1）知cosB=，∴sinB=，又，所以c=5；由余弦定理得 ‎，，∴。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角的大小．‎ ‎18题图 C D E A B ‎18．解：（1）取中点，连接交于点，‎ ‎，，‎ 又面面，面，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，，即，‎ 面，．‎ ‎（2）在面内过点作的垂线，垂足为． ，，面，，则即为所求二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎，则，‎ ‎，即二面角的大小．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解析：（1）∵在数列中，，， ，∴，所以数列数列是等差数列是等差数列，且。‎ ‎（2）由（1）知，，又，所以，则，2，两式相减得 ‎。‎ ‎20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：‎ 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．‎ 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．‎ 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎19. 解：（1）求导：‎ 当时，，，在上递增；‎ 当，由求得两根为 即在递增，递减，‎ 递增；‎ ‎（2）（法一）∵函数在区间内是减函数，递减，∴ ，且，解得：。‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎（注意：在试题卷上作答无效）‎ 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ ‎21. 解：（Ⅰ）（法一）设，，‎ 由勾股定理可得：，得：，，‎ ‎，由倍角公式，解得,则离心率．‎ ‎（法二）‎ ‎（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有 将数值代入，有,解得，所以，所求双曲线方程为