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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试——全国新课标
理科数学
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第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则中所含元素的个数为 ( )
A、3 B、6 C、8 D、10
2.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
A、12种 B、10种 C、9种 D、8种
3.下面是关于复数的四个命题:
的共轭复数为 的虚部为
其中的真命题为 ( )
A、, B、, C、, D、,
4.设、是椭圆:的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为 ( )
A、 B、 C、 D、
5.已知为等比数列,,,则 ( )
A、7 B、5 C、-5 D、-7
6.如果执行右边的程序框图,输入正整数和实数,输出、,则 ( )
A、为的和
B、为的算术平均数
C、和分别是 中最大的数和最小的数
D、和分别是 中最小的数和最大的数
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某
几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( )
A、6
B、9
C、12
D、18
8.等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物
线的准线交于、两点,,则
的实轴长为 ( )
A、 B、 C、4 D、8
9.已知,函数在单调递减,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
10.已知函数,则的图像大致为 ( )
A B C D
11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为1的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为 ( )
A、 B、 C、 D、
12.设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为 ( )
A、 B、 C、 D、
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.已知向量,夹角为,且,,则 .
14.设,满足约束条件,则得取值范围为 .
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .
16.数列满足,则的前60项和为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知、、分别为三个内角、、的对边,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,的面积为,求、.
18.(本小题满分12分)
某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求
的分布列、数学期望及方差;
(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱中,,是棱的中点,.
(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
设抛物线:的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于两、点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若、、三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到、距离的比值.
21.(本小题满分12分)
已知函数满足.
(Ⅰ)求的解析式及单调区间; (Ⅱ)若,求的最大值.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,、分别为边、的中点,直线交的外接圆于、两点,若,证明:
(Ⅰ);
(Ⅱ)∽.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上,且、、、依逆时针次序排列,点的极坐标为.
(Ⅰ)求点、、、的直角坐标;
(Ⅱ)设为上任意一点,求的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围.
2012年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标(答案)
一、 选择题:
(1)【解析】选
,,,共10个
(2)【解析】选
甲地由名教师和名学生:种
(3)【解析】选
,,的共轭复数为,的虚部为
(4)【解析】选
是底角为的等腰三角形
(5)【解析】选
,或
(6)【解析】选
(7)【解析】选
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为
此几何体的体积为
(8)【解析】选
设交的准线于
得:
(9)【解析】选
不合题意 排除
合题意 排除
另:,
得:
(10)【解析】选
得:或均有 排除
(11)【解析】选
的外接圆的半径,点到面的距离
为球的直径点到面的距离为
此棱锥的体积为
另:排除
(12)【解析】选
函数与函数互为反函数,图象关于对称
函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得:最小值为
二.填空题
(13)【解析】
(14)【解析】的取值范围为
约束条件对应四边形边际及内的区域:
则
(15)【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
(16)【解析】的前项和为
可证明:
三、解答题
(17)【解析】(1)由正弦定理得:
(2)
解得:
(18)【解析】(1)当时,
当时,
得:
(2)(i)可取,,
的分布列为
(ii)购进17枝时,当天的利润为
得:应购进17枝
(19)【解析】(1)在中,
得:
同理:
得:面
(2)面
取的中点,过点作于点,连接
,面面面
得:点与点重合
且是二面角的平面角
设,则,
既二面角的大小为
(20)【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边
点到准线的距离
圆的方程为
(2)由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。(lfx lby)
(21)【解析】(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,
令;则
当时,
当时,的最大值为
(22)【解析】(1),
(2)
(23)【解析】(1)点的极坐标为
点的直角坐标为
(2)设;则
(lfxlby)
(24)【解析】(1)当时,
或或
或
(2)原命题在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
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