黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷理科内考 26页

‎2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）（内考）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）若复数z＝，则|z|＝（　　）‎ A．8 B．2 C．2 D．‎ ‎3．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎4．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎5．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2+λan，且a1＝1，则S5＝（　　）‎ A．27 B． C． D．31‎ ‎6．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎8．（5分）甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（　　）‎ A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 ‎9．（5分）阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（　　）‎ A．n≤2014 B．n≤2015 C．n≤2016 D．n≤2018‎ ‎10．（5分）若的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则＝（　　）‎ A．36π B． C． D．25π ‎11．（5分）已知x2+y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）函数，方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0有4个不相等实根，则m的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置 ‎13．（5分）已知向量＝（2，﹣4），＝（﹣3，﹣4），则向量与夹角的余弦值为　 　．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值是　 　．‎ ‎15．（5分）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“A作品获得一等奖”； 乙说：“C作品获得一等奖”‎ 丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　 　．‎ ‎16．（5分）在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为　 　．‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（12分）在△ABC，，BC＝2．‎ ‎（1）若AC＝3，求AB的长；‎ ‎（2）若点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．‎ ‎18．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．‎ ‎（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2．‎ ‎（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；‎ ‎（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，与点M（﹣2，3）关于直线2x﹣y+2＝0对称的点N位于抛物线C：x2＝2py（p＞0）上．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点N作两条倾斜角互补的直线交抛物线C于A，B两点（非N点），若AB过焦点F，求的值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+x）lnx+2x3+（1﹣a）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．‎ ‎（1）当a＝0，b＝0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）≥0恒成立，求b﹣2a的最小值 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知曲线C1：x+y＝和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程 ‎（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，‎ 求证：（1）a+b+c≥；‎ ‎（2）++≥（++）‎ ‎2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）（内考）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（　　）‎ A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．‎ ‎【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁UB），然后根据集合的基本运算求解即可 ‎【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁UB），‎ ‎∵B＝{x|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤﹣2}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ ‎∴∁UB＝{x|﹣2＜x＜2}，‎ 即A∩（∁UB）＝{﹣1，0，1}‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎2．（5分）若复数z＝，则|z|＝（　　）‎ A．8 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；29：规律型；34：方程思想；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z＝，则|z|＝＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基础题．‎ ‎3．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 ‎【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h＝2，‎ 结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC＝1，AB＝2，AB⊥BC，‎ ‎∴三棱锥的体积V＝＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．‎ ‎4．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；4R：转化法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小．‎ ‎【解答】解：由a＝＝‎ b＝＝‎ 根据指数函数的单调性，∴a＞b．‎ a＝＝，c＝，‎ ‎∴a＜c，‎ 可得：b＜a＜c．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力．属于基础题．‎ ‎5．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2+λan，且a1＝1，则S5＝（　　）‎ A．27 B． C． D．31‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】Sn＝2+λan，且a1＝1，可得1＝a1＝S1＝2+λ，解得λ＝﹣1．n≥2时，Sn＝2﹣an＝2﹣（Sn﹣Sn﹣1），化为：Sn﹣2＝（Sn﹣1﹣2），S1﹣2＝﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：Sn＝2+λan，且a1＝1，‎ ‎∴1＝a1＝S1＝2+λ，解得λ＝﹣1．‎ ‎∴n≥2时，Sn＝2﹣an＝2﹣（Sn﹣Sn﹣1），‎ 化为：Sn﹣2＝（Sn﹣1﹣2），S1﹣2＝﹣1，‎ ‎∴Sn﹣2＝﹣，即Sn＝2﹣，‎ 则S5＝2﹣＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题．‎ ‎【分析】根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率．‎ ‎【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，‎ ‎∴1﹣p0•（1﹣p）2＝，‎ ‎∴P＝，‎ ‎∴η～B（4，），‎ ‎∴P（η≥2）＝++＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P的值，在根据二项分布的概率公式 得到结果．‎ ‎7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设渐近线为，可得，即b＝4．又c﹣a＝2．即（c﹣a）2＝4＝b，⇒（c﹣a）4＝b2＝（c﹣a）（c+a），c+a＝（c﹣a）3＝8．‎ 即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a＝8，‎ ‎【解答】解：设渐近线为，‎ ‎∵右焦点F2到渐近线的距离为4，∴，即b＝4．‎ ‎∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，这个点是右顶点，∴c﹣a＝2．‎ ‎∴（c﹣a）2＝4＝b，⇒（c﹣a）4＝b2＝（c﹣a）（c+a），‎ ‎∴c+a＝（c﹣a）3＝8．‎ 则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a＝8，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题．‎ ‎8．（5分）甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（　　）‎ A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 ‎【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 ‎【专题】5I：概率与统计．‎ ‎【分析】先甲、乙捆绑，安排中间位置，再将其余3人排其它3个位置，利用乘法原理，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意，甲、乙捆绑，安排中间位置，共有＝4种排法，其余3人排其它3个位置，共有＝6种排法 利用乘法原理，可得不同的排法有4×6＝24种排法 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合知识，考查乘法原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎9．（5分）阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（　　）‎ A．n≤2014 B．n≤2015 C．n≤2016 D．n≤2018‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s＝符号题意．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：‎ s＝0，n＝1；‎ 满足条件，执行循环体，s＝，n＝2；‎ 满足条件，执行循环体，s＝0，n＝3；‎ 满足条件，执行循环体，s＝0，n＝4；‎ 满足条件，执行循环体，s＝，n＝5；‎ 满足条件，执行循环体，s＝0，n＝6‎ ‎…‎ 观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s的值为，‎ 由于：2014＝671×3+1‎ 所以：判断条件为n≤2014？时，s＝符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎10．（5分）若的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则＝（　　）‎ A．36π B． C． D．25π ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；5P：二项式定理．‎ ‎【分析】利用二项式定理的通项公式可得n的最小值，再利用微积分基本定理及其定积分几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：的展开式的通项为，‎ 因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，‎ 故n的最小值为5．∴a＝5．‎ 所以＝dx＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理及其定积分几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．（5分）已知x2+y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y＝3b＝，进而设x＝2cosα，y＝2sinα，则b+c+y＝（x+3y）＝（cosα+3sinα），利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．‎ ‎【解答】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，‎ 则有x+y＝a+c＝2b，‎ 则b＝，c＝＝＝，‎ 则这个等差数列后三项和为b+c+y＝3b＝，‎ 又由x2+y2＝4，设x＝2cosα，y＝2sinα，则b+c+y＝（x+3y）＝（cosα+3sinα）＝sin（α+φ）≤，‎ 即这个等差数列后三项和的最大值为；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用 ‎12．（5分）函数，方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0有4个不相等实根，则m的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】利用函数的导数，求出函数的极值，利用函数的图象以及极值，判断m的范围即可．求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，作出f（x）的图象，设t＝f（x），关于x的方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0，解得t，再由图象可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数是连续函数，x＝0时，y＝0．x＞0时，函数的导数为f′（x）＝，‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；‎ 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 可得f（x）在x＝1处取得极大值，f（x）∈（0，]‎ x＜0时，f′（x）＝﹣＜0，函数是减函数，‎ 作出y＝f（x）的图象，‎ 设t＝f（x），‎ 关于x的方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0即为t2﹣（m+1）t+1﹣m＝0，‎ 有1个大于实根，一个根在（0，）；‎ 由题意可得：‎ 解得m∈．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置 ‎13．（5分）已知向量＝（2，﹣4），＝（﹣3，﹣4），则向量与夹角的余弦值为　　．‎ ‎【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5A：平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据题意，设向量与夹角为θ，由向量的坐标计算公式可得||、||以及•‎ 的值，由向量数量积的坐标计算公式cosθ＝，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，‎ 向量，，‎ 则||＝2，||＝5，且•＝2×（﹣3）+（﹣4）×（﹣4）＝10，‎ cosθ＝＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量的夹角的计算，涉及向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．‎ ‎14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值是　2　．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z＝x﹣y得y＝x﹣z，‎ 平移直线y＝x﹣z，由图象直线当直线y＝x﹣z经过B（2，0）时，‎ 直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大为z＝2﹣0＝2，‎ 即z＝x﹣y的最大值是2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎15．（5分）学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“A作品获得一等奖”； 乙说：“C作品获得一等奖”‎ 丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　C　．‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；5M：推理和证明．‎ ‎【分析】根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．‎ ‎【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，‎ 假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；‎ 假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；‎ 假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；‎ 假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；‎ 故获得参赛的作品C为一等奖；‎ 故答案为：C．‎ ‎【点评】本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．‎ ‎16．（5分）在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为　　．‎ ‎【考点】LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．‎ ‎【分析】利用已知条件画出图形，判断球心的位置，转化求解球的半径即可．‎ ‎【解答】解：在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，四面体ABCD外接球，如图：‎ 则△BCD在求出一个小圆上，BD的中点为圆心N，△ABD是正三角形，也在球的一个小圆上，圆心为M，作OM⊥平面ABD，ON⊥平面BCD，O为球心，二面角A﹣BD﹣C的大小为150°，作NP⊥BD，‎ 则∠ANP＝150°，可得∠ONM＝60°，MN＝，则ON＝，BN＝1，‎ 外接球的半径为：＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查球的内接体，二面角的平面角的应用，球与平面相交的性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17．（12分）在△ABC，，BC＝2．‎ ‎（1）若AC＝3，求AB的长；‎ ‎（2）若点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．‎ ‎【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．‎ ‎【分析】（1）设AB＝x，通过AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，求解即可．‎ ‎（2）在△BCD中，由正弦定理可得：，转化求解A即可．‎ ‎【解答】解：（1）设AB＝x，则由余弦定理有：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，‎ 即32＝22+x2﹣2x•2cos60°，‎ 解得：，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，所以．‎ 在△BCD中，由正弦定理可得：，‎ 因为∠BDC＝2∠A，所以．‎ 所以，所以．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．‎ ‎18．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．‎ ‎（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】31：数形结合；32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．‎ ‎（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．‎ ‎（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x；‎ 当200＜x≤400时，y＝0.5×200+0.8×（x﹣200）＝0.8x﹣60，‎ 当x＞400时，y＝0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）＝x﹣140，‎ 所以y与x之间的函数解析式为：y＝．‎ ‎（2）由（1）可知：当y＝260时，x＝400，则P（x≤400）＝0.80，‎ 结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3＝0.8，100a+0.05＝0.2，‎ ‎∴a＝0.0015，b＝0.0020．‎ ‎（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．‎ 当x＝50时，y＝0.5×50＝25，∴P（y＝25）＝0.1，‎ 当x＝150时，y＝0.5×150＝75，∴P（y＝75）＝0.2，‎ 当x＝250时，y＝0.5×200+0.8×50＝140，∴P（y＝140）＝0.3，‎ 当x＝350时，y＝0.5×200+0.8×150＝220，∴P（y＝220）＝0.2，‎ 当x＝450时，y＝0.5×200+0.8×200+1.0×50＝310，∴P（y＝310）＝0.15，‎ 当x＝550时，y＝0.5×200×0.8×200+1.0×150＝410，∴P（y＝410）＝0.05．‎ 故Y的概率分布列为：‎ Y ‎25‎ ‎75‎ ‎140‎ ‎220‎ ‎310‎ ‎410‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ 所以随机变量Y的数学期望 EY＝25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05＝170.5．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．（12分）如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2．‎ ‎（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；‎ ‎（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA1，由此能证明AM⊥平面AA1B1B ‎（Ⅱ）分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD＝120°，连结AC，‎ ‎∴△ACD为等边三角形，‎ 又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，‎ 由CD∥AB得，∴AM⊥AB，‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，‎ 又∵AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B 解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，‎ ‎∴DM＝1，，∠AMD＝∠BAM＝90°，‎ 又∵AA1⊥底面ABCD，设M为CD中点，‎ 分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、、，‎ ‎∴，，，‎ 设平面A1BD的一个法向量，‎ 则有，令x＝1，则，‎ ‎∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值：‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，与点M（﹣2，3）关于直线2x﹣y+2＝0对称的点N位于抛物线C：x2＝2py（p＞0）上．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过点N作两条倾斜角互补的直线交抛物线C于A，B两点（非N点），若AB过焦点F，求的值．‎ ‎【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）设N（m，n），则，解之得N（2，1），即可得到；‎ ‎（2）设显然直线NA的斜率是存在的，设直线NA的方程y﹣1＝k（x﹣2），设直线NB的方程y﹣1＝﹣k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消元，得x2﹣4kx+8k﹣4＝0，运用韦达定理，求出A，B的坐标，再根据直线的斜率，再由两点的距离公式，化简整理，即可求出 ‎【解答】解：（1）设N（m，n），则，解之得N（2，1），‎ 代入x2＝2py得p＝2，‎ 所以抛物线C的方程为x2＝4y．‎ ‎（2）显然直线NA的斜率是存在的，设直线NA的方程y﹣1＝k（x﹣2），‎ 设直线NB的方程y﹣1＝﹣k（x﹣2），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消元，得x2﹣4kx+8k﹣4＝0，‎ 所以2+x1＝4k，∴x1＝4k﹣2，‎ 所以y1＝4k（k﹣1）+1，‎ 故A（4k﹣2，4k（k﹣1）+1），‎ 同理，B（﹣4k﹣2，4k（k+1）+1），‎ 所以kAB＝＝﹣1‎ 若＜1，因为cos45°＝，‎ 所以＝＝3﹣2，‎ 若＞1，‎ 同理可求＝＝3+2‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及斜率公式运用，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题 ‎21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+x）lnx+2x3+（1﹣a）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．‎ ‎（1）当a＝0，b＝0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）≥0恒成立，求b﹣2a的最小值 ‎【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）求得f（x）的解析式，以及导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；‎ ‎（2）f′（x）＝（2x+1）（lnx+3x﹣a），设x0为h（x）＝lnx+3x﹣a的零点，得出a，b关于x0的表达式及f（x）的单调性，从而得出b﹣2a关于x0的函数，根据x0的范围再计算函数的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）＝（x2+x）lnx+2x3+x2﹣x 的导数为f′（x）＝（2x+1）lnx+（x2+x）•+6x2+2x﹣1‎ ‎＝（2x+1）（lnx+3x），‎ 可得切线的斜率为9，切点为（1，2），‎ 则切线方程为y﹣2＝9（x﹣1），即y＝9x﹣7；‎ ‎（2）f′（x）＝（2x+1）lnx+（x2+x）•+6x2+2（1﹣a）x﹣a﹣1＝（2x+1）（lnx+3x﹣a），‎ 令h（x）＝lnx+3x﹣a，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 又x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，‎ ‎∴存在唯一一个x0∈（0，+∞），使得h（x0）＝0，即a＝3x0+lnx0．‎ 当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，当x＞x0时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴fmin（x）＝f（x0）＝（x02+x0）lnx0+2x03+（1﹣a）x02﹣（a+1）x0+b ‎＝（x02+x0）lnx0+2x03+（1﹣3x0﹣lnx0）x02﹣（3x0+lnx0+1）x0+b ‎＝﹣x03﹣2x02﹣x0+b．‎ ‎∵f（x）≥0恒成立，‎ ‎∴﹣x03﹣2x02﹣x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．‎ ‎∴b﹣2a≥x03+2x02+x0﹣2a＝x03+2x02+x0﹣6x0﹣2lnx0＝x03+2x02﹣5x0﹣2lnx0，‎ 设φ（x）＝x3+2x2﹣5x﹣2lnx，x∈（0，+∞），‎ 则φ′（x）＝3x2+4x﹣5﹣＝3x（x﹣1）+＝，‎ ‎∴当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，当x＞1时，φ′（x）＞0，‎ ‎∴φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴φ（x）≥φ（1）＝﹣2．‎ ‎∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b﹣2a取得最小值﹣2．‎ ‎【点评】本题考查运用导数球曲线切线方程和函数单调性，函数最值的计算，属于难题．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知曲线C1：x+y＝和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程 ‎（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．‎ ‎【解答】解：（1）线C1：x+y＝和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 所以C1：，即，所以；‎ C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．‎ ‎（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，‎ 把代入C1得到ρ1＝1，P（1，）；‎ 把代入C2得到ρ2＝2，Q（2，），‎ 所以|PQ|＝|ρ2﹣ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1．‎ ‎【点评】本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，‎ 求证：（1）a+b+c≥；‎ ‎（2）++≥（++）‎ ‎【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．‎ ‎【分析】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．‎ ‎（2）问题转化为证明a+b+c≤1，根据基本不等式的性质证明即可．‎ ‎【解答】证明：（1）运用分析法证明．‎ 要证a+b+c≥，‎ 即证（a+b+c）2≥3，‎ 由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，‎ 即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，‎ 即为a2+b2+c2≥1，①‎ 由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，‎ 相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，‎ 则①成立．‎ 综上可得，原不等式成立．‎ ‎（2）∵++＝，‎ 而由（1）a+b+c≥，‎ ‎∴≥（++），‎ 故只需≥++，‎ 即a+b+c≤1，‎ 即：a+b+c≤ab+bc+ac，‎ 而a＝•≤，b≤，c≤，‎ ‎∴a+b+c≤ab+bc+ac＝1成立，‎ ‎（当且仅当a＝b＝c＝时）．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 7:49:01；用户：qgjyuser10372；邮箱：qgjyuser10372.21957750；学号：21985379‎