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  • 2021-05-13 发布

黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷理科内考

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‎2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(内考)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1.(5分)已知全集U=R,集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2≥4},则如图中阴影部分所表示的集合为(  )‎ A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{0} C.{﹣1,0} D.{﹣1,0,1}‎ ‎2.(5分)若复数z=,则|z|=(  )‎ A.8 B.2 C.2 D.‎ ‎3.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎4.(5分)已知a=,b=,c=,则(  )‎ A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b ‎5.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=2+λan,且a1=1,则S5=(  )‎ A.27 B. C. D.31‎ ‎6.(5分)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若,则P(η≥2)的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F2到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个,则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎8.(5分)甲、乙等5人排一排照相,要求甲、乙2人相邻但不排在两端,那么不同的排法共有(  )‎ A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 ‎9.(5分)阅读如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为0,则判断框中的条件不可能是(  )‎ A.n≤2014 B.n≤2015 C.n≤2016 D.n≤2018‎ ‎10.(5分)若的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则=(  )‎ A.36π B. C. D.25π ‎11.(5分)已知x2+y2=4,在这两个实数x,y之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那么这个等差数列后三项和的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)函数,方程[f(x)]2﹣(m+1)f(x)+1﹣m=0有4个不相等实根,则m的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置 ‎13.(5分)已知向量=(2,﹣4),=(﹣3,﹣4),则向量与夹角的余弦值为   .‎ ‎14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最大值是   .‎ ‎15.(5分)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“A作品获得一等奖”; 乙说:“C作品获得一等奖”‎ 丙说:“B,D两项作品未获得一等奖”丁说:“是A或D作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是   .‎ ‎16.(5分)在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为   .‎ 三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC,,BC=2.‎ ‎(1)若AC=3,求AB的长;‎ ‎(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,,求角A的值.‎ ‎18.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.‎ ‎(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;‎ ‎(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值;‎ ‎(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.‎ ‎19.(12分)如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.‎ ‎(Ⅰ)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.‎ ‎20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,与点M(﹣2,3)关于直线2x﹣y+2=0对称的点N位于抛物线C:x2=2py(p>0)上.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点N作两条倾斜角互补的直线交抛物线C于A,B两点(非N点),若AB过焦点F,求的值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(x2+x)lnx+2x3+(1﹣a)x2﹣(a+1)x+b(a,b∈R).‎ ‎(1)当a=0,b=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)≥0恒成立,求b﹣2a的最小值 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(1)把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程 ‎(2)设C1与x轴、y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1、C2交于P、Q两点,求P,Q两点间的距离.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1,‎ 求证:(1)a+b+c≥;‎ ‎(2)++≥(++)‎ ‎2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)(内考)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1.(5分)已知全集U=R,集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2≥4},则如图中阴影部分所表示的集合为(  )‎ A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{0} C.{﹣1,0} D.{﹣1,0,1}‎ ‎【考点】1J:Venn图表达集合的关系及运算.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;4O:定义法;5J:集合.‎ ‎【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A∩(∁UB),然后根据集合的基本运算求解即可 ‎【解答】解:由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩(∁UB),‎ ‎∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤﹣2},A={﹣2,﹣1,0,1,2},‎ ‎∴∁UB={x|﹣2<x<2},‎ 即A∩(∁UB)={﹣1,0,1}‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用图象先确定集合关系是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎2.(5分)若复数z=,则|z|=(  )‎ A.8 B.2 C.2 D.‎ ‎【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;29:规律型;34:方程思想;5N:数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可.‎ ‎【解答】解:复数z=,则|z|===.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查复数的模的求法,复数的基本运算,是基础题.‎ ‎3.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 ‎【专题】31:数形结合;44:数形结合法;5F:空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】根据三视图判断三棱锥的底面形状和高,代入体积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2,‎ 结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形,BC=1,AB=2,AB⊥BC,‎ ‎∴三棱锥的体积V==,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的结构特征与三视图,体积计算,属于中档题.‎ ‎4.(5分)已知a=,b=,c=,则(  )‎ A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b ‎【考点】4Y:幂函数的单调性、奇偶性及其应用.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;4R:转化法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.‎ ‎【解答】解:由a==‎ b==‎ 根据指数函数的单调性,∴a>b.‎ a==,c=,‎ ‎∴a<c,‎ 可得:b<a<c.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力.属于基础题.‎ ‎5.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=2+λan,且a1=1,则S5=(  )‎ A.27 B. C. D.31‎ ‎【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】Sn=2+λan,且a1=1,可得1=a1=S1=2+λ,解得λ=﹣1.n≥2时,Sn=2﹣an=2﹣(Sn﹣Sn﹣1),化为:Sn﹣2=(Sn﹣1﹣2),S1﹣2=﹣1,利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:Sn=2+λan,且a1=1,‎ ‎∴1=a1=S1=2+λ,解得λ=﹣1.‎ ‎∴n≥2时,Sn=2﹣an=2﹣(Sn﹣Sn﹣1),‎ 化为:Sn﹣2=(Sn﹣1﹣2),S1﹣2=﹣1,‎ ‎∴Sn﹣2=﹣,即Sn=2﹣,‎ 则S5=2﹣=,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎6.(5分)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若,则P(η≥2)的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】CN:二项分布与n次独立重复试验的模型.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题.‎ ‎【分析】根据随机变量ξ~B(2,p),,写出概率的表示式,求出其中P的值,把求得的P的值代入η~B(4,p),求出概率.‎ ‎【解答】解:∵随机变量ξ~B(2,p),,‎ ‎∴1﹣p0•(1﹣p)2=,‎ ‎∴P=,‎ ‎∴η~B(4,),‎ ‎∴P(η≥2)=++=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型,本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P的值,在根据二项分布的概率公式 得到结果.‎ ‎7.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F2到渐近线的距离为4,且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个,则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】设渐近线为,可得,即b=4.又c﹣a=2.即(c﹣a)2=4=b,⇒(c﹣a)4=b2=(c﹣a)(c+a),c+a=(c﹣a)3=8.‎ 即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8,‎ ‎【解答】解:设渐近线为,‎ ‎∵右焦点F2到渐近线的距离为4,∴,即b=4.‎ ‎∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个,这个点是右顶点,∴c﹣a=2.‎ ‎∴(c﹣a)2=4=b,⇒(c﹣a)4=b2=(c﹣a)(c+a),‎ ‎∴c+a=(c﹣a)3=8.‎ 则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的性质,转化思想,属于中档题.‎ ‎8.(5分)甲、乙等5人排一排照相,要求甲、乙2人相邻但不排在两端,那么不同的排法共有(  )‎ A.36种 B.24种 C.18种 D.12种 ‎【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 ‎【专题】5I:概率与统计.‎ ‎【分析】先甲、乙捆绑,安排中间位置,再将其余3人排其它3个位置,利用乘法原理,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由题意,甲、乙捆绑,安排中间位置,共有=4种排法,其余3人排其它3个位置,共有=6种排法 利用乘法原理,可得不同的排法有4×6=24种排法 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查排列、组合知识,考查乘法原理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎9.(5分)阅读如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为0,则判断框中的条件不可能是(  )‎ A.n≤2014 B.n≤2015 C.n≤2016 D.n≤2018‎ ‎【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,n的值,观察可知,s的值以3为周期循环出现,可得判断条件为n≤2014?时,s=符号题意.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得前6步的执行结果如下:‎ s=0,n=1;‎ 满足条件,执行循环体,s=,n=2;‎ 满足条件,执行循环体,s=0,n=3;‎ 满足条件,执行循环体,s=0,n=4;‎ 满足条件,执行循环体,s=,n=5;‎ 满足条件,执行循环体,s=0,n=6‎ ‎…‎ 观察可知,s的值以3为周期循环出现,当n的值除以3余1时,可得对应的s的值为,‎ 由于:2014=671×3+1‎ 所以:判断条件为n≤2014?时,s=符合题意.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的s,n的值是解题的关键,属于基础题.‎ ‎10.(5分)若的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则=(  )‎ A.36π B. C. D.25π ‎【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;53:导数的综合应用;5P:二项式定理.‎ ‎【分析】利用二项式定理的通项公式可得n的最小值,再利用微积分基本定理及其定积分几何意义即可得出.‎ ‎【解答】解:的展开式的通项为,‎ 因为展开式中含有常数项,所以,即为整数,‎ 故n的最小值为5.∴a=5.‎ 所以=dx==.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理及其定积分几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎11.(5分)已知x2+y2=4,在这两个实数x,y之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那么这个等差数列后三项和的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】8K:数列与不等式的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】根据题意,设插入的三个数为a、b、c,即构成等差数列的五个数分别为x,a,b,c,y,由等差数列的性质可得b、c的值,分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=,进而设x=2cosα,y=2sinα,则b+c+y=(x+3y)=(cosα+3sinα),利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值.‎ ‎【解答】解:根据题意,设插入的三个数为a、b、c,即构成等差数列的五个数分别为x,a,b,c,y,‎ 则有x+y=a+c=2b,‎ 则b=,c===,‎ 则这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=,‎ 又由x2+y2=4,设x=2cosα,y=2sinα,则b+c+y=(x+3y)=(cosα+3sinα)=sin(α+φ)≤,‎ 即这个等差数列后三项和的最大值为;‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用 ‎12.(5分)函数,方程[f(x)]2﹣(m+1)f(x)+1﹣m=0有4个不相等实根,则m的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考点】53:函数的零点与方程根的关系;57:函数与方程的综合运用;6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;31:数形结合;49:综合法;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用.‎ ‎【分析】利用函数的导数,求出函数的极值,利用函数的图象以及极值,判断m的范围即可.求得f(x)的导数,可得单调区间和极值,作出f(x)的图象,设t=f(x),关于x的方程[f(x)]2﹣(m+1)f(x)+1﹣m=0,解得t,再由图象可得m的不等式,解不等式即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:函数是连续函数,x=0时,y=0.x>0时,函数的导数为f′(x)=,‎ 当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)递增;‎ 当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ 可得f(x)在x=1处取得极大值,f(x)∈(0,]‎ x<0时,f′(x)=﹣<0,函数是减函数,‎ 作出y=f(x)的图象,‎ 设t=f(x),‎ 关于x的方程[f(x)]2﹣(m+1)f(x)+1﹣m=0即为t2﹣(m+1)t+1﹣m=0,‎ 有1个大于实根,一个根在(0,);‎ 由题意可得:‎ 解得m∈.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查方程的根的个数问题解法,考查数形结合思想方法,以及导数的运用:求单调区间和极值,考查运算能力,属于中档题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置 ‎13.(5分)已知向量=(2,﹣4),=(﹣3,﹣4),则向量与夹角的余弦值为  .‎ ‎【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5A:平面向量及应用.‎ ‎【分析】根据题意,设向量与夹角为θ,由向量的坐标计算公式可得||、||以及•‎ 的值,由向量数量积的坐标计算公式cosθ=,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,设向量与夹角为θ,‎ 向量,,‎ 则||=2,||=5,且•=2×(﹣3)+(﹣4)×(﹣4)=10,‎ cosθ===,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查向量的夹角的计算,涉及向量数量积的计算,关键是掌握向量数量积的坐标计算公式.‎ ‎14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最大值是 2 .‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5T:不等式.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用直线平移进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=x﹣y得y=x﹣z,‎ 平移直线y=x﹣z,由图象直线当直线y=x﹣z经过B(2,0)时,‎ 直线y=x﹣z的截距最小,此时z最大为z=2﹣0=2,‎ 即z=x﹣y的最大值是2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合是解决本题的关键.‎ ‎15.(5分)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说:“A作品获得一等奖”; 乙说:“C作品获得一等奖”‎ 丙说:“B,D两项作品未获得一等奖”丁说:“是A或D作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 C .‎ ‎【考点】F4:进行简单的合情推理.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4R:转化法;5M:推理和证明.‎ ‎【分析】根据题意,依次假设参赛的作品为A、B、C、D,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断.‎ ‎【解答】解:根据题意,A,B,C,D作品进行评奖,只评一项一等奖,‎ 假设参赛的作品A为一等奖,则甲、丙,丁的说法都正确,乙错误,不符合题意;‎ 假设参赛的作品B为一等奖,则甲、乙、丙、丁的说法都错误,不符合题意;‎ 假设参赛的作品C为一等奖,则乙,丙的说法正确,甲、丁的说法错误,符合题意;‎ 假设参赛的作品D为一等奖,则甲、乙,丙的说法都错误,丁的说法正确,不符合题意;‎ 故获得参赛的作品C为一等奖;‎ 故答案为:C.‎ ‎【点评】本题考查了合情推理的问题,注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件.验证法的应用.‎ ‎16.(5分)在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,则四面体ABCD外接球的半径为  .‎ ‎【考点】LG:球的体积和表面积;LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.‎ ‎【分析】利用已知条件画出图形,判断球心的位置,转化求解球的半径即可.‎ ‎【解答】解:在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,四面体ABCD外接球,如图:‎ 则△BCD在求出一个小圆上,BD的中点为圆心N,△ABD是正三角形,也在球的一个小圆上,圆心为M,作OM⊥平面ABD,ON⊥平面BCD,O为球心,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,作NP⊥BD,‎ 则∠ANP=150°,可得∠ONM=60°,MN=,则ON=,BN=1,‎ 外接球的半径为:=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查球的内接体,二面角的平面角的应用,球与平面相交的性质的应用,考查空间想象能力以及计算能力.‎ 三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC,,BC=2.‎ ‎(1)若AC=3,求AB的长;‎ ‎(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,,求角A的值.‎ ‎【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;58:解三角形.‎ ‎【分析】(1)设AB=x,通过AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB,求解即可.‎ ‎(2)在△BCD中,由正弦定理可得:,转化求解A即可.‎ ‎【解答】解:(1)设AB=x,则由余弦定理有:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB,‎ 即32=22+x2﹣2x•2cos60°,‎ 解得:,‎ 所以;‎ ‎(2)因为,所以.‎ 在△BCD中,由正弦定理可得:,‎ 因为∠BDC=2∠A,所以.‎ 所以,所以.‎ ‎【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力.‎ ‎18.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.‎ ‎(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;‎ ‎(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值;‎ ‎(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y 为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.‎ ‎【考点】B8:频率分布直方图;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 ‎【专题】31:数形结合;32:分类讨论;34:方程思想;35:转化思想;5I:概率与统计.‎ ‎【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.‎ ‎(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.‎ ‎(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;‎ 当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,‎ 当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,‎ 所以y与x之间的函数解析式为:y=.‎ ‎(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,‎ 结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,‎ ‎∴a=0.0015,b=0.0020.‎ ‎(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.‎ 当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1,‎ 当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,‎ 当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3,‎ 当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,‎ 当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15,‎ 当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05.‎ 故Y的概率分布列为:‎ Y ‎25‎ ‎75‎ ‎140‎ ‎220‎ ‎310‎ ‎410‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ 所以随机变量Y的数学期望 EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎19.(12分)如图所示,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.‎ ‎(Ⅰ)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.‎ ‎【考点】LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 ‎【专题】14:证明题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推导出AM⊥CD,AM⊥AB,AM⊥AA1,由此能证明AM⊥平面AA1B1B ‎(Ⅱ)分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形为菱形,∠BAD=120°,连结AC,‎ ‎∴△ACD为等边三角形,‎ 又∵M为CD中点,∴AM⊥CD,‎ 由CD∥AB得,∴AM⊥AB,‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴AM⊥AA1,‎ 又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面AA1B1B 解:(Ⅱ)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,‎ ‎∴DM=1,,∠AMD=∠BAM=90°,‎ 又∵AA1⊥底面ABCD,设M为CD中点,‎ 分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,‎ 则A1(0,0,2)、B(2,0,0)、、,‎ ‎∴,,,‎ 设平面A1BD的一个法向量,‎ 则有,令x=1,则,‎ ‎∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值:‎ ‎.‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.‎ ‎20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,与点M(﹣2,3)关于直线2x﹣y+2=0对称的点N位于抛物线C:x2=2py(p>0)上.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点N作两条倾斜角互补的直线交抛物线C于A,B两点(非N点),若AB过焦点F,求的值.‎ ‎【考点】KN:直线与抛物线的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ ‎【分析】(1)设N(m,n),则,解之得N(2,1),即可得到;‎ ‎(2)设显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程y﹣1=k(x﹣2),设直线NB的方程y﹣1=﹣k(x﹣2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消元,得x2﹣4kx+8k﹣4=0,运用韦达定理,求出A,B的坐标,再根据直线的斜率,再由两点的距离公式,化简整理,即可求出 ‎【解答】解:(1)设N(m,n),则,解之得N(2,1),‎ 代入x2=2py得p=2,‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程y﹣1=k(x﹣2),‎ 设直线NB的方程y﹣1=﹣k(x﹣2),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消元,得x2﹣4kx+8k﹣4=0,‎ 所以2+x1=4k,∴x1=4k﹣2,‎ 所以y1=4k(k﹣1)+1,‎ 故A(4k﹣2,4k(k﹣1)+1),‎ 同理,B(﹣4k﹣2,4k(k+1)+1),‎ 所以kAB==﹣1‎ 若<1,因为cos45°=,‎ 所以==3﹣2,‎ 若>1,‎ 同理可求==3+2‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,同时考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,以及斜率公式运用,考查了运算求解能力和转化与化归能力,属于中档题 ‎21.(12分)已知函数f(x)=(x2+x)lnx+2x3+(1﹣a)x2﹣(a+1)x+b(a,b∈R).‎ ‎(1)当a=0,b=0时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)≥0恒成立,求b﹣2a的最小值 ‎【考点】6E:利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;48:分析法;53:导数的综合应用.‎ ‎【分析】(1)求得f(x)的解析式,以及导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程;‎ ‎(2)f′(x)=(2x+1)(lnx+3x﹣a),设x0为h(x)=lnx+3x﹣a的零点,得出a,b关于x0的表达式及f(x)的单调性,从而得出b﹣2a关于x0的函数,根据x0的范围再计算函数的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=(x2+x)lnx+2x3+x2﹣x 的导数为f′(x)=(2x+1)lnx+(x2+x)•+6x2+2x﹣1‎ ‎=(2x+1)(lnx+3x),‎ 可得切线的斜率为9,切点为(1,2),‎ 则切线方程为y﹣2=9(x﹣1),即y=9x﹣7;‎ ‎(2)f′(x)=(2x+1)lnx+(x2+x)•+6x2+2(1﹣a)x﹣a﹣1=(2x+1)(lnx+3x﹣a),‎ 令h(x)=lnx+3x﹣a,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 又x→0时,h(x)→﹣∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,‎ ‎∴存在唯一一个x0∈(0,+∞),使得h(x0)=0,即a=3x0+lnx0.‎ 当0<x<x0时,f′(x)<0,当x>x0时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.‎ ‎∴fmin(x)=f(x0)=(x02+x0)lnx0+2x03+(1﹣a)x02﹣(a+1)x0+b ‎=(x02+x0)lnx0+2x03+(1﹣3x0﹣lnx0)x02﹣(3x0+lnx0+1)x0+b ‎=﹣x03﹣2x02﹣x0+b.‎ ‎∵f(x)≥0恒成立,‎ ‎∴﹣x03﹣2x02﹣x0+b≥0,即b≥x03+2x02+x0.‎ ‎∴b﹣2a≥x03+2x02+x0﹣2a=x03+2x02+x0﹣6x0﹣2lnx0=x03+2x02﹣5x0﹣2lnx0,‎ 设φ(x)=x3+2x2﹣5x﹣2lnx,x∈(0,+∞),‎ 则φ′(x)=3x2+4x﹣5﹣=3x(x﹣1)+=,‎ ‎∴当0<x<1时,φ′(x)<0,当x>1时,φ′(x)>0,‎ ‎∴φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴φ(x)≥φ(1)=﹣2.‎ ‎∴当x0=1时,即a=3x0+lnx0=3,b=x03+2x02+x0=4时,b﹣2a取得最小值﹣2.‎ ‎【点评】本题考查运用导数球曲线切线方程和函数单调性,函数最值的计算,属于难题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(1)把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程 ‎(2)设C1与x轴、y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1、C2交于P、Q两点,求P,Q两点间的距离.‎ ‎【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5S:坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】(1)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ,将普通方程化为极坐标方程即可;‎ ‎(2)求出M,N,P的坐标,得到射线的极坐标方程,分别代入C1、C2得到,P,Q的极坐标,求距离即可.‎ ‎【解答】解:(1)线C1:x+y=和C2:(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 所以C1:,即,所以;‎ C2的普通方程为,所以其极坐标方程为,即.‎ ‎(2)由题意M(,0),N(0,1),所以P(),所以射线OP的极坐标方程为:,‎ 把代入C1得到ρ1=1,P(1,);‎ 把代入C2得到ρ2=2,Q(2,),‎ 所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.‎ ‎【点评】本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化,理解自变量的关系是关键.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1,‎ 求证:(1)a+b+c≥;‎ ‎(2)++≥(++)‎ ‎【考点】7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4R:转化法;5T:不等式.‎ ‎【分析】(1)运用分析法证明.要证a+b+c≥,结合条件,两边平方,可得a2+b2+c2≥1,运用重要不等式,累加即可得证.‎ ‎(2)问题转化为证明a+b+c≤1,根据基本不等式的性质证明即可.‎ ‎【解答】证明:(1)运用分析法证明.‎ 要证a+b+c≥,‎ 即证(a+b+c)2≥3,‎ 由a,b,c均为正实数,且ab+bc+ca=1,‎ 即有a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,‎ 即为a2+b2+c2≥1,①‎ 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,‎ 相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca=1,‎ 则①成立.‎ 综上可得,原不等式成立.‎ ‎(2)∵++=,‎ 而由(1)a+b+c≥,‎ ‎∴≥(++),‎ 故只需≥++,‎ 即a+b+c≤1,‎ 即:a+b+c≤ab+bc+ac,‎ 而a=•≤,b≤,c≤,‎ ‎∴a+b+c≤ab+bc+ac=1成立,‎ ‎(当且仅当a=b=c=时).‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的证明,考查转化思想,是一道中档题.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/4/17 7:49:01;用户:qgjyuser10372;邮箱:qgjyuser10372.21957750;学号:21985379‎