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  • 2021-05-13 发布

2011年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

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‎2011年天津市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.(5分)(2011•天津)i是虚数单位,复数=(  )‎ A.2﹣i B.2+i C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有 ‎【专题】数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可.‎ ‎【解答】解:复数=‎ 故选A ‎【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,注意分母实数化,考查计算能力,常考题型.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2011•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为(  )‎ A.﹣4 B.0 C. D.4‎ ‎【考点】简单线性规划.菁优网版权所有 ‎【专题】不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过(2,2)时,z最大.‎ ‎【解答】解:画出不等式表示的平面区域 将目标函数变形为y=3x﹣z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线的纵截距最小,z最大 最大值为6﹣2=4‎ 故选D ‎【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2011•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为﹣4,则输出y的值为(  )‎ A.0.5 B.1 C.2 D.4‎ ‎【考点】程序框图.菁优网版权所有 ‎【专题】算法和程序框图.‎ ‎【分析】根据题意,按照程序框图的顺序进行执行,当x<3时跳出循环,输出结果.‎ ‎【解答】解:当输入x=﹣4时,‎ ‎|x|>3,执行循环,x=|﹣4﹣3|=7‎ ‎|x|=7>3,执行循环,x=|7﹣3|=4,‎ ‎|x|=4>3,执行循环,x=|4﹣3|=1,‎ 退出循环,‎ 输出的结果为y=21=2.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查循环结构的程序框图,搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键,按照程序框图的顺序进行执行求解,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2011•天津)设集合A={x∈R|x﹣2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x﹣2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有 ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】化简集合A,C,求出A∪B,判断出A∪B与C的关系是相等的即充要条件.‎ ‎【解答】解:A={x∈R|x﹣2>0}={x|x>2}‎ A∪B={x|x>2或x<0}‎ C={x∈R|x(x﹣2)>0}={x|x>2或x<0}‎ ‎∴A∪B=C ‎∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件 故选C ‎【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件,先化简各个命题.考查充要条件的定义.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2011•天津)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b ‎【考点】对数值大小的比较.菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用换底公式可得a=log23.6=log43.62,然后根据对数函数y=log4x在(0,+∞)的单调性可进行比较即可.‎ ‎【解答】解:∵a=log23.6=log43.62‎ ‎∵y=log4x在(0,+∞)单调递增,‎ 又∵3.62>3.6>3.2∴log43.62>log43.6>log43.2‎ 即a>c>b 故选:B ‎【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小,考查了换底公式的应用,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2011•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1),则双曲线的焦距为(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据题意,点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,结合抛物线的性质,可得p=4,进而可得抛物线的焦点坐标,依据题意,可得双曲线的左顶点的坐标,即可得a的值,由点(﹣2,﹣1)在双曲线的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得b的值,由双曲线的性质,可得c的值,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1),‎ 即点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣,则p=4,‎ 则抛物线的焦点为(2,0);‎ 则双曲线的左顶点为(﹣2,0),即a=2;‎ 点(﹣2,﹣1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为y=±x,‎ 由双曲线的性质,可得b=1;‎ 则c=,则焦距为2c=2;‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质,注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1)”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即2c,容易只计算到c,就得到结论.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2011•天津)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,﹣π<φ≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则(  )‎ A.f(x)在区间[﹣2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[﹣3π,﹣π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 ‎【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.菁优网版权所有 ‎【专题】三角函数的图像与性质.‎ ‎【分析】由函数f(x)的最小正周期为6π,根据周期公式可得ω=,且当x=时,f(x)取得最大值,代入可得,2sin(φ)=2,结合已知﹣π<φ≤π可得φ= 可得,分别求出函数的单调增区间和减区间,结合选项验证即可 ‎【解答】解:∵函数f(x)的最小正周期为6π,根据周期公式可得ω=,‎ ‎∴f(x)=2sin(φ),‎ ‎∵当x=时,f(x)取得最大值,∴2sin(φ)=2,φ=+2kπ,‎ ‎∵﹣π<φ≤π,∴φ=,∴,‎ ‎ 由 可得函数的单调增区间:,‎ 由可得函数的单调减区间:,‎ 结合选项可知A正确,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式,还考查了函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的求解,属于对基础知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2011•天津)对实数a与b,定义新运算“⊗”:a⊗b=.设函数f(x)=(x2﹣2)⊗(x﹣1),x∈R.若函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,1]∪(2,+∞) B.(﹣2,﹣1]∪(1,2] C.(﹣∞,﹣2)∪(1,2] D.[﹣2,﹣1]‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据定义的运算法则化简函数f(x)=(x2﹣2)⊗(x﹣1),的解析式,并画出f(x)的图象,函数y=f(x)﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f(x),y=c图象的交点问题,结合图象求得实数c的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴函数f(x)=(x2﹣2)⊗(x﹣1)‎ ‎=,‎ 由图可知,当c∈(﹣2,﹣1]∪(1,2]‎ 函数f(x) 与y=c的图象有两个公共点,‎ ‎∴c的取值范围是 (﹣2,﹣1]∪(1,2],‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.(5分)(2011•天津)已知集合A={x∈R||x﹣1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于 3 .‎ ‎【考点】交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】集合.‎ ‎【分析】先根据绝对值不等式求出集合A,然后根据交集的定义求出A∩Z,最后求出集合A∩Z中所有元素的和即可.‎ ‎【解答】解:A={x∈R||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},‎ 而Z为整数集,集合A∩Z={0,1,2},‎ 故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3,‎ 故答案为3.‎ ‎【点评】本题属于以绝对值不等式为依托,求集合的交集的基础题,同时考查了集合中元素的和.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2011•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则这个几何体的体积为 4 m3.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 ‎【专题】立体几何.‎ ‎【分析】由题意可知,一个简单的组合体,上面是一个底面是边长为1的正方形,高是2的四棱柱,下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体,根据所给的长度,求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由三视图可知,‎ 这是一个简单的组合体,‎ 上面是一个底面是边长为1的正方形,高是2的四棱柱,体积是1×1×2‎ 下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体,体积是1×1×2‎ ‎∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3,‎ 故答案为:4‎ ‎【点评】本题考查由三视图还原直观图,根据图形中所给的数据,求出要求的体积,本题是一个考查简单几何体体积的简单题目.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2011•天津)已知{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10值为 110 .‎ ‎【考点】等差数列的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S(k+1)m﹣Skm}是以m2d为公差的数列,本题中令m=5,每五项的和也组成一个等差数列,再由数列中项知识求出前五项的和,由此建立方程求出公差,进而可求出S10的值 ‎【解答】解:由题意a3=16,故S5=5×a3=80,‎ 由数列的性质S10﹣S5=80+25d,S15﹣S10=80+50d,S20﹣S15=80+75d,‎ 故S20=20=320+150d,解之得d=﹣2‎ 又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110‎ 故答案为:110‎ ‎【点评】本题考点是等差数列的性质,考查等差数列前n项和的性质,以及数列的中项的运用,本题技巧性较强,属于等差数列的性质运用题,解答本题,要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2011•天津)已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为 18 .‎ ‎【考点】基本不等式;对数的运算性质.菁优网版权所有 ‎【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】先把已知条件转化为ab≥2,且a>0,b>0;再把所求用基本不等式转化到用ab表示即可.‎ ‎【解答】解:由log2a+log2b≥1得ab≥2,且a>0,b>0.‎ 又3a+9b=3a+32b≥2=2,‎ 因为a+2b≥2=2≥2=4,‎ 所以3a+9b≥2=18.‎ 即3a+9b的最小值为18.‎ 故答案为18.‎ ‎【点评】本题是对指数的运算性质,对数的运算性质以及基本不等式的综合考查.考查的都是基本知识点,只要课本知识掌握熟练,是道基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2011•天津)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且 DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则CE的长为  .‎ ‎【考点】圆的切线方程.菁优网版权所有 ‎【专题】直线与圆.‎ ‎【分析】设出AF=4k,BF=2k,BE=k,由DF•FC=AF•BF求出k的值,利用切割定理求出CE.‎ ‎【解答】解:设AF=4k,BF=2k,BE=k,由DF•FC=AF•BF,得2=8k2,即k=,‎ ‎∴AF=2,BF=1,BE=,AE=,‎ 由切割定理得CE2=BE•EA==,‎ ‎∴CE=.‎ ‎【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,基本知识掌握的情况,常考题型.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2011•天津)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 5 .‎ ‎【考点】向量的模.菁优网版权所有 ‎【专题】平面向量及应用.‎ ‎【分析】根据题意,利用解析法求解,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0≤b≤a),求出,根据向量模的计算公式,即可求得,利用完全平方式非负,即可求得其最小值.‎ ‎【解答】解:如图,以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,‎ 则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)‎ 设P(0,b)(0≤b≤a)‎ 则=(2,﹣b),=(1,a﹣b),‎ ‎∴=(5,3a﹣4b)‎ ‎∴=≥5.‎ 故答案为5.‎ ‎【点评】此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.(13分)(2011•天津)编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:‎ 运动员编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ ‎ 得分 ‎15‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎18‎ ‎34‎ 运动员编号 A9‎ A10‎ A11‎ A12‎ A13‎ A14‎ A15‎ A16‎ ‎ 得分 ‎17‎ ‎26‎ ‎25‎ ‎33‎ ‎22‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;‎ 区间 ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40]‎ 人数 ‎(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,‎ ‎(i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ii)求这2人得分之和大于50分的概率.‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 ‎【专题】概率与统计.‎ ‎【分析】(I)根据已知中编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表,我们易得出得分在对应区间内的人数.‎ ‎(II)(i)根据(I)的结论,我们易列出在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,所有可能的抽取结果;‎ ‎(ii)列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数,代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率.‎ ‎【解答】解:(I)由已知中编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得:‎ 得分在区间[10,20)上的共4人,在区间[20,30)上的共6人,在区间[30,40]上的共6人,‎ 故答案为4,6,6‎ ‎(II)(i)得分在区间[20,30)上的共6人,编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13,‎ 从中随机抽取2人,计为(X,Y),则所有可能的抽取结果有:‎ ‎(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),‎ ‎(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),‎ ‎(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13)共15种.‎ ‎(ii)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人的得分之和大于50分的基本事件有:‎ ‎(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11)共5种 故这2人得分之和大于50分的概率P==‎ ‎【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2011•天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.‎ ‎(Ⅰ)求cosA的值;‎ ‎(Ⅱ)的值.‎ ‎【考点】余弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦.菁优网版权所有 ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】(I)利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系;利用三角形的余弦定理求出角A的余弦.‎ ‎(II)利用三角函数的平方关系求出角A的正弦,利用二倍角公式求出角2A的正弦,余弦;利用两个角的和的余弦公式求出的值.‎ ‎【解答】解:(I)由B=C,可得 所以cosA==‎ ‎(II)因为 所以 ‎=‎ ‎【点评】本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2011•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;‎ ‎(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离;空间角;立体几何.‎ ‎【分析】(I)由O为AC中点,M为PD中点.结合平行四边形的对角线性质,考虑连接BD,MO,则有PB∥MO,从而可证 ‎(II)由∠ADC=45°,且AD=AC=1,易得AD⊥AC,PO⊥AD,根据线面垂直的判定定理可证 ‎(III)取DO中点N,由PO⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△ANM中求解即可 ‎【解答】解:(I)证明:连接BD,MO 在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,‎ 所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO 因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM 所以PB∥平面ACM ‎(II)证明:因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC 又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面PAC ‎(III)解:取DO中点N,连接MN,AN 因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD 所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.‎ 在Rt△DAO中,,所以,‎ ‎∴,‎ 在Rt△ANM中,==‎ 即直线AM与平面ABCD所成的正切值为 ‎【点评】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2011•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率e;‎ ‎(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.菁优网版权所有 ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接利用|PF2|=|F1F2|,对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e;‎ ‎(Ⅱ)先把直线PF2与椭圆方程联立求出A,B两点的坐标以及对应的|AB|两点,进而求出|MN|,再利用弦心距,弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系,即可求椭圆的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0)(c>0).‎ 由题得|PF2|=|F1F2|,即=2c,整理得2+﹣1=0,得=﹣1(舍),或=,‎ 所以e=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线方程PF2为y=(x﹣c).‎ A,B的坐标满足方程组,‎ 消y并整理得5x2﹣8xc=0,‎ 解得x=0,x=,得方程组的解为,,‎ 不妨设A(c,c),B(0,﹣c).‎ 所以|AB|==c,于是|MN|=|AB|=2c.‎ 圆心(﹣1,)到直线PF2的距离d=,‎ 因为d2+=42,所以(2+c)2+c2=16,整理得c=﹣(舍)或c=2.‎ 所以椭圆方程为+=1.‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质,直线的方程,两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.‎ ‎(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 ‎【专题】导数的综合应用.‎ ‎【分析】(I)当t=1时,求出函数f(x),利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率,利用点斜式求出切线方程;‎ ‎(II)根据f'(0)=0,解得x=﹣t或x=,讨论t的正负,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出单调区间即可;‎ ‎(III)根据函数的单调性分两种情况讨论,当≥1与当0<<1时,研究函数的单调性,然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点从而得到结论.‎ ‎【解答】解:(I)当t=1时,f(x)=4x3+3x2﹣6x,f(0)=0‎ f'(x)=12x2+6x﹣6,f'(0)=﹣6,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=﹣6x.‎ ‎(II)解:f'(x)=12x2+6tx﹣6t2,f'(0)=0,解得x=﹣t或x=‎ ‎∵t≠0,以下分两种情况讨论:‎ ‎(1)若t<0,则<﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,),(﹣t,+∞);f(x)的单调减区间是(,﹣t)‎ ‎(2)若t>0,则>﹣t,∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣t),(,+∞);f(x)的单调减区间是(﹣t,)‎ ‎(III)证明:由(II)可知,当t>0时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)内单调递增,以下分两种情况讨论:‎ ‎(1)当≥1,即t≥2时,f(x)在(0,1)内单调递减.‎ f(0)=t﹣1>0,f(1)=﹣6t2+4t+3≤﹣13<0‎ 所以对于任意t∈[2,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.‎ ‎(2)当0<<1,即0<t<2时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,1)内单调递增 若t∈(0,1],f()=+t﹣1≤<0,‎ f(1)=﹣6t2+4t+3≥﹣2t+3>0‎ 所以f(x)在(,1)内存在零点.‎ 若t∈(1,2),f()=+t﹣1<+1<0,‎ f(0)=t﹣1>0∴f(x)在(0,)内存在零点.‎ 所以,对任意t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.‎ 综上,对于任意t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识,考查了计算能力和分类讨论的思想.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2011•天津)已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(﹣2)n+1,bn=,n∈N*,且a1=2.‎ ‎(Ⅰ)求a2,a3的值 ‎(Ⅱ)设cn=a2n+1﹣a2n﹣1,n∈N*,证明{cn}是等比数列 ‎(Ⅲ)设Sn为{an}的前n项和,证明++…++≤n﹣(n∈N*)‎ ‎【考点】数列与不等式的综合;等比关系的确定.菁优网版权所有 ‎【专题】等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(Ⅰ)推出bn的表达式,分别当n=1时,求出a2=﹣;当n=2时,解出a3=8;‎ ‎(Ⅱ)设cn=a2n+1﹣a2n﹣1,n∈N*,利用等比数列的定义,证明{cn}是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)求出S2n,a2n,S2n﹣1,a2n﹣1,求出+的表达式,然后求出++…++的表达式,利用放缩法证明结果.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由bn=,(n∈N*)可得bn=‎ 又bn+1an+bnan+1=(﹣2)n+1,‎ 当n=1时,a1+2a2=﹣1,可得由a1=2,a2=﹣;‎ 当n=2时,2a2+a3=5可得a3=8;‎ ‎(Ⅱ)证明:对任意n∈N*,a2n﹣1+2a2n=﹣22n﹣1+1…①‎ ‎2a2n+a2n+1=22n+1…②‎ ‎②﹣①,得a2n+1﹣a2n﹣1=3×22n﹣1,即:cn=3×22n﹣1,于是 所以{cn}是等比数列.‎ ‎(Ⅲ)证明:‎ a1=2,由(Ⅱ)知,当k∈N*且k≥2时,‎ a2k﹣1=a1+(a3﹣a1)+(a5﹣a3)+(a7﹣a5)+…+(a2k﹣1﹣a2k﹣3)‎ ‎=2+3(2+23+25+…+22k﹣3)=2+3×=22k﹣1,‎ 故对任意的k∈N*,a2k﹣1=22k﹣1.‎ 由①得22k﹣1+2a2k=﹣22k﹣1+1,所以k∈N*,‎ 因此,‎ 于是,.‎ 故=‎ ‎=‎ 所以,对任意的n∈N*,++…++=(+)+…+(+)‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=n﹣‎ ‎≤n﹣﹣=n﹣(n∈N*)‎ ‎【点评】本题考查等比数列的定义,等比数列求和等基础知识,考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想.‎