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2014年湖南省高考数学试卷(文科)
(扫描二维码可查看试题解析)
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)(2014•湖南)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则¬p为( )
A.
∃x0∈R,x02+1>0
B.
∃x0∈R,x02+1≤0
C.
∃x0∈R,x02+1<0
D.
∀x∈R,x2+1≤0
2.(5分)(2014•湖南)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.
{x|x>2}
B.
{x|x>1}
C.
{x|2<x<3}
D.
{x|1<x<3}
3.(5分)(2014•湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则( )
A.
P1=P2<P3
B.
P2=P3<P1
C.
P1=P3<P2
D.
P1=P2=P3
4.(5分)(2014•湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是( )
A.
f(x)=
B.
f(x)=x2+1
C.
f(x)=x3
D.
f(x)=2﹣x
5.(5分)(2014•湖南)在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6.(5分)(2014•湖南)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=( )
A.
21
B.
19
C.
9
D.
﹣11
7.(5分)(2014•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于( )
A.
[﹣6,﹣2]
B.
[﹣5,﹣1]
C.
[﹣4,5]
D.
[﹣3,6]
8.(5分)(2014•湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
9.(5分)(2014•湖南)若0<x1<x2<1,则( )
A.
﹣>lnx2﹣lnx1
B.
﹣<lnx2﹣lnx1
C.
x2>x1
D.
x2<x1
10.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是( )
A.
[4,6]
B.
[﹣1,+1]
C.
[2,2]
D.
[﹣1,+1]
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2014•湖南)复数(i为虚数单位)的实部等于 .
12.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为 .
13.(5分)(2014•湖南)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 .
14.(5分)(2014•湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
15.(5分)(2014•湖南)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .
三、解答题(共6小题,75分)
16.(12分)(2014•湖南)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=+(﹣1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
17.(12分)(2014•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,),(a,b),(,b),(,),(a,b),(a,b),(a,),
(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b)(a,b)
其中a,分别表示甲组研发成功和失败,b,分别表示乙组研发成功和失败.
(Ⅰ)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(Ⅱ)若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
18.(12分)(2014•湖南)如图,已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A、B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.
(Ⅰ)证明:AB⊥平面ODE;
(Ⅱ)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
19.(13分)(2014•湖南)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.
(Ⅰ)求sin∠CED的值;
(Ⅱ)求BE的长.
20.(13分)(2014•湖南)如图,O为坐标原点,双曲线C1:﹣=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得l与C1交于A、B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.
21.(13分)(2014•湖南)已知函数f(x)=xcosx﹣sinx+1(x>0).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.
2014年湖南省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)(2014•湖南)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则¬p为( )
A.
∃x0∈R,x02+1>0
B.
∃x0∈R,x02+1≤0
C.
∃x0∈R,x02+1<0
D.
∀x∈R,x2+1≤0
考点:
命题的否定.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
题设中的命题是一个特称命题,按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项
解答:
解∵命题p:∀x∈R,x2+1>0,是一个特称命题.
∴¬p:∃x0∈R,x02+1≤0.
故选B.
点评:
本题考查特称命题的否定,掌握其中的规律是正确作答的关键.
2.(5分)(2014•湖南)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.
{x|x>2}
B.
{x|x>1}
C.
{x|2<x<3}
D.
{x|1<x<3}
考点:
交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
直接利用交集运算求得答案.
解答:
解:∵A={x|x>2},B={x|1<x<3},
∴A∩B={x|x>2}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}.
故选:C.
点评:
本题考查交集及其运算,是基础的计算题.
3.(5分)(2014•湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则( )
A.
P1=P2<P3
B.
P2=P3<P1
C.
P1=P3<P2
D.
P1=P2=P3
考点:
简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.
解答:
解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,
即P1=P2=P3.
故选:D.
点评:
本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.
4.(5分)(2014•湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是( )
A.
f(x)=
B.
f(x)=x2+1
C.
f(x)=x3
D.
f(x)=2﹣x
考点:
函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出.
解答:
解:只有函数f(x)=,f(x)=x2+1是偶函数,而函数f(x)=x3是奇函数,f(x)=2﹣x不具有奇偶性.
而函数f(x)=,f(x)=x2+1中,只有函数f(x)=在区间(﹣∞,0)上单调递增的.
综上可知:只有A正确.
故选:A.
点评:
本题考查了函数函数的奇偶性和单调性,属于基础题.
5.(5分)(2014•湖南)在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
几何概型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
利用几何槪型的概率公式,求出对应的区间长度,即可得到结论.
解答:
解:在区间[﹣2,3]上随机选取一个数X,
则﹣2≤X≤3,
则X≤1的概率P=,
故选:B.
点评:
本题主要考查几何槪型的概率的计算,求出对应的区间长度是解决本题的关键,比较基础.
6.(5分)(2014•湖南)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切,则m=( )
21
19
9
﹣11
A.
B.
C.
D.
考点:
圆的切线方程.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
化两圆的一般式方程为标准方程,求出圆心和半径,由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
解答:
解:由C1:x2+y2=1,得圆心C1(0,0),半径为1,
由圆C2:x2+y2﹣6x﹣8y+m=0,得(x﹣3)2+(y﹣4)2=25﹣m,
∴圆心C2(3,4),半径为.
∵圆C1与圆C2外切,
∴,
解得:m=9.
故选:C.
点评:
本题考查两圆的位置关系,考查了两圆外切的条件,是基础题.
7.(5分)(2014•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[﹣2,2],则输出的S属于( )
A.
[﹣6,﹣2]
B.
[﹣5,﹣1]
C.
[﹣4,5]
D.
[﹣3,6]
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
算法和程序框图.
分析:
根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论.
解答:
解:若0≤t≤2,则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3,﹣1],
若﹣2≤t<0,则满足条件,此时t=2t2+1∈(1,9],此时不满足条件,输出S=t﹣3∈(﹣2,6],
综上:S=t﹣3∈[﹣3,6],
故选:D
点评:
本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键,比较基础.
8.(5分)(2014•湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
球内接多面体;由三视图求面积、体积;球的体积和表面积.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.
解答:
解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则
8﹣r+6﹣r=,
∴r=2.
故选:B.
点评:
本题考查三视图,考查几何体的内切圆,考查学生的计算能力,属于基础题.
9.(5分)(2014•湖南)若0<x1<x2<1,则( )
A.
﹣>lnx2﹣lnx1
B.
﹣<lnx2﹣lnx1
C.
x2>x1
D.
x2<x1
考点:
对数的运算性质.菁优网版权所有
专题:
导数的综合应用.
分析:
分别设出两个辅助函数f(x)=ex+lnx,g(x)=,由导数判断其在(0,1)上的单调性,结合已知条件0<x1<x2<1得答案.
解答:
解:令f(x)=ex+lnx,
,
当0<x<1时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)上为增函数,
∵0<x1<x2<1,
∴,
即.
由此可知选项A,B不正确.
令g(x)=,
,
当0<x<1时,g′(x)<0.
∴g(x)在(0,1)上为减函数,
∵0<x1<x2<1,
∴,
即.
∴选项C正确而D不正确.
故选:C.
点评:
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了函数构造法,解答此题的关键在于想到构造两个函数,是中档题.
10.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,O为原点,A(﹣1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是( )
A.
[4,6]
B.
[﹣1,+1]
C.
[2,2]
D.
[﹣1,+1]
考点:
向量的加法及其几何意义.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
由于动点D满足||=1,C(3,0),可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出.
解答:
解:∵动点D满足||=1,C(3,0),
∴可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).
又A(﹣1,0),B(0,),
∴++=.
∴|++|===,(其中sinφ=,cosφ=)
∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,
∴=sin(θ+φ)≤=,
∴|++|的取值范围是.
故选:D.
点评:
本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)(2014•湖南)复数(i为虚数单位)的实部等于 ﹣3 .
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
直接由虚数单位i的运算性质化简,则复数的实部可求.
解答:
解:∵=.
∴复数(i为虚数单位)的实部等于﹣3.
故答案为:﹣3.
点评:
本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.
12.(5分)(2014•湖南)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为 x﹣y﹣1=0 .
考点:
直线的参数方程.菁优网版权所有
专题:
选作题;坐标系和参数方程.
分析:
利用两式相减,消去t,从而得到曲线C的普通方程.
解答:
解:∵曲线C:(t为参数),
∴两式相减可得x﹣y﹣1=0.
故答案为:x﹣y﹣1=0.
点评:
本题考查参数方程化成普通方程,应掌握两者的互相转化.
13.(5分)(2014•湖南)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为 7 .
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.
解答:
解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=2x+y,得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C,
直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,
由,解得,即C(3,1),
此时z=2×3+1=7,
故答案为:7.
点评:
本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
14.(5分)(2014•湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=﹣1的距离相等,若机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 k<﹣1或k>1 .
考点:
抛物线的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由抛物线的定义,求出机器人的轨迹方程,过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),代入y2=4x,利用判别式,即可求出k的取值范围.
解答:
解:由抛物线的定义可知,机器人的轨迹方程为y2=4x,
过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),
代入y2=4x,可得k2x2+(2k2﹣4)x+k2=0,
∵机器人接触不到过点P(﹣1,0)且斜率为k的直线,
∴△=(2k2﹣4)2﹣4k4<0,
∴k<﹣1或k>1.
故答案为:k<﹣1或k>1.
点评:
本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
15.(5分)(2014•湖南)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= ﹣ .
考点:
函数奇偶性的性质.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据函数奇偶性的定义,建立方程关系即可得到结论.
解答:
解:若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,
则f(﹣x)=f(x),
即ln(e3x+1)+ax=ln(e﹣3x+1)﹣ax,
即2ax=ln(e﹣3x+1)﹣ln(e3x+1)=ln
=lne﹣3x=﹣3x,
即2a=﹣3,解得a=﹣,
故答案为:﹣,
点评:
本题主要考查函数奇偶性的应用,根据偶函数的定义得到f(﹣x)=f(x)是解决本题的关键.
三、解答题(共6小题,75分)
16.(12分)(2014•湖南)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=+(﹣1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
考点:
数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)利用公式法即可求得;
(Ⅱ)利用数列分组求和即可得出结论.
解答:
解:(Ⅰ)当n=1时,a1=s1=1,
当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=﹣
=n,
∴数列{an}的通项公式是an=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n+(﹣1)nn,记数列{bn}的前2n项和为T2n,则
T2n=(21+22+…+22n)+(﹣1+2﹣3+4﹣…+2n)
=+n=22n+1+n﹣2.
∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2.
点评:
本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法,考查学生的运算能力,属中档题.
17.(12分)(2014•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,),(a,b),(,b),(,),(a,b),(a,b),(a,),
(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b)(a,b)
其中a,分别表示甲组研发成功和失败,b,分别表示乙组研发成功和失败.
(Ⅰ)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(Ⅱ)若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
考点:
模拟方法估计概率;极差、方差与标准差.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
(Ⅰ)分别求出甲乙的研发成绩,再根据平均数和方差公式计算平均数,方差,最后比较即可.
(Ⅱ)找15个结果中,找到恰有一组研发成功的结果是7个,求出频率,将频率视为概率,问题得以解决.
解答:
解:(Ⅰ)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
则=,
==
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1则=,
==.
因为
所以甲的研发水平高于乙的研发水平.
(Ⅱ)记E={恰有一组研发成功},在所抽到的15个结果中,
恰有一组研发成功的结果是(a,),(,b),(a,),(,b),(a,),(a,),(,b)共7个,
故事件E发生的频率为,
将频率视为概率,即恰有一组研发成功的概率为P(E)=.
点评:
本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率,培养的学生的运算能力.
18.(12分)(2014•湖南)如图,已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A、B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.
(Ⅰ)证明:AB⊥平面ODE;
(Ⅱ)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
考点:
异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定.菁优网版权所有
专题:
计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(Ⅰ)运用直线与平面垂直的判定定理,即可证得,注意平面内的相交二直线;
(Ⅱ)根据异面直线的定义,找出所成的角为∠ADO,说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角,不妨设AB=2,从而求出OD的长,再在直角三角形AOD中,求出cos∠ADO.
解答:
(1)证明:如图
∵DO⊥面α,AB⊂α,∴DO⊥AB,
连接BD,由题设知,△ABD是正三角形,
又E是AB的中点,∴DE⊥AB,又DO∩DE=D,
∴AB⊥平面ODE;
(Ⅱ)解:∵BC∥AD,
∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角,
由(Ⅰ)知,AB⊥平面ODE,
∴AB⊥OE,又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角,
从而∠DEO=60°,不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=,
在Rt△DOE中,DO=DEsin60°=,连AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO==,
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
点评:
本题主要考查线面垂直的判定,以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算,是一道基础题.
19.(13分)(2014•湖南)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.
(Ⅰ)求sin∠CED的值;
(Ⅱ)求BE的长.
考点:
余弦定理的应用;正弦定理.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
(Ⅰ)根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.
(Ⅱ)利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论.
解答:
解:(Ⅰ)设α=∠CED,
在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE,
即7=CD2+1+CD,则CD2+CD﹣6=0,
解得CD=2或CD=﹣3,(舍去),
在△CDE中,由正弦定理得,
则sinα=,
即sin∠CED=.
(Ⅱ)由题设知0<α<
,由(Ⅰ)知cosα=,
而∠AEB=,
∴cos∠AEB=cos()=coscosα+sinsinα=,
在Rt△EAB中,cos∠AEB=,
故BE=.
点评:
本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.
20.(13分)(2014•湖南)如图,O为坐标原点,双曲线C1:﹣=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得l与C1交于A、B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(Ⅰ)由条件可得a1=1,c2=1,根据点P(,1)在上求得=3,可得双曲线C1的方程.再由椭圆的定义求得a2=,可得=﹣的值,从而求得椭圆C2的方程.
(Ⅱ)若直线l垂直于x轴,检验部不满足|+|≠||.若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为 y=kx+m,由 可得y1•y2=.由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,根据判别式△=0,求得2k2=m2﹣3,可得≠0,可得|+|≠||.综合(1)、(2)可得结论.
解答:
解:(Ⅰ)设椭圆C2的焦距为2c2
,由题意可得2a1=2,∴a1=1,c2=1.
由于点P(,1)在上,∴﹣=1,=3,
∴双曲线C1的方程为:x2﹣=1.
再由椭圆的定义可得 2a2=+=2,∴a2=,
∴=﹣=2,∴椭圆C2的方程为:+=1.
(Ⅱ)不存在满足条件的直线l.
(1)若直线l垂直于x轴,则由题意可得直线l得方程为x=,或 x=﹣.
当x=时,可得 A(,)、B(,﹣),求得||=2,||=2,
显然,|+|≠||.
同理,当x=﹣时,也有|+|≠||.
(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为 y=kx+m,由 可得
(3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1•x2=
.
于是,y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.
由 可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,
∴判别式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3.
∴=x1•x2+y1•y2=≠0,∴≠,
∴|+|≠|
|.
综合(1)、(2)可得,不存在满足条件的直线l.
点评:
本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
21.(13分)(2014•湖南)已知函数f(x)=xcosx﹣sinx+1(x>0).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
导数的综合应用.
分析:
(Ⅰ)求函数的导数,利用导数研究f(x)的单调区间;
(Ⅱ)利用放缩法即可证明不等式即可.
解答:
解:(Ⅰ)∵f(x)=xcosx﹣sinx+1(x>0),
∴f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,
由f′(x)=﹣xsinx=0,解得x=kπ(k∈N*),
当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),sinx>0,此时f′(x)<0,函数单调递减,
当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N),sinx<0,此时f′(x)>0,函数单调递增,
故f(x)的单调增区间为((2k+1)π,(2k+2)π),k≥0,单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π),k≥0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在区间(0,π)上单调递减,
又f()=0,故x1=,
当n∈N*,
∵f(nπ)f((n+1)π)=[(﹣1)nnπ+1][(﹣1)n+1(n+1)π+1]<0,
且函数f(x)的图象是连续不间断的,
∴f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点,
又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)是单调的,
故nπ<xn+1<(n+1)π,
因此当n=1时,有=<成立.
当n=2时,有+<<.
当n≥3时,
…
++…+<
[][]
(6﹣)<.
综上证明:对一切n∈N*,有++…+<.
点评:
本题主要考查函数单调性的判定和证明,以及利用导数和不等式的综合,利用放缩法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大.
参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;sxs123;maths;孙佑中;刘长柏;liu老师;whgcn;双曲线;caoqz(排名不分先后)
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2015年5月20日