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- 2021-05-13 发布
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轨迹方程的经典求法
一、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程.
例2:在中,上的两条中线长度之和为39,求的重心的轨迹方程.
解:以线段所在直线为轴,线段的中垂线为轴建立直角坐标系,如图1,为重心,则有.
点的轨迹是以为焦点的椭圆,
其中..
所求的重心的轨迹方程为.
二、直接法:直接根据等量关系式建立方程.
例1:已知点,动点满足,则点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析:由题知,,由,得,即,
点轨迹为抛物线.故选D.
三、代入法:此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
例3:已知△ABC的顶点,顶点在抛物线上运动,求的重心的轨迹方程.
解:设,,由重心公式,得
又在抛物线上,. ③
将①,②代入③,得,即所求曲线方程是.
四、待定系数法:当曲线的形状已知时,一般可用待定系数法解决.
例5:已知A,B,D三点不在一条直线上,且,,,.
(1)求点轨迹方程;
(2)过作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求椭圆方程.
解:(1)设,由知为中点,易知.
又,则. 即点轨迹方程为;
(2)设,中点.
由题意设椭圆方程为,直线方程为.
直线与点的轨迹相切,,解得.
将代入椭圆方程并整理,得,,
又由题意知,即,解得.故所求的椭圆方程为.
五、参数法:如果不易直接找出动点坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数),把,联系起来
例4:已知线段,直线垂直平分于,在上取两点,使其满足,求直线与的交点的轨迹方程.
解:如图2,以线段所在直线为轴,以线段的中垂线为轴建立直角坐标系.
设点,
则由题意,得.
由点斜式得直线的方程分别为.
两式相乘,消去,得.这就是所求点M的轨迹方程.
评析:参数法求轨迹方程,关键有两点:一是选参,容易表示出动点;二是消参,消参的途径灵活多变.
配套训练
一、选择题
1. 已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题
3. △ABC中,A为动点,B、C为定点,B(-,0),C(,0),且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A
的轨迹方程为_________.
4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10 m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(-5,0)、B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
三、解答题
5. 已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.
6. 双曲线=1的实轴为A1A2,点P是双曲线上的一个动点,引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q与A2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.
7. 已知双曲线=1(m>0,n>0)的顶点为A1、A2,与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.
(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程;
(2)当m≠n时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
8.已知椭圆=1(a>b>0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.
(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;
(2)设点R形成的曲线为C,直线l:y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点,当△AOB的面积取得最大值时,求k的值.
参考答案
配套训练
一、1.解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
答案:A
2.解析:设交点P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)
∵A1、P1、P共线,∴∵A2、P2、P共线,∴
解得x0=
答案:C
二、3.解析:由sinC-sinB=sinA,得c-b=a,
∴应为双曲线一支,且实轴长为,故方程为.
答案:
4.解析:设P(x,y),依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2-85x+100=0.
答案:4x2+4y2-85x+100=0
三、5.解:设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)
6.解:设P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y).∵A1(-a,0),A2(a,0).
由条件
而点P(x0,y0)在双曲线上,∴b2x02-a2y02=a2b2,即b2(-x2)-a2()2=a2b2
化简得Q点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=a4(x≠±a).
7.解:(1)设P点的坐标为(x1,y1),则Q点坐标为(x1,-y1),又有A1(-m,0),A2(m,0),
则A1P的方程为:y= ①
A2Q的方程为:y=- ②
①×②得:y2=- ③
又因点P在双曲线上,故
代入③并整理得=1.此即为M的轨迹方程.
(2)当m≠n时,M的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m>n时,焦点坐标为(±,0),准线方程为x=±,离心率e=;
(ⅱ)当m<n时,焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.
8.解:(1)∵点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,
∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|
又因为l为∠F1PF2外角的平分线,故点F1、P、Q在同一直线上,设存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0).
|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
又
得x1=2x0-c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2.
故R的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0)
(2)如右图,∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB
当∠AOB=90°时,S△AOB最大值为a2.
此时弦心距|OC|=.
在Rt△AOC中,∠AOC=45°,