高考数学复习精编单元测试题—平面向量与解三角形 9页

辽宁名校2011届高三数学单元测试—平面向量与解三角形 注意事项：‎ ‎1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．‎ ‎3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．下列说法中正确的是 （ ）‎ ‎ A．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内； ‎ ‎ B．长度相等的向量叫做相等向量； ‎ ‎ C．零向量的长度为零； ‎ ‎ D．共线向量的夹角为．‎ ‎2．已知a，b，则a·b的解集是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．如果a=(1,x)，b=(-1,3)，且（2a+b）∥（a-2b），则x= （ ）‎ ‎ A．－3 B．3 C． D． ‎ ‎4．已知a，b，若（2a-b）⊥b，则的值为 （ ）‎ ‎ A． B．3 C．1或3 D．或3 ‎ ‎5．在△ABC中，若 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．e1、e2是平面内不共线的两向量，已知e1-ke2，2e1+e2，3e1-e2，若三点共线，则的值是 （ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎7．在中,,则的值为 （ ）‎ ‎ A．10 B．20 C．－10 D．20 ‎ ‎8．在△中，若，则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．在△ABC中，若则△ABC的形状是 （ ）‎ ‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎10．下列说法中错误的是 （ ）‎ ‎①，则或；②；③.‎ ‎ A．①、② B．①、③ C．②、③ D．①、②、③ ‎ ‎11．在△ABC中，若∠C=60°，则= （ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 （ ）‎ ‎ A. 6 B．2 C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．‎ ‎13．向量,则与平行的单位向量的坐标为 ．‎ ‎14．设p = (2,7)，q = (x,-3)，若p与q的夹角，则x的取值范围是 .‎ ‎15．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为 .‎ ‎16．地面上画了一个60°的角ÐBDA，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达ÐBDA的另一边BD上的一点，我们将该点就记为点B，则B与D之间的距离为 米.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 设向量 ‎ ‎ （1）若与垂直，求的值； ‎ ‎ （2）求的最大值; ‎ ‎ （3）若，求证：∥.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△中，所对的边分别为，，．‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）若，求,，．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知等腰直角三角形中，AC、BD为中线，求与夹角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足，记；‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调区间．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知△ABC中，（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB， ‎ ‎（1）求∠C； （2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知向量m＝（，），n＝(，)，记f(x)=m•n；‎ ‎ （1）若f(x)=1,求的值；‎ ‎ （2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函 ‎ 数f(A)的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．C；解析：共面向量就是平行向量，故A是错的；‎ 相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B是错的；‎ 根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D是错的；‎ ‎∴正确的只有C．‎ ‎2．C；解析：∵a·b， ∴a·b的解集是.‎ ‎3．A；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a-2b=(3,x-6)；‎ 又2a+b∥a-2b，∴1×(x-6)-(2x+3)×3=0，解得x= -3．‎ ‎4．D；解析：由a，b，得2a-b；‎ ‎ ∵2a-b⊥b， ∴（2a-b）·b=0，即，解得．‎ ‎5. C；解析：．‎ ‎6． B；解析：∵三点共线， ∴与共线， ∴存在实数，使得；‎ ‎ ∵3e1 -e2 -（2e1+e2）= e1 -2e2， ∴e1-ke2e1 -2e2，‎ ‎ ∵e1、e2是平面内不共线的两向量， ∴ 解得.‎ ‎7． D；解析：由题意可知的夹角为,‎ ‎∴=.‎ ‎8．C；解析：或．‎ ‎9．B；解析：；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴或，得或；∴△ABC是直角三角形． ‎ ‎10．D；解析：∵时, ,∴当时不能得出或；‎ ‎∴①是错误的. ‎ ‎∵是数量,所以为一个向量,并且此向量与共线；虽然也是一个向量,但它与共线；‎ ‎∴不一定与相等；∴②是错误的.‎ ‎∵，（为与的夹角）；‎ ‎∴当且仅当时, 才成立；∴③是错误的.‎ ‎∴本题三种说法均不正确.‎ ‎11．A；解析：==（*）， ‎ ‎∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1‎ ‎12．D；解析：，所以.‎ 二、填空题 ‎ ‎13．；解析：因为||=,故所求的单位向量为 ‎ ． ‎ ‎14．(,+∞)； 解析： p与q的夹角Û p•q>0Û2x-21>0Û，‎ 即xÎ(,+∞). ‎ ‎15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设，‎ 则由…………①，‎ 而又由得…………②，‎ 由①②联立得.‎ ‎.‎ ‎16．16；解析：记拐弯处为点A，则已知即为△ABD中，AD=10, AB=14, ÐBDA=60°；‎ 设BD=x，则， ‎ 即，整理得，‎ 解得，（舍去）；∴BD=16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）∵b－2c，且a与b－2c垂直，‎ ‎ ∴，‎ 即，‎ ‎∴， ∴. （…………4分）‎ ‎（2）∵b+c，‎ ‎∴︱b+c︱‎ ‎，‎ ‎∴当时，︱b+c︱取最大值，且最大值为. （……8分）‎ ‎（3）∵，∴，即，‎ ‎ ∴，即a与b共 ‎ 线，∴a∥b. （…………12分）‎ ‎18．解：（1）由 得 ，‎ ‎ 则有 =，‎ ‎ 解得， 即. （…………6分）‎ ‎（2） 由 推出 ；而,‎ ‎∴, 则有 ， 解得 . （……12分）‎ ‎19．解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，（）；（……3分）‎ ‎∴, （…………6分）‎ ‎∵与的夹角为，‎ ‎∴=，‎ 即与夹角的余弦值为． （…………12分）‎ ‎20．解:（1）∵ ，且A、B、C是直线上的不同三点，‎ ‎ ∴， ∴； （…………6分）‎ ‎ （2）∵，∴，（…………8分）‎ ‎ ∵的定义域为，而在上恒正，‎ ‎ ∴在上为增函数，即的单调增区间为．（……12分）‎ ‎21．解：（1）由（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，得（a－c）（a +c）=（a－b）b，‎ ‎∴a2－c2=ab－b2，∴a2+b2－c2=ab，∴cosC== （…………4分）‎ 又∵0°＜C＜180°，∴C=60° （…………6分）‎ ‎（2）S=absinC=×ab=4sinAsinB=4sinAsin（120°－A）‎ ‎=4sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=6sinAcosA+2sin2A ‎=3sin2A－cos2A+=2sin（2A－30°）+ （…………10分）‎ ‎∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=3 （…………12分）‎ ‎22．解：（1）f(x)=m•n===，‎ ‎ ∵f(x)=1， ∴， （…………4分）‎ ‎ ∴=． （…………6分）‎ ‎ （2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得，‎ ‎ ∴，∴，‎ ‎∵，∴，且，‎ ‎∴ ∴； （…………10分）‎ ‎∴， ∴ ∴ ；‎ 又∵f(x)＝，∴f(A)=，（…………12分）‎ 故函数f(A)的取值范围是（1,）． （…………14分）‎