精讲精练 高考递推数列题型分类专项训练 3份 8页

精讲精练:高考递推数列题型分类训练 ‎ ‎ 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。‎ 类型1 ‎ ‎ 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。‎ 例1. 已知数列满足，，求。‎ 变式: 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….‎ ‎（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.‎ 类型2 ‎ ‎ 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。‎ 例1:已知数列满足，，求。‎ 例2:已知， ，求。‎ 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 ‎ 类型3 （其中p，q均为常数，）。‎ 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。‎ 例:已知数列中，，，求.‎ 变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________‎ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）‎ 已知数列满足 ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ 类型4 （其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）。‎ 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。‎ 例:已知数列中，,，求。‎ 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）‎ 设数列的前项的和，‎ ‎（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：‎ 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。‎ 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。‎ 解法一（待定系数——迭加法）:‎ 数列：， ，求数列的通项公式。‎ 例:已知数列中，,,，求。‎ 变式:‎ ‎1.已知数列满足 ‎（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；‎ ‎（III）若数列满足证明是等差数列 ‎ ‎2.已知数列中，,,，求 ‎3.已知数列中，是其前项和，并且，‎ ‎⑴设数列，求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。‎ 类型6 递推公式为与的关系式。(或)‎ 解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。‎ 例：已知数列前n项和.‎ ‎（1）求与的关系；（2）求通项公式.‎ ‎（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：‎ 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)‎ ‎ 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an ‎ 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）‎ 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.‎ 类型7 ‎ 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。‎ 例:设数列：，求.‎ 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）‎ 已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… ‎ ‎(Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 ‎(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.‎ 类型8 ‎ 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。‎ 例：已知数列｛｝中，，求数列 变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）‎ 已知数列 ‎（1）证明 （2）求数列的通项公式an.‎ 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）‎ 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…‎ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；‎ （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；‎ 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 ‎ 类型9 ‎ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。‎ 例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。‎ 变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）‎ ‎1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝‎ （1） 求数列｛an｝的通项公式；‎ （2） 证明：对于一切正整数n，不等式a‎1·a2·……an<2·n！‎ ‎2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。‎ ‎3、已知数列{}满足时，，求通项公式。‎ ‎4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。‎ ‎5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a． ‎ 类型10 ‎ 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。‎ 例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. ‎ 例：已知数列满足：对于都有 （1） 若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？‎ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）‎ 数列记 ‎（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和 类型11 或 解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。‎ 例：（I）在数列中，，求 ‎ ‎（II）在数列中，，求 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法 变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）‎ 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…‎ ‎（Ⅰ）求a1，a2；‎ ‎（Ⅱ）｛an｝的通项公式 ‎ 类型13双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。‎ 例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.‎ 类型14周期型 ‎ 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。‎ 例：若数列满足，若，则的值为___________。‎ 变式:（2005，湖南,文，5）‎ 已知数列满足，则= （ ）‎ ‎ A．0 B． C． D．‎