高考全国卷理科数学试卷 5页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、 选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 设，则 A.0 B. C.1 D.‎ 2. 已知集合，则 A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎ 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4.记为等差数列的前项和，若，，则 A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ ‎5.设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.‎ ‎6.在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D.‎ A B ‎7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A. B. C.3 D.2‎ ‎8.设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎9.已知函数，若存在2个零点，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为，则 C B A A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为。若为直角三角形，则 A. B.3 C. D.4‎ ‎12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.若满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎14.记为数列的前项和，若，则 .‎ ‎15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 ‎ 种.（用数字填写答案）‎ ‎16.已知函数，则的最小值是 .‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 在平面四边形中,‎ （1） 求；‎ （2） 若，求.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：;‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ ‎20.（12分）‎ ‎ 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。‎ ‎（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；‎ ‎（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元。若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。‎ ‎（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；‎ ‎（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎21.（12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程。‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围