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  • 2021-05-13 发布

高考专题总结排列组合题型

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总结排列组合题型 ‎ 一. 直接法 1. 特殊元素法 例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 ‎(1)数字1不排在个位和千位 ‎ (2)数字1不在个位,数字6不在千位。‎ 分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理:=240‎ ‎2.特殊位置法 ‎(2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有=192所以总共有192+60=252‎ 二. 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法=252‎ 例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书?‎ ‎ 分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,其中0在百位的有个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432(个)‎ 三. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。‎ ‎ 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?‎ ‎ 分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有=100中插入方法。‎ 四. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。‎ 例4 ‎4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?‎ 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排法,又乘法原理满足条件的排法有:×=576‎ 练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 ‎ 种()‎ 1. 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有()(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列)‎ 二. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。‎ 分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有种 练习1.(a+b+c+d)15有多少项?‎ ‎ 当项中只有一个字母时,有种(即a.b.c.d而指数只有15故。‎ 当项中有2个字母时,有而指数和为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即 当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可 当项种4个字母都在时 四者都相加即可.‎ 练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号数,问有多少种不同的方法?()‎ ‎3.不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有()‎ 三. 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?‎ ‎ 分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4),(a5,a6)由顺序不同可以有=6种,而这6种分法只算一种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法?‎ ‎2.某年级6个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。‎ 四. 合并单元格解决染色问题 例7 (全国卷(文、理))如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。‎ ‎ 分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5.‎ ‎ 下面分情况讨论:‎ ‎ (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数 ‎ (ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法.‎ ‎(ⅲ)当2、4与3、5分别同色时,将2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格 ‎ ‎ ①‎ 从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有种方法.‎ ‎ 由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)‎ 练习1(天津卷(文))将3种作物种植 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , ‎ 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)‎ ‎2.(江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种(以数字作答).(120)‎ 图3 图4‎ ‎3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)‎ ‎4.如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)‎ 图5 图6‎ ‎5.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共 种(420) ‎ 一. 递推法 例八 一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同的走法?‎ 分析:设上n级楼梯的走法为an种,易知a1=1,a2=2,当n≥2时,上n级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级,有an-1种走法,第二类是最后一步跨两级,有an-2种走法,由加法原理知:an=an-1+ an-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。‎ 九.几何问题 ‎ 1.四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有 种(3+3=33)‎ ‎2.四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面?‎ ‎(-4+4-3+3‎-6C+6+2×6=29)‎ ‎ (2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥? 三棱锥 C104‎-4C64‎-6C44‎-3C44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114‎ 十. 先选后排法 例9 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选派方法有( )‎ A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种 分析:先从10人中选出2人 十一.用转换法解排列组合问题 例10.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种.‎ 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20种 例11. 个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟不同的带法.‎ 解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种 例12 从1,2,3,…,1000个自然数中任取10个不连续的自然数,有多少种不同的去法.‎ 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。‎ 例13 ‎ 某城市街道呈棋盘形,南北向大街5条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.‎ 解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.=35(种)‎ 例13 ‎ 一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同的走法.‎ 解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.=924(种).‎ 例14 ‎ 求(a+b+c)10的展开式的项数.‎ 解 展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题.=66(种)‎ 例15 ‎ 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?‎ 解 设亚洲队队员为a1,a2,…,a5,欧洲队队员为b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为=252(种)‎ 十二.转化命题法 例16 圆周上共有15个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各?‎ 分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有=1365(个)‎ 十三.概率法 例17 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法?‎ 分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为,故本例所求的排法种数就是所有排法的,即A=360种 十四.除序法 例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,‎ ‎(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个?‎ ‎(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个? ‎ 解(1)(2)‎ 十五.错位排列 例20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方法有 种(9)‎ 公式 1) n=4时a4=3(a3+a2)=9种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.‎ ‎2)=n!(1-+-+…+‎ 练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?(44)‎ 排列与组合的区别 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.下面通过实例来体会排列与组合的区别. ‎ ‎【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数. ‎ ‎(1) 高二年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手? ‎ ‎(2) 高二数学课外活动小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? ‎ ‎(3) 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数:①从中任取两个数求它们的商,可以有多少个不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? ‎ ‎(4) 有8盆花:①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? ‎ ‎【思考与分析】 (1) ①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关,是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析. ‎ 解: (1) ①是排列问题,共通了=110(封);②是组合问题,共需握手==55(次) ‎ ‎(2) ①是排列问题,共有=10×9=90(种)不同的选法;②是组合问题,共=45(种)不同的选法; ‎ ‎(3) ①是排列问题,共有=8×7=56(个)不同的商;②是组合问题,共有=28(个)不同的积; (4) ‎ ‎①是排列问题,共有=56(种)不同的选法;②是组合问题,共有=28(种)不同的选法. ( 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 )‎