高考数学试题分类汇编10——数列 21页

十、数列 一、选择题 ‎1．（天津理4）已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为 的前项和，，则的值为 ‎ A．-110 　　 B．-90 　　 ‎ ‎ C．90 　 D．110‎ ‎【答案】D ‎2．（四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则 ‎ A．0 B．‎3 ‎ C．8 D．11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知知由叠加法 ‎3．（四川理11）已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则 ‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,在上，‎ ‎4．（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 ‎ A．是等比数列。 ‎ ‎ B．或是等比数列。‎ ‎ C．和均是等比数列。‎ ‎ D．和均是等比数列，且公比相同。‎ ‎【答案】D ‎5．（全国大纲理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ A．8 B．‎7 ‎ C．6 D．5‎ ‎【答案】D ‎6．（江西理5） 已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=‎ ‎ A．1 B．‎9 ‎ C．10 D．55‎ ‎【答案】A ‎7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：‎ ‎ ①△ABC一定是钝角三角形 ‎ ‎ ②△ABC可能是直角三角形 ‎ ③△ABC可能是等腰三角形 ‎ ‎ ④△ABC不可能是等腰三角形 ‎ 其中，正确的判断是 ‎ A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎8．（湖南理12）设是等差数列，的前项和，且，‎ 则= ．‎ ‎【答案】25‎ ‎9．（重庆理11）在等差数列中，，则__________‎ ‎【答案】74‎ ‎10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；____________。—2 ‎ ‎【答案】‎ ‎11．（安徽理14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的 ‎ 等差数列，则的面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为‎3升，下面3节的容积共‎4升，则第5节的容积为 升。‎ ‎【答案】‎ ‎13．（广东理11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎14．（江苏13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数都成立 ‎ （1）设的值；‎ ‎ （2）设的通项公式 本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。‎ ‎ 解：（1）由题设知，当，‎ ‎ 即，‎ ‎ 从而 ‎ 所以的值为8。‎ ‎ （2）由题设知，当 ‎ ，‎ ‎ 两式相减得 ‎ 所以当成等差数列，且也成等差数 列 ‎ 从而当时， （*）‎ ‎ 且，‎ ‎ 即成等差数列，‎ ‎ 从而，‎ ‎ 故由（*）式知 ‎ 当时，设 ‎ 当，从而由（*）式知 ‎ 故 ‎ 从而，于是 ‎ 因此，对任意都成立，又由可知，‎ ‎ 解得 ‎ 因此，数列为等差数列，由 ‎ 所以数列的通项公式为 ‎16．（安徽理18）‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.‎ ‎ 解：（I）设构成等比数列，其中则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①×②并利用 ‎ ‎ ‎ （II）由题意和（I）中计算结果，知 ‎ 另一方面，利用 ‎ 得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎17．（北京理20）‎ ‎ 若数列满足，数列为数列，记=．‎ ‎ （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；‎ ‎ （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎ （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.‎ 充分性，由于a2000—a1000≤1，‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ ‎ 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.‎ ‎ 又因为a1=12，a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上，结论得证。‎ ‎ （Ⅲ）令 ‎ 因为 ‎ ……‎ ‎ ‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时，有 当的项满足，‎ 当不能被4整除，此时不存在E数列An，‎ 使得 ‎18．（福建理16） ‎ 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ 本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。‎ ‎ 解：（I）由 解得 所以 ‎（II）由（I）可知 因为函数的最大值为3，所以A=3。‎ 因为当时取得最大值，‎ 所以 又 所以函数的解析式为 ‎19．（广东理20） ‎ ‎ 设b>0,数列满足a1=b，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ 解：‎ ‎ （1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，‎ ‎ ‎ ‎ ②当 ‎ ‎ ‎ （2）当时，（欲证）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎20．（湖北理19）‎ 已知数列的前项和为，且满足：，N*，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分）‎ ‎ 解：（I）由已知可得，两式相减可得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又所以r=0时，‎ ‎ 数列为：a，0，…，0，…；‎ ‎ 当时，由已知（），‎ ‎ 于是由可得，‎ ‎ 成等比数列，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上，数列的通项公式为 ‎ （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下：‎ ‎ 当r=0时，由（I）知，‎ ‎ 对于任意的，且成等差数列，‎ ‎ 当，时，‎ ‎ ‎ ‎ 若存在，使得成等差数列，‎ ‎ 则，‎ ‎ ‎ ‎ 由（I）知，的公比，于是 ‎ 对于任意的，且 ‎ 成等差数列，‎ ‎ 综上，对于任意的，且成等差数列。‎ ‎21．（辽宁理17） ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前n项和．‎ 解：‎ ‎ （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 综上，数列 ………………12分 ‎22．（全国大纲理20） ‎ 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 解：‎ ‎ （I）由题设 ‎ 即是公差为1的等差数列。‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ （II）由（I）得 ‎ ， …………8分 ‎ …………12分 ‎23．（全国新课标理17） ‎ 已知等比数列的各项均为正数，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式．‎ ‎（II）设，求数列的前n项和．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．‎ 由条件可知c>0，故．‎ 由得，所以．‎ 故数列{an}的通项式为an=．‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎24．（山东理20） ‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和．‎ 解：（I）当时，不合题意；‎ 当时，当且仅当时，符合题意；‎ 当时，不合题意。‎ 因此 所以公式q=3，‎ 故 ‎ （II）因为 所以 ‎ 所以 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 综上所述，‎ ‎25．（上海理22） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ‎。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；‎ ‎（3）求数列的通项公式。‎ 解：⑴ ；‎ ‎⑵ ① 任意，设，则，即 ‎② 假设（矛盾），∴ ‎ ‎∴ 在数列中．但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶ ，‎ ‎，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 当时，依次有，……‎ ‎∴ 。‎ ‎26．（四川理20） ‎ ‎ 设为非零实数，‎ ‎（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和．‎ 解析：（1）‎ 因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）‎ ‎（2）（1）‎ ‎27．（天津理20） ‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设证明：．‎ 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎ （I）解：由 ‎ 可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得，‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎28．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，，成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式及 ‎（2）记，，当时，试比较与的大小．‎ 本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分14分。‎ ‎ （I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 ‎（II）解：因为，所以 因为，所以 当，‎ 即 所以，当 当 ‎29．（重庆理21） ‎ 设实数数列的前n项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 ‎ ‎ ‎ （I）解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此