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  • 2021-05-13 发布

高考试题圆锥曲线导数解析几何解析分类汇编

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‎2013高考试题解析分类汇编:圆锥曲线 一、选择题 .1(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 (  )‎ A.B.C.D. 的顶点坐标为,渐近线为,即.带入点到直线距离公式.2(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 (  )‎ A.B.C.D.=. B;依题意,,所以,从而,,故选B.‎ 3.(2013年高考新课标1(理))已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 (  )‎ A.B.C.D.‎ 已知双曲线C:的离心率为,故有=,‎ 所以=,解得 =.故C的渐近线方程为 ,故选C.‎ 本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中,,所以 ‎,离心率为。中,,所以。离心率为,所以两个双曲线有相同的离心率,选D.‎ 4.(2013年高考四川卷(理))抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 (  )‎ A.B.C.D. B ‎ 因为抛物线方程为y2=4x。所以2p=4,可得=1,抛物线的焦点F(1,0)‎ 又因为双曲线的方程为所以a2=1且b2=3,可得a=1且b=,‎ 双曲线的渐近线方程为y=±,即y=±x,化成一般式得:.‎ 因此,抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==。‎ 故选:B 5.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 O x y A B F1‎ F2‎ ‎(第9题图)‎ ‎ (  )‎ A.B.C.D. D ‎ 设|AF1|=x,|AF2|=y,因为点A为椭圆C1:+y2=1上的点,‎ 所以2a=4,b=1,c=;‎ 所以|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4;①‎ 又四边形AF1BF2为矩形,‎ 所以+=,即x2+y2=(2c)2==12,②‎ 由①②得:,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2a,焦距为2c,则2a=,|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2c=2=2,‎ 所以双曲线C2的离心率e===.故选D.‎ 6.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = (  )‎ A.1 B.C.2 D.3‎ C 双曲线的渐近线为,抛物线的准线方程为。当时,,所以三角形△AOB的面积为,即,又双曲线的离心率为2,所以,即,即,所以,即,所以,选C.‎ 7.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 (  )‎ A.B.C.D. B 由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).‎ 设P(x0,y0)(x0≠±2),则,得.‎ 因为=,=,‎ 所以==,‎ 因为,‎ 所以,解得.‎ 故选B.‎ ‎8.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则 (  )‎ A.B.C.D. D 由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0),‎ 由题意可知:斜率k≠0,设直线AB为my=x﹣2,其中.‎ 联立,得到y2﹣8my﹣16=0,△>0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).所以y1+y2=8m,y1y2=﹣16.‎ 又,,‎ 所以=(x1+2)(x2+2)+(y1﹣2)(y2﹣2)=(my1+4)(my2+4)+(y1﹣2)(y2﹣2)‎ ‎=(m2+1)y1y2+(4m﹣2)(y1+y2)+20=﹣16(m2+1)+(4m﹣2)×8m+20=4(2m﹣1)2‎ 由4(2m﹣1)2=0,解得.所以.故选D ‎9.(2013年高考北京卷(理))若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 (  )‎ A.y=±2xB.y=C.D. B ‎ 由双曲线的离心率,可知c=a,又a2+b2=c2,所以b=a,‎ 所以双曲线的渐近线方程为:y==±x.选B.‎ .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 (  )‎ A.B.C.D. D 经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.,所以在处的切线斜率为,即,所以,即三点,,共线,所以,即,选D.‎ ‎10.(2013年高考新课标1(理))已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 (  )‎ A. B.C.D. ‎2013导数各省高考题 ‎2013辽宁(12)设函数( D )(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值 ‎2013湖南5. 函数的图像与的图像的交点个数为( B )‎ ‎2013湖南12.若,则常数的值为。‎ ‎2013江西6.若则的大小关系为( B )‎ A. B.C. D. ‎2013江西13设函数在内可导,且,则 ‎2013全国大纲(9)若函数 ‎(A)(B)(C)(D) ‎2013新课标11、已知函数=,若||≥,则的取值范围是( D ) ...[-2,1] .[-2,0]‎ ‎2013湖北10、已知为常数,函数有两个极值点,则( D )A. B. ‎ C. D. ‎2013江苏9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) .若点是区域内的任意一点,则的取值范围是.【答案】 [—2,]‎ ‎2013浙江8.已知为自然对数的底数,设函数,则 ‎ A.当时,在处取到极小值 B.当时,在处取到极大值 C.当时,在处取到极小值 D.当时,在处取到极大值 ‎1.(2013广东.理)(14分)设函数(其中).‎ ‎(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间;(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 当时, ‎ ‎,‎ ‎ 令,得,‎ ‎ 当变化时,的变化如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.‎ ‎ (Ⅱ),‎ 令,得,,‎ 令,则,所以在上递增,‎ 所以,从而,所以 所以当时,;当时,;‎ 所以 令,则,‎ 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,,‎ 当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.‎ 综上,函数在上的最大值.‎ ‎2.(本小题满分14分)(2013广东文)‎ 设函数.‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.‎ ‎【解析】: ‎(1)当时 ,在上单调递增.‎ ‎(2)当时,,其开口向上,对称轴 ,且过 ‎-k k k ‎(i)当,即时,,在上单调递增,‎ 从而当时, 取得最小值 ,‎ 当时, 取得最大值.‎ ‎(ii)当,即时,令 解得:,注意到,‎ ‎(注:可用韦达定理判断,,从而 ‎;或者由对称结合图像判断)‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2(2)当时,对,都有,故 故,而 , 所以 , ‎3(本小题共13分)(2013北京.理)‎ 设为曲线在点处的切线.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)证明:除切点之外,曲线在直线的下方.‎ 解:(I),所以的斜率 所以的方程为 ‎(II)证明:令 则 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又 时,,即 时,,即 即除切点(1,0)之外,曲线C在直线的下方 ‎2013年全国各省(市)高考数学(理)‎ 分类汇编(解析几何)‎ ‎1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ 解(1)设,由,过点且与轴垂直的直线为.‎ 代入椭圆方程得,于是 又.所以椭圆的方程为 ‎(2)设点,由得直线的方程为.‎ 由,‎ ,因为,所以 由已知得 ‎2.(2013年重庆卷21题)‎ 如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,。‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外。若,求圆的标准方程。‎ 解(1)依题意知点在椭圆上,‎ 则 从而.故椭圆方程为 由椭圆对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则 设,依题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此上式当时取最小值,又因为,所以上式当时去最小值,从而,且 因为,且,所以 即,由椭圆方程及 得 从而 故这样的园有两个,其标准方程分别为 .‎ ‎3.(2013安徽卷18题)(本小题满分12分)‎ 设椭圆的焦点在轴上 ‎(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。‎ ‎【解析】 (Ⅰ)‎ .‎ ‎(Ⅱ) .‎ 由.‎ 所以动点P过定直线.‎ ‎4.(2013北京卷19题)(本小题共14分)‎ 已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.‎ 解(1)线段的垂直平分线为,因此,所以菱形面积为 .‎ ‎(2)四边形不可能是菱形.只要证明,则点与点的横坐标相等或互为相反数.‎ 设,则为园与椭圆的交点.‎ 因此.于是结论得证.‎ ‎5.(2013福建卷18题)(本小题满分13分)‎ 如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.‎ ‎(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;‎ ‎(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.‎ 解:(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ,直线的方程为 设坐标为,由得:,即,‎ 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 ‎(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 由得 此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点 设:,则 又, 分别带入,解得 直线的方程为,即或 ‎6.(2013广东卷20题).(本小题满分14分)‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,‎ 解得.‎ ‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为,,‎ 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,‎ 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以 又点在直线上,所以,‎ 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎7.(2013广西卷21题).(本小题满分12分)‎ 已知双曲线离心率为直线 ‎(I)求;‎ ‎(II) 证明: 成等比数列.‎ 解(1)依题意 所以双曲线的方程为 将代入上式得,‎ 依题意知 ‎ (2)由(1)知的方程为……①‎ 依题意设的方程为.代入①化简整理得 设,则 于是 由于 故 所以,即成等比数列 ‎8.(2013全国新课标二卷20题)(本小题满分12分)‎ 平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:()右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(Ι)求M的方程 ‎(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值 解(1)设则……①……②‎ ‎①-②得 设因为P为AB的中点,且 又,所以 所以的方程为.‎ ‎ (2)因为,直线的方程为,所以设直线的方程为 ‎,将代入得所以.将代入得设,则又因为所以,当时, 取得最大值4,所以四边形面积的最大值为.‎ ‎9.(2013年河南山西河北卷 20)(本小题满分共12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为(,),半径为R.‎ ‎(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.‎ ‎(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时,其方程为,‎ 当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设:,由于圆M相切得,解得.‎ 当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.‎ 当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,‎ 综上,|AB|=或|AB|=.‎ ‎10.(2013湖北卷21题) (本小题满分12分)‎ 如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,。记,和的面积分别为和。‎ ‎(I)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ 第21题图 ‎(II)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由。‎ ‎【解析与答案】(I), 解得:(舍去小于1的根)‎ ‎(II)设椭圆,,直线: 同理可得, 又和的的高相等 如果存在非零实数使得,则有,‎ 即:,解得 当时,,存在这样的直线;当时,,不存在这样的直线。‎ ‎——介休一中高二一部