高考试题圆锥曲线导数解析几何解析分类汇编 19页

‎2013高考试题解析分类汇编：圆锥曲线 一、选择题 ．1（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 （　　）‎ A．B．C．D． 的顶点坐标为，渐近线为，即．带入点到直线距离公式．2（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是 （　　）‎ A．B．C．D．=． B；依题意,,所以,从而,,故选B．‎ 3．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为 （　　）‎ A．B．C．D．‎ 已知双曲线C：的离心率为，故有=，‎ 所以=，解得 =．故C的渐近线方程为 ，故选C．‎ 本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，，所以 ‎，离心率为。中，，所以。离心率为，所以两个双曲线有相同的离心率，选D.‎ 4．（2013年高考四川卷（理））抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （　　）‎ A．B．C．D． B ‎ 因为抛物线方程为y2=4x。所以2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）‎ 又因为双曲线的方程为所以a2=1且b2=3，可得a=1且b=，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．‎ 因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==。‎ 故选：B 5．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 O x y A B F1‎ F2‎ ‎（第9题图）‎ ‎ （　　）‎ A．B．C．D． D ‎ 设|AF1|=x，|AF2|=y，因为点A为椭圆C1：+y2=1上的点，‎ 所以2a=4，b=1，c=；‎ 所以|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ 所以+=，即x2+y2=（2c）2==12，②‎ 由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，‎ 所以双曲线C2的离心率e===．故选D．‎ 6．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = （　　）‎ A．1 B．C．2 D．3‎ C 双曲线的渐近线为，抛物线的准线方程为。当时，，所以三角形△AOB的面积为，即，又双曲线的离心率为2，所以，即，即，所以，即，所以，选C.‎ 7．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是 （　　）‎ A．B．C．D． B 由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．‎ 设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．‎ 因为=，=，‎ 所以==，‎ 因为，‎ 所以，解得．‎ 故选B．‎ ‎8．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则 （　　）‎ A．B．C．D． D 由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），‎ 由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x﹣2，其中．‎ 联立，得到y2﹣8my﹣16=0，△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以y1+y2=8m，y1y2=﹣16．‎ 又，，‎ 所以=（x1+2）（x2+2）+（y1﹣2）（y2﹣2）=（my1+4）（my2+4）+（y1﹣2）（y2﹣2）‎ ‎=（m2+1）y1y2+（4m﹣2）（y1+y2）+20=﹣16（m2+1）+（4m﹣2）×8m+20=4（2m﹣1）2‎ 由4（2m﹣1）2=0，解得．所以．故选D ‎9．（2013年高考北京卷（理））若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 （　　）‎ A．y=±2xB．y=C．D． B ‎ 由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．选B．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线:的焦点与双曲线:的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 （　　）‎ A．B．C．D． D 经过第一象限的双曲线的渐近线为。抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即，选D.‎ ‎10．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为 （　　）‎ A． B．C．D． ‎2013导数各省高考题 ‎2013辽宁（12）设函数（ D ）（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值 ‎2013湖南5. 函数的图像与的图像的交点个数为（ B ）‎ ‎2013湖南12.若，则常数的值为。‎ ‎2013江西6.若则的大小关系为（ B ）‎ A. B.C. D. ‎2013江西13设函数在内可导，且，则 ‎2013全国大纲(9）若函数 ‎（A）（B）（C）（D） ‎2013新课标11、已知函数=，若||≥，则的取值范围是（ D ） ...[-2,1] .[-2,0]‎ ‎2013湖北10、已知为常数，函数有两个极值点，则（ D ）A. B. ‎ C. D. ‎2013江苏9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) ．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是．【答案】 [—2，]‎ ‎2013浙江8．已知为自然对数的底数，设函数，则 ‎ A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值 C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值 ‎1．(2013广东.理)（14分）设函数(其中).‎ ‎(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 当时, ‎ ‎,‎ ‎ 令,得,‎ ‎ 当变化时,的变化如下表:‎ 极大值 极小值 ‎ 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.‎ ‎ (Ⅱ),‎ 令,得,,‎ 令,则,所以在上递增,‎ 所以,从而,所以 所以当时,；当时,；‎ 所以 令,则,‎ 令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,,‎ 当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.‎ 综上,函数在上的最大值.‎ ‎2．（本小题满分14分）(2013广东文)‎ 设函数．‎ ‎(1) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．‎ ‎【解析】： ‎(1)当时 ,在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 ‎-k k k ‎（i）当，即时，，在上单调递增，‎ 从而当时， 取得最小值 ,‎ 当时， 取得最大值.‎ ‎（ii）当，即时，令 解得：,注意到,‎ ‎(注：可用韦达定理判断，,从而 ‎；或者由对称结合图像判断)‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ， 所以 ， ‎3（本小题共13分）(2013北京.理)‎ 设为曲线在点处的切线．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：除切点之外，曲线在直线的下方．‎ 解：（I）,所以的斜率 所以的方程为 ‎（II）证明：令 则 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又 时，，即 时，，即 即除切点（1，0）之外，曲线C在直线的下方 ‎2013年全国各省（市）高考数学（理）‎ 分类汇编(解析几何)‎ ‎1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ 解(1)设,由,过点且与轴垂直的直线为.‎ 代入椭圆方程得,于是 又.所以椭圆的方程为 ‎(2)设点,由得直线的方程为.‎ 由,‎ ,因为,所以 由已知得 ‎2.（2013年重庆卷21题）‎ 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，。‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外。若,求圆的标准方程。‎ 解(1)依题意知点在椭圆上,‎ 则 从而.故椭圆方程为 由椭圆对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则 设,依题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此上式当时取最小值,又因为,所以上式当时去最小值,从而,且 因为,且,所以 即,由椭圆方程及 得 从而 故这样的园有两个,其标准方程分别为 .‎ ‎3.（2013安徽卷18题）（本小题满分12分）‎ 设椭圆的焦点在轴上 ‎（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。‎ ‎【解析】 （Ⅰ）‎ .‎ ‎（Ⅱ） .‎ 由.‎ 所以动点P过定直线.‎ ‎4.（2013北京卷19题）(本小题共14分)‎ 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.‎ ‎(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形面积.‎ ‎(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.‎ 解(1)线段的垂直平分线为,因此,所以菱形面积为 .‎ ‎(2)四边形不可能是菱形.只要证明,则点与点的横坐标相等或互为相反数.‎ 设,则为园与椭圆的交点.‎ 因此.于是结论得证.‎ ‎5.（2013福建卷18题）（本小题满分13分）‎ 如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过做轴的垂线与交于点．‎ ‎（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；‎ ‎（2）过点做直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为，求直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为 ，直线的方程为 设坐标为，由得：，即，‎ 都在同一条抛物线上，且抛物线方程为 ‎（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为 由得 此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点 设：，则 又， 分别带入，解得 直线的方程为，即或 ‎6.（2013广东卷20题）．（本小题满分14分）‎ 已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；‎ ‎(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,‎ 解得.‎ ‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎ (Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得 设,(其中),则切线的斜率分别为,,‎ 所以切线的方程为,即,即 同理可得切线的方程为 因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解.‎ 所以直线的方程为.‎ ‎(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,‎ 所以 联立方程,消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得, 所以 又点在直线上,所以,‎ 所以 所以当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎7.（2013广西卷21题）．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线离心率为直线 ‎（I）求；‎ ‎（II） 证明： 成等比数列.‎ 解(1)依题意 所以双曲线的方程为 将代入上式得,‎ 依题意知 ‎ (2)由(1)知的方程为……①‎ 依题意设的方程为.代入①化简整理得 设,则 于是 由于 故 所以,即成等比数列 ‎8.（2013全国新课标二卷20题）（本小题满分12分）‎ 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：()右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为(Ι)求M的方程 ‎（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值 解(1)设则……①……②‎ ‎①-②得 设因为P为AB的中点，且 又,所以 所以的方程为.‎ ‎ (2)因为,直线的方程为,所以设直线的方程为 ‎,将代入得所以.将代入得设,则又因为所以,当时, 取得最大值4,所以四边形面积的最大值为.‎ ‎9.（2013年河南山西河北卷 20）（本小题满分共12分）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ ‎【命题意图】‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为（，），半径为R.‎ ‎（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.‎ ‎（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时，其方程为，‎ 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.‎ 当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.‎ 当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，‎ 综上，|AB|=或|AB|=.‎ ‎10.（2013湖北卷21题） (本小题满分12分)‎ 如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。‎ ‎（I）当直线与轴重合时，若，求的值；‎ 第21题图 ‎（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。‎ ‎【解析与答案】（I）， 解得：（舍去小于1的根）‎ ‎（II）设椭圆，，直线： 同理可得， 又和的的高相等 如果存在非零实数使得，则有，‎ 即：，解得 当时，，存在这样的直线；当时，，不存在这样的直线。‎ ‎——介休一中高二一部