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  • 2021-05-13 发布

高考专题训练专题复习——求轨迹方程人教版

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专题复习——求轨迹方程 一. 本周教学内容:‎ ‎ 专题复习——求轨迹方程 ‎(一)求轨迹方程的一般方法:‎ ‎ 1. 待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。‎ ‎ 2. 直译法:如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。‎ ‎ 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0。‎ ‎ 4. 代入法(相关点法):如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。‎ ‎(二)求轨迹方程的注意事项:‎ ‎ 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。‎ ‎ ‎ 来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。‎ ‎ 3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。‎ ‎【典型例题】‎ ‎ 例1. ‎ 轨迹方程。‎ ‎ 分析:题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。‎ ‎ 解:设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0)‎ ‎ 则由M为线段AB中点,可得 ‎ ‎ ‎ 即点B坐标可表为(2x-2a,2y)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2. ‎ 点A的轨迹方程。‎ ‎ 分析:先画出示意图,如图所示:根据已知条件:动椭圆过M(1,2)且以y轴为其准线,可见该椭圆位于y轴右侧,注意到点M在椭圆上,故联想到椭圆的几何性质:椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。即可发现间接涉及动顶点A的等量关系。只需用A的坐标先表示出左焦点F的坐标,即可列出轨迹方程。‎ ‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又∵M在椭圆上,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3. 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。‎ ‎ 分析1:设M(x,y),由已知l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。‎ ‎ 解法1:设M(x,y),∵M为AB中点,∴A(2x,0),B(0,2y)。‎ ‎ 又l1,l2过点P(2,4),且l1⊥l2‎ ‎ ∴PA⊥PB,从而kPA·kPB=-1,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注意到l1⊥x轴时,l2⊥y轴,此时A(2,0),B(0,4)‎ ‎ 中点M(1,2),经检验,它也满足方程x+2y-5=0‎ ‎ 综上可知,点M的轨迹方程为x+2y-5=0。‎ ‎ 分析2:解法1中在利用k1k2=-1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?只需利用△PAB为直角三角形的几何特性:‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y),‎ ‎ ∵l1⊥l2,∴△PAB为直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 化简,得x+2y-5=0,此即M的轨迹方程。‎ ‎ 分析3:从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。‎ ‎ 解法3:设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵M为AB的中点,‎ ‎ ‎ ‎ 消去k,得x+2y-5=0。‎ ‎ 另外,当k=0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程;‎ ‎ 当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。‎ ‎ 综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0。‎ ‎ 例4. 已知定点A(2,0),点Q是圆x2+y2=1的动点,∠AOQ的平分线交AQ于M,当Q点在圆上移动时,求动点M的轨迹方程。‎ ‎ 分析1:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若设出M(x,y),则由分点坐标公式,可表示出点Q的坐标,因Q、M为相关点,(Q点运动导致点M运动),可采用相关点法求点M的轨迹方程。‎ ‎ 解法1:设M(x,y),‎ ‎ ‎ ‎ ∵M在AQ上,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 分析2:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而当∠AOQ=180°时,其角分线为y轴,它与AQ交点为原点O,显然,该点也满足上述轨迹方程。‎ ‎ 注:此种解法为定义法。‎ ‎ 例5. 如图,给出定点A(a,0),(a>0)与定直线l:x=-1,点B是l上动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值关系。‎ ‎ 分析:由OC是∠AOB的平分线,可联想到如下结论:‎ ‎ (1)点C到∠AOB的两边OA,OB的距离相等;‎ ‎ (2)OC与OA、OB所成的角相等。‎ ‎ ‎ ‎ 对于(1)、(2)、(3),若再注意到点C在直线AB上,则可求得轨迹方程。因此,本题从不同角度入手,则有不同解法。‎ ‎ 解法1:设B(-1,b),C(x,y),直线OB的方程为y=-bx,即bx+y=0,‎ ‎ ∵OC平分∠AOB,∴点C到角的两边距离相等。‎ ‎ ‎ ‎ 又∵点C在直线AB上,∴A、B、C三点共线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 把③代入④,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ y=0时,b=0,∠AOB=180°,点C坐标为(0,0),满足上述方程。‎ ‎ 故方程(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0是点C的轨迹方程。‎ ‎ 当a=1时,方程为y2=x,(0≤x<1),它表示抛物线的一段;‎ ‎ ‎ ‎ ∴01时,轨迹为双曲线弧。‎ ‎ 解法2:设B(-1,b),C(x,y)‎ ‎ ‎ ‎ ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠COB ∴tg∠AOC=tg∠COB,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以下略,(见解法1的相应部分)‎ ‎ 解法3:设B(-1,b),C(x,y),又A(a,0)‎ ‎ ‎ ‎ ∵OC平分∠AOB,由三角形内角平分线性质,得 ‎ ‎ ‎ 整理,得(b2+1)·[(a+1)2+b2]=a2[(x+1)2+(y-b)2]‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以下略。(同解法1的相应部分)‎ ‎【模拟试题】‎ ‎ 1. 长为3a(a>0)的线段AB的两端点A、B分别在y轴、x轴上运动,P点分线段AB或正比2:1,求点P的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎2. △ABC的顶点B、C 双曲线的焦点,点C在抛物线y=4x2上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎3. 自双曲线上的动点A引直线x+y=2的垂线,垂足为B,求线段AB中点M的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎4. 已知定点A(-1,0),B(2,0),P为动点,且∠PBA=2∠PAB,求动点P的轨迹方程。‎ ‎ ‎ ‎5. 以双曲线的右准线l为左准线,以双曲线的右焦点F为左焦点的椭圆C的短轴顶点为B,求BF中点M的轨迹方程。‎ ‎【试题答案】‎ ‎ 1. ‎ ‎ 2. ‎ ‎ 3. ‎ ‎ 4. ‎ ‎ 5. ‎