高考数学(理科)试卷(江苏卷) 13页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数　学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。‎ ‎3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。‎ ‎4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。‎ ‎5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。‎ 参考公式：‎ 次独立重复试验恰有次发生的概率为：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．下列函数中，周期为的是 A． ‎ B．y=sin2x ‎ C． ‎ D．y=cos4x ‎2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则A∩CUB为 A．｛-1，2｝ ‎ B．｛-1，0｝ ‎ C．｛0，1｝ ‎ D．｛1，2｝‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心率为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．2‎ ‎4．已知两条直线，两个平面α，β，给出下面四个命题：‎ ‎① ‎ ‎②‎ ‎③ ‎ ‎④‎ 其中正确命题的序号是 A．①、③ ‎ B．②、④ ‎ C．①、④ ‎ D．②、③‎ ‎5．函数的单调递增区间是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎6．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x－1，则有 A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎7．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2+a3（x－2）3，则a2的值为 A．3 ‎ B．6 ‎ C．9 ‎ D．12‎ ‎8．设是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是 A．（-1，0） ‎ B．（0，1） ‎ C．（-∞，0） ‎ D．（-∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为 A． 3 ‎ B． ‎ C．2 ‎ D．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥‎ ‎0｝，则平面区域的面积为 A．2 ‎ B．1 ‎ C． ‎ D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。‎ ‎11．若，.则tana·tanβ=　　▲　　.‎ ‎12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有　　▲　　种不同选修方案。（用数值作答）‎ ‎13．已知函数f（x）=x3－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m=　　▲　　.‎ ‎14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是 ‎▲　　.‎ ‎15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则　　▲　　。‎ ‎16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=　　▲　　，其中t∈[0，60]。‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）‎ ‎（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）‎ ‎（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）‎ ‎（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，‎ ‎（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分）‎ ‎（2）若点G在BC上，，点M在BB1上，，垂足为H，求证：面BCC1B1；（4分）‎ ‎（3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求。（4分）‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。‎ ‎（1）若，求c的值；（5分）‎ ‎（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。‎ ‎（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）‎ ‎（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分）‎ ‎（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）‎ ‎21．（本小题满分16分）‎ 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，‎ ‎，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。‎ ‎（1）求的值；（3分）‎ ‎（2）若a=0，求的取值范围；（6分）‎ ‎（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数　学 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，共计50分。‎ ‎1．D　2．A　3．A　4．C　5．D　6．B　7．B　8．A　9．C　10．B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共计30分。‎ ‎11． ‎ ‎12．75 ‎ ‎13．32 ‎ ‎14． ‎ ‎15． ‎ ‎16．‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ 解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为 ‎（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 ‎（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为 ‎18．本小题主要考查平面的基本性质、或以平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象力、逻辑推理能力和运算能力，满分12分。‎ 解法一：‎ ‎（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2‎ 因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。‎ 从而ENAD，FD1∥CN。‎ 又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。‎ ‎（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·‎ 因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1‎ ‎（3）如图，连结EH 因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF 于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0‎ 因为∠MBH=∠CFB，所以 MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB 解法二：‎ ‎（1）建立如图所示的坐标系，则 所以 故共面 又它们有公共点B，‎ 所以E、B、F、D1四点共面。‎ ‎（2）如图，设M（0，0，z）则 而，由题设得 ‎，得z=1‎ 因为M（0，0，1），E（3，0，1），有=（3，0，0）‎ 又，，所以，从而ME⊥BB1，ME⊥BC 故ME⊥BB1，平面BCC1B1‎ ‎（3）设向量⊥截面EBFD1，于是 而，得，解得x=-1，y=-2，所以 又⊥平面BCC1B1，所以和的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）‎ 于是 故 ‎19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力，满分14分。‎ 解：‎ ‎（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0‎ 令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c 因为，解得c=2，‎ 或c=﹣1（舍去）‎ 故c=2‎ ‎（2）由题意知，直线AQ的斜率为 又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a 因此，AQ为该抛物线的切线 ‎（3）（2）的逆命题成立，证明如下：‎ 设Q（x0，﹣c）‎ 若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a 又直线AQ的斜率为，所以 得2ax0=a2+ab，因a≠0，有 ‎20．‎ 解：设的公差为，由，知，（）‎ ‎（1）因为，所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎（2），由，‎ 所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为 ‎，‎ 设数列中的某一项=‎ 现在只要证明存在正整数，使得，即在方程　　中有正整数解即可，，‎ 所以：‎ ‎，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为 与数列的第项相等，从而结论成立。‎ ‎（3）设数列中有三项成等差数列，则有 ‎2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。‎ ‎21．解 ‎（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。‎ ‎（2）因为，所以，则 ‎==0的根也是的根。‎ ‎（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，‎ ‎（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，‎ 的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而 所以当时，；当时，。‎ ‎（3），所以，即的根为0和1，‎ 所以=0必无实数根，‎ ‎（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；‎ ‎（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，‎ ‎，而，所以，所以不可能小于0，‎ ‎（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。‎ 所以