高考数学二轮复习 专题五椭圆双曲线及抛物线 理 5页

第二讲　椭圆、双曲线及抛物线 ‎1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(，2)　　　　　　　 B．(1，＋∞)‎ C．(1，2) D．(，1)‎ ‎2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎3．(2013·武汉市武昌区联考)已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2.若直线AB过原点，则k1k2的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. ‎4．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x ‎6．(2013·昆明市调研测试)已知F(c，0)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c)2＋y2＝c2相切，则双曲线C的离心率为________．‎ ‎7．(2013·大连市双基测试)已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)2＋y2＝相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2＝4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________．‎ ‎8．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．‎ ‎9．(2012·高考安徽卷)‎ 如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．‎ ‎10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x12－k>0，‎ 即解得10，b>0)的渐近线方程为y＝±x，‎ ‎∴所求渐近线方程为y＝±x.‎ ‎3．【解析】选B.由题意知e＝＝2，则b2＝3a2，双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(－m，－n)，k1k2＝·＝＝＝3.‎ ‎4．【解析】选B.在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则|AF|＝6.由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝|OF|＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|＝|AF1|＝8.由椭圆的性质可知|AF|＋|AF1|＝14＝2a⇒a＝7，则e＝＝.‎ ‎5．【解析】选C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.‎ 由y2＝2px，F，‎ ‎∴N点的坐标为，.‎ 由抛物线的定义知，x0＋＝5，‎ ‎∴x0＝5－，‎ ‎∴y0＝ .‎ ‎∵|AN|＝＝，∴|AN|2＝.‎ ‎∴2＋－22＝.‎ 即＋＝.‎ ‎∴ －2＝0.‎ 整理得p2－10p＋16＝0.‎ 解得p＝2或p＝8.‎ ‎∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.‎ ‎6．【解析】依题意得，圆心F(c，0)到渐近线的距离等于c，即有b＝c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c2＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，＝，即双曲线C的离心率为.‎ ‎【答案】 ‎7．【解析】由题意可知双曲线的c＝.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径，得k2＝，即＝.又a2＋b2＝()2，则a2＝4，b2＝1，所以所求的标准方程为－y2＝1.‎ ‎【答案】－y2＝1‎ ‎8．【解析】由题意得圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当m＋|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即m＋|PC|＝＝.‎ ‎【答案】 ‎9．【解】(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，‎ a＝2c，所以e＝.‎ ‎(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，‎ 直线AB的方程为y＝－(x－c)，‎ 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，‎ 得B，‎ 所以|AB|＝·＝c.‎ 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB ‎＝a·c·＝a2＝40，‎ 解得a＝10，b＝5.‎ 法二：设|AB|＝t.‎ 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，‎ 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，‎ 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，‎ t＝a，‎ 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，‎ a＝10，b＝5.‎ ‎10．【解】(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，‎ 与y2＝2px联立，‎ 从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.‎ 由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝9，‎ 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.‎ ‎(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，‎ 从而A(1，－2)，B(4，4)；‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)‎ ‎＝(4λ＋1，4λ－2)．‎ 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，‎ 即(2λ－1)2＝4λ＋1，‎ 解得λ＝0，或λ＝2.‎ ‎11．【解】(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ 由已知可得，‎ 解得a2＝4，b2＝1.‎ 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(－1，0)的直线l的方程为x＝－1，此时令A(－1，)，B(－1，－)，显然|EA|＝2|EB|不成立．‎ 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x＋1)．‎ 则，‎ 整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.‎ 由Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 故x1＋x2＝－，①　 x1x2＝.②‎ 因为|EA|＝2|EB|，即x1＋2x2＝－3.③‎ ‎①②③联立解得k＝±.‎ 所以直线l的方程为x＋6y＋＝0或x－6y＋＝0.‎