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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2019 年杭州二中高考数学模拟试题
姓名: 准考证号:
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 3 页;非选择题部
3 至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题
卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答, 在本试题卷上的作答一律无效。
选择题部分 (共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
1.设集合 A = {1, 2, 5} , B = {2, 4} , C = {x Î R | -1 £ x < 5} ,则 ( A U B) I C =
A.{1, 2, 4, 6} B.{x Î R | -1 £ x £ 5} C.{2} D.{1, 2, 4}
2.双曲线的焦点坐标为
A. (-1, 0) , (1, 0) B. (-, 0) , ( , 0)
C. (0, - ) , (0, ) D. (0, -1) , (0,1)
3.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
A. B. 4 C. D. 8
4.设等差数列{an } 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则“ d > 0 ”是“ Sn 单调递增”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.现有四个函数的部分图象如下,但顺序
被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是
A.①④②③ B.①④③② C.③②④① D.③④②①
6.设a , b 都是锐角,且 cosa =, sin(a+ b) =,则 cos b的值为
7.已知函数,若实数 m Î (0,1) ,则函数 g (x) = f (x) - m 的零点个数为
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
8.已知甲盒中有 2 个红球,1 个蓝球,乙盒中有1 个红球, 2 个蓝球,从甲乙两个盒中各取1
球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1 个球,记红球的个数为
xi (i = 1, 2, 3) ,则
A. E (x1 ) > E (x3) > E (x2 ) , D(x1) = D(x2 ) > D(x3)
B. E (x1 ) < E (x3)< E (x2 ) ,D(x1) = D(x2 ) > D(x3)
C. E (x1 ) > E (x3) > E (x2 ) ,D(x1) = D(x2 ) < D(x3)
D. E (x1 ) < E (x3)< E (x2 ) ,D(x1) = D(x2 ) < D(x3)
9.设 , 为单位向量,向量 满足| 2 + |=| × | ,则 | - | 的最大值为
A. 2 B.1 C. D.
10. 如图,三棱锥 P - ABC 中, PA ^ 平面 ABC , ÐBAC = , Q 为 PA 中点,下列说法中
(1) ÐPBA + ÐPCA + ÐBPC = p ;
(2)记二面角 P - BC - A , Q - BC - A 的平面角分别为q1 ,q2 ,q1 > 2q2 ;
(3)记 △ABC ,△QBC ,△PBC 的面积分别为 S0 , S1 , S2 ,
(4) cos ÐPBC < cos ÐPBQ ×cos ÐQBC ,
正确说法的个数为
A. 0 B.1
C. 2 D. 3
非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11. 欧拉公式 eix = cos x + i sin x ( i 为虚数单位)是有瑞士著名数学家欧拉发现的,它将
函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常
重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,对表示的复数 ,则| z | 等
于 ;等于 .
12. 的展开式共有11 项,则 n 的值为 ,其中常数项为 .
13. 设 x , y 满足约束条件,则 z = - x + y 的最小值是 ,最大值是 .
14. 在 △ABC 中,sin( A + ) = ,0 < A < ,AC = 5 ,AB = 3 ,则 sin A 的值为 ,
BC 的长为 .
15. 10 次投篮中,投中 5 次,其中恰有一个 2 连中和一个 3 连中的情形有 种(用数
字作答).
16. 存在第一象限的点 M (x0, y0 )在椭圆 (a > b > 0) 上,使得过点 M 且与椭圆在此
点的切线垂直的直线经过点 ( , 0) ( c 为椭圆半焦距),则椭圆离心率的取
值范围是 .
17. 函数 f ( x) = x3 - | ax 2 - b | -1 在 (0, 2) 上有 2 个零点,则的范围是 .
三、解答题:本大题有 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) = 3sin(w x +),w> 0, 且以为最小正周期.
(I)求 f ( x) 的解析式;
(Ⅱ)求 f ( x) 的对称轴方程及单调递区间.
19. (本题满分 15 分)如图,矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AB / /CD ,
ÐABC = ÐADB = 90° , CD = 1, BC = 2.
(I)求证: BE //平面 DCF ;
(Ⅱ)当 AE 的长为何值时,直线 AD 与平面 BCE
所成角的大小为 45° ?
20. (本题满分 15 分)已知数列{an }为等比数列,数列{bn }满足 bn = log2 an ,且
a4 = b5 = 1.设 Sn为数列{bn }的前 n 项和.
(I)求数列{an }、{bn }的通项公式及 Sn ;
(Ⅱ)若数列{cn }满足,求{c } 的前 n 项和 T .
21. (本题满分 15 分)如图,过抛物线 C : y2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 的直线与抛物线 C 交
于 A、B 两点,过 AB 中点 M 且与 AB 垂直的直线与 x 轴交于点 N .
(I)求的值;
(Ⅱ)若 p = 2,求的取值范围.
22.(本小题满分 15 分)已知 f (x) =
(I)求函数 y = f ( x) 有三个零点,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)若 a =2,设,其中 b £ 2, c > 0, f (x) = g (x) 的两根为 x1 , x2 ( x1 < x2)
求证: x2 f ( x1 ) < x1 f ( x2 ) < 0 .
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