高考数学试题分类汇编解析几何1 54页

解析几何 安徽理（2） 双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.‎ ‎【解析】可变形为，则，，.故选C.‎ ‎(5) 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为 ‎（A）2 (B) (C) （D) ‎ ‎(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.‎ ‎【解析】极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.‎ ‎（15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 ‎（15)①③④⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.‎ ‎【解析】令满足①，故①正确；若，过整点（－1,0），所以②错误；设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有 ‎，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立，所以③正确；④正确；直线恰过一个整点，⑤正确.‎ ‎（21）（本小题满分13分）‎ 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。‎ ‎（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.‎ ‎ 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ‎ ①‎ ‎ 再设 ‎ 解得 ②，将①式代入②式，消去，得 ‎ ③，又点B在抛物线上，所以，‎ ‎ 再将③式代入，得 ‎ ‎ 故所求点P的轨迹方程为 安徽文(3) 双曲线的实轴长是 ‎（A）2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎（3）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.‎ ‎【解析】可变形为，则，，.故选C.‎ ‎(4) 若直线过圆的圆心,则a的值为 ‎（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3 ‎ ‎（4）B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.‎ ‎【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ 设直线 ‎（I）证明与相交；‎ ‎（II）证明与的交点在椭圆 ‎（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.‎ ‎（II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 ‎（方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 北京理3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。‎ ‎8. 设A（0，0），B（4，0），C（，4），D（t，4）（），记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为 C A．{ 9，10，11 } B．{ 9，10，12 }‎ C．{ 9，11，12 } D．{ 10，11，12 }‎ ‎14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则的面积不大于.‎ 其中，所有正确结论的序号是____________.②③‎ ‎19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。‎ ‎（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）将表示为m的函数，并求的最大值。‎ ‎（19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 ‎（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，‎ 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则；‎ 又由l与圆 所以 由于当时，因为 且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.‎ 北京文8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为 A ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.‎ ‎（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.‎ ‎（19）解：（Ⅰ）由已知得解得，又 所以椭圆G的方程为 ‎（Ⅱ）设直线l的方程为 由得 设A、B的坐标分别为AB中点为E，‎ 则；因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。‎ 此时方程①为解得所以 所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离 所以△PAB的面积S=‎ 福建理7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于 ‎ A． B．或‎2 ‎ C．2 D．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。‎ ‎17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，点P的坐标为（0，m）‎ 因为，所以，‎ 解得m=2，即点P的坐标为（0，2）‎ 从而圆的半径 故所求圆的方程为 ‎（II）因为直线的方程为所以直线的方程为 由,‎ ‎（1）当时，直线与抛物线C相切 ‎（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。‎ 综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。‎ 解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），‎ 则解得所以所求圆的方程为 ‎（II）同解法一。‎ ‎21.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 ‎．‎ ‎（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎（2）选修4—4：坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。‎ 因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，‎ 所以点P在直线上，‎ ‎（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，‎ 从而点Q到直线的距离为 ‎，‎ 由此得，当时，d取得最小值，且最小值为 福建文11．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F‎1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于 A ‎ A. 或 B．或‎2 C．或2 D．或 ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。‎ ‎（Ⅰ）求实数b的值；‎ ‎（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。‎ ‎18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，‎ 考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。‎ 解：（I）由，（*）‎ 因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。‎ ‎（II）由（I）可知，‎ 解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即 所以圆A的方程为 广东理14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 ‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及 此时点P的坐标.‎ ‎19． （1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 化简得L的方程为 ‎（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；‎ ‎21．解：（１），‎ 直线AB的方程为，即，‎ ‎，方程的判别式，‎ 两根或，‎ ‎，，又，‎ ‎，得，‎ ‎．‎ ‎（２）由知点在抛物线L的下方，‎ ‎①当时，作图可知，若，则，得；‎ 若，显然有点； ．‎ ‎②当时，点在第二象限，‎ 作图可知，若，则，且；‎ 若，显然有点； ‎ ‎．‎ 根据曲线的对称性可知，当时，，‎ 综上所述，（*）；‎ 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，‎ 同理点M在直线上，方程的两根或，‎ 若，则不比、、小，‎ ‎，又，‎ ‎；又由（１）知，；‎ ‎，综合（*）式，得证．‎ ‎（３）联立，得交点，可知，‎ 过点作抛物线L的切线，设切点为，则，‎ 得，解得，‎ 又，即，‎ ‎，设，，‎ ‎，又，；‎ ‎，，．‎ 广东文8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 ‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 D ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP ‎（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ①‎ ‎ 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线，‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上，此时，记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围，设为上任意点 ‎ 由（即）得，‎ ‎ 故的轨迹方程为 ②‎ ‎ 综合①和②得，点M轨迹E的方程为 ‎（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ 当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。‎ ‎ 再过H作垂直于的直线，交 ‎ 因此，（抛物线的性质）。‎ ‎ （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。‎ ‎ 当时，则 ‎ 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 ‎ （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。‎ ‎ 设 ‎ 故的方程得：‎ ‎ 因判别式 ‎ 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。‎ ‎ 又由E2和的方程可知，若与E2有交点，‎ ‎ 则此交点的坐标为有唯一交点 ‎，从而表三个不同的交点。‎ ‎ 因此，直线的取值范围是 湖北理4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则 A. B. C. D. ‎ x y O F A B C D ‎【答案】C 解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为和，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为，，所以选C.‎ x y ‎(y/)‎ C/‎ O x/‎ ‎•P/‎ ‎14.如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，.‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，‎ 则点在平面内的射影的坐标为 ；‎ ‎（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是 ‎，则曲线在平面内的 x y ‎(y/)‎ C/‎ O x/‎ ‎•P/‎ P H 射影的方程是 .‎ ‎【答案】,‎ 解析：（Ⅰ）设点在平面内的射影的坐标为，‎ 则点的纵坐标和纵坐标相同，‎ 所以，过点作，垂足为，‎ 连结，则，横坐标 ‎，‎ 所以点在平面内的射影的坐标为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以代入曲线的方程，得，‎ 所以射影的方程填.‎ ‎20. （本小题满分14分）‎ 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，C2的两个焦点分别为 对于给定的，C1上存在点使得的 充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 由①得由②得 当或时，存在点N，使S=|m|a2；‎ 当或时，不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎ 湖北文 ‎4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则 C ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎14．过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。1或 湖南理9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。 ‎ 答案：2‎ 解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.‎ A. ‎(本小题满分13分）‎ 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎（i）证明：；‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。‎ 解析：（I）由题意知，从而，又，解得。‎ 故的方程分别为。‎ ‎（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.‎ 由得，‎ 设，则是上述方程的两个实根，于是。‎ 又点的坐标为，所以 故，即。‎ ‎（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是 由得，解得或，‎ 则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为 于是 因此 由题意知，解得 或。‎ 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。‎ 湖南文6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ ‎9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ．答案：2‎ 解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。‎ ‎15．已知圆直线 ‎（1）圆的圆心到直线的距离为 ．‎ ‎(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．‎ 答案：5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；‎ ‎（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.‎ ‎21．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，‎ 与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ．‎ 因为，所以的斜率为．设则同理可得：‎ ‎ 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ 江苏14.设集合, ‎ ‎, 若 则实数m的取值范围是________.‎ 答案：.‎ 解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方 ，又因为此时无解；‎ 当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当时,只要,.‎ 当时, 只要,‎ 当时,一定符合 又因为,.‎ 本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题. ‎ N M P A x y B C ‎18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，‎ 过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设 直线PA的斜率为k.‎ ‎（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.‎ 答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),‎ 直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以.‎ ‎（2）直线,由得，，‎ AC方程：即：‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，‎ 又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：‎ ‎.‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,‎ 法三：由得 ‎，直线 代入得到，解得，‎ 解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程．‎ C．选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。‎ ‎ 解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：‎ ‎ 故所求直线的斜率为，因此其方程为 江西理9. 若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析：‎ O x y ‎1‎ ‎，，‎ 又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同 的交点，结合图形可知 M N ‎10. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A B C D ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心 M ‎0.5为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于 O A P点时，则小圆与大圆的切点P转过的弧长PA长度 F 等于弧PM，过小圆圆心B作MP垂线BF，‎ B B 设转动角度为∠AOP=β，则大圆弧长PA=1×β，‎ P N 小圆弧长PM=0.5×∠MBP，所以∠MBP=2β，‎ 则∠MBF=β，则∠MBF=∠FBP=∠POA，所以BF∥OA，则MP平行y轴。又∠PMB=∠BNO，所以ON∥MP，所以ON∥y轴，则N点在y轴上，又BF为△PMO中位线，∴BF∥OM，则OM∥OA，所以M点在x轴上。故最终运动轨迹如A图所示。‎ ‎14. 若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作图可知一个切点为（1,0），所以椭圆.分析可知直线为圆与以为圆心，为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为：.令，解得，∴，又，∴，故所求椭圆方程为：‎ ‎15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对方程左右两边同时乘以得，将，，代入得方程为：‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.‎ ‎【解析】（1）点是双曲线：上，有 ‎ ，由题意又有，可得，‎ 则 ‎（2）联立，得，设，‎ 则，设，，即 又为双曲线上一点，即，有 化简得：‎ 又，在双曲线上，所以，‎ 由（1）式又有 得：，解出，或 江西文10．如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在源点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成 今使“凸轮”沿X轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为 答案：A 根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A。‎ 12. 若双曲线的离心率e=2，则m=____.‎ 答案：48. 解析：根据双曲线方程：知，，并在双曲线中有：， 离心率e==2=,m=48‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ 解析：（1）直线AB的方程是 ‎ 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，‎ 抛物线方程为：‎ （2） ‎、由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)‎ 设=，又，即8（4），即，解得 辽宁理3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 C ‎ A． B．‎1 ‎ C． D．‎ ‎13．已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．2‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，‎ 椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1‎ 交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ ………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ ………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎ （I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎ （II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ ‎23．解：‎ ‎ （I）C1是圆，C2是椭圆.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.‎ ‎ （II）C1，C2的普通方程分别为 ‎ 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，‎ 四边形A1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A1A2B2B1的面积为 …………10分 辽宁文 ‎13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．‎ 全国Ⅰ理（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 B ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 C ‎（A） （B）4 （C） （D） 6‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。‎ ‎(20）解：‎ ‎ (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).‎ 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).‎ 再由题意可知（+）• =0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为，即。‎ 则O点到的距离.又，所以 当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．‎ ‎（23）解：（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 从而的参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为。所以.‎ 全国Ⅰ文 ‎（4）椭圆的离心率为 D ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎（I）求圆C的方程；‎ ‎（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．‎ ‎(20）解：‎ ‎ （Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（‎ 故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.‎ 则圆C的半径为所以圆C的方程为 ‎（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 由已知可得，判别式 因此，从而 ①‎ 由于OA⊥OB，可得又所以 ‎ ②；由①，②得，满足故 山东理 ‎8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）证明和均为定值;‎ ‎（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，‎ 所以因为在椭圆上，因此 ①‎ 又因为所以②；由①、②得 此时 ‎ （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得，‎ 其中即 …………（*）‎ 又 所以 因为点O到直线的距离为所以 ‎，又 整理得且符合（*）式，‎ 此时 综上所述，结论成立。‎ ‎ （II）解法一：‎ ‎ （1）当直线的斜率存在时，由（I）知 因此 ‎ （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 ‎ ‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二：‎ 因为 ‎ ‎ 所以 即当且仅当时等号成立。‎ 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 ‎ （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得 证明：假设存在，‎ 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，‎ 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.‎ 山东文 ‎（9）设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 ‎ （A）(0，2) （B）[0，2] （C）(2，+∞) （D）[2，+∞)‎ C ‎（15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，（i） 求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. ‎ ‎（I）解：设直线，‎ 由题意，‎ 由方程组得，由题意，所以 设，‎ 由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，‎ 因此此时所以OE所在直线方程为 又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以 当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时 由得 因此 当时，取最小值2。‎ ‎ （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由 解得，又，由距离公式及得 由因此，直线的方程为 所以，直线 ‎（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则 代入即，解得（舍去）或 所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以A（0，1）。‎ 由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），‎ 因此故的外接圆的半径为，‎ 所以的外接圆方程为 陕西理2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．‎ ‎【解】选B 由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以．‎ C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．‎ ‎【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．‎ ‎【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．‎ ‎【答案】3‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，‎ Ｍ为PD上一点，且．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．‎ ‎【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，‎ 因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，‎ Ｍ为PD上一点，且，所以，且，‎ ‎∵P在圆上，∴，整理得，‎ 即C的方程是．‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，‎ 将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是：‎ ‎，即所截线段的长度是．‎ 陕西文 C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：‎ 上，则的最小值为 ．‎ ‎【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．‎ ‎【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．‎ ‎【答案】1‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设椭圆: 过点（0，4），离心率为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．‎ ‎【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．‎ ‎【解】（1）将点（0，4）代入的方程得,  ∴b=4,‎ 又 得，即，  ∴，∴的方程为 ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得 ‎，即，解得，，‎ ‎ AB的中点坐标，，‎ 即所截线段的中点坐标为．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．‎ 上海理 ‎3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m= . ‎ ‎5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 . ‎ ‎（结果用反三角函数值表示）‎ ‎23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作 ‎（1）求点到线段的距离；‎ ‎（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；‎ ‎（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.‎ 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分.‎ ‎①.‎ ‎②.‎ ‎③.‎ ‎23、解：⑴ 设是线段上一点，则 ‎，当时，。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，‎ 则，点集由如下曲线围成 ‎，‎ 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择，‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎ 上海文 ‎5．若直线过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线得方程为 ‎ ‎22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为 ‎（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；‎ ‎（2）若，求的最大值与最小值；‎ ‎（3）若的最小值为，求实数的取值范围.‎ ‎22、解：⑴ ，椭圆方程为，‎ ‎∴ 左、右焦点坐标为。‎ ‎⑵ ，椭圆方程为，设，则 ‎∴ 时； 时。‎ ‎⑶ 设动点，则 ‎∵ 当时，取最小值，且，∴ 且 解得。‎ 四川理 ‎10.在抛物线上取横坐标为、的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：A 解析：令抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A．‎ ‎14．双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是_____．‎ 答案：16‎ 解析：离心率，设P到右准线的距离是d，则，则，则P到左准线的距离等于．‎ ‎21．（本小题共l2分）‎ 椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（Ⅰ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．‎ 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．‎ 解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，‎ 由已知得，，所以，则椭圆方程为．‎ 直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设直线l的方程为，联立得，‎ 设，，则，，，‎ ‎．‎ 由已知得，解得，‎ 所以直线l的方程为或．‎ ‎（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设直线l的方程为（且），所以P点的坐标为．‎ 设，，由（Ⅰ）知，，‎ 直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，‎ 方法一：‎ 联立方程设，解得，‎ 不妨设，则 ‎，‎ 因此Q点的坐标为，又，∴．‎ 故为定值．‎ 方法二：‎ 联立方程消去y得，‎ 因为，所以与异号．‎ 又，‎ ‎∴与异号，与同号，∴，解得．‎ 因此Q点的坐标为，又，∴．‎ 故为定值．‎ 四川文 ‎3．圆的圆心坐标是 ‎（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)‎ 答案：D 解析：圆方程化为，圆心(2，－3)，选D．‎ ‎21．（本小题共l2分）‎ 过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．‎ 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．‎ 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ‎，解得，代入直线的方程得 ，所以，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．‎ 设直线的方程为．代入椭圆方程得．‎ 解得，代入直线的方程得，‎ 所以D点的坐标为．‎ 又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得 因此，又．‎ 所以．‎ 故为定值．‎ 天津理 ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　　　Ｂ．‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．‎ ‎【解】解法1．由题设可得双曲线方程满足，即．‎ 于是．‎ 又抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则 ‎　　　　　　　，于是．‎ 所以双曲线的方程．故选Ｂ．‎ 解法2．因为抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则．由此排除Ａ，Ｃ．‎ 又双曲线的一条渐近线方程是，则，由此又排除Ｄ，故选Ｂ．‎ ‎13．已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为　　　　　　　　　．‎ ‎【解】．‎ 把直线（为参数）化为普通方程为，与轴的交点为．‎ 于是圆心的坐标为；‎ 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，‎ 因此．‎ 所以圆的方程为．‎ ‎20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且．求的值．‎ ‎【解】（Ⅰ）由得，再由得．‎ 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，‎ 所以，则，‎ 解方程组得．所以椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得.设点的坐标为，‎ 由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。‎ 于是两点的坐标满足方程组 由方程组消去并整理得 ，‎ 因为是方程的一个根，则由韦达定理有：，‎ 所以，从而。‎ 设线段的中点为，则的坐标为．‎ 下面分情况讨论：‎ ‎(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．‎ 于是，，由得．‎ ‎(2) 当时，线段的垂直平分线方程为 ‎　　　　．‎ 令得，由，，‎ ‎．整理得．．所以．‎ 综上，或．‎ 解法2．若轴，则,;‎ 若直线的中垂线斜率存在,设，‎ 则直线中垂线方程： ．‎ ‎　　令，则，‎ ‎　　因为在椭圆上，则，‎ ‎　　因此．‎ ‎　　．‎ ‎　　整理得，解得，（舍）．‎ ‎　　，所以．‎ ‎　　于是．综上，或．‎ 天津文 ‎13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．‎ ‎【解】．‎ 由题设可得双曲线方程满足，即．‎ 于是．又抛物线的焦点为，则．与 ‎，于是．所以双曲线的方程． ‎ ‎14．．已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆 的方程为　　　　　　　　　．‎ ‎【解】．‎ 直线与轴的交点为．‎ 于是圆心的坐标为；‎ 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，‎ 因此．‎ 所以圆的方程为．‎ ‎21．（本小题满分分）‎ 已知椭圆的离心率 ‎．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．‎ ‎(ⅰ) 若,求直线的倾斜角;‎ ‎(ⅱ)点在线段的垂直平分线上，且．求的值．‎ ‎【解】（Ⅰ）由得，再由得．‎ 因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，‎ 所以，则，‎ 解方程组得．所以椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得.设点的坐标为，‎ 由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。‎ 于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得 ‎，因为是方程的一个根，则由韦达定理有 ‎，所以，从而．‎ ‎，由，得，‎ 整理得　，，所以．‎ 所以直线的倾斜角为或．‎ ‎(ⅱ)线段的中点为，则的坐标为．‎ 下面分情况讨论：‎ ‎(1) 当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．‎ 于是，，由得．‎ ‎(2) 当时，线段的垂直平分线方程为 ‎．令得 由，，‎ ‎．整理得．．所以．‎ 综上，或．‎ 浙江理8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则 ‎ A． B． C． D．‎ C ‎17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 ．‎ ‎21．（本题满分15分）‎ 已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，‎ 交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的 方程 ‎21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 ‎（II）解：设，则题意得，‎ 设过点P的圆C2的切线方程为，即 ①‎ 则即，‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ‎，将①代入 由于是此方程的根，故，所以 由，得，‎ 解得即点P的坐标为，所以直线的方程为 浙江文（9）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于两点．若C1恰好将线段三等分，则 ‎ A．a2 = B．a2=‎13 ‎ C．b2= D．b2=2‎ C ‎（12）若直线与直线互相垂直，则实数=_____________________1‎ ‎（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：‎ 于两点。‎ ‎ （Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：‎ ‎ 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：‎ ‎ （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。‎ ‎ 再设A，B，D的横坐标分别为 ‎ 过点的抛物线C1的切线方程为：‎ ‎ （1）‎ ‎ 当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：‎ ‎ 可得 ‎ 当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：‎ ‎ 可得 ‎ ，所以 ‎ 设切线PA，PB的斜率为，则 ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ 将分别代入（1），（2），（3）得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 又，即 ‎ 同理，‎ ‎ 所以是方程的两个不相等的根，从而 ‎ 因为，所以 ‎ 从而，进而得 ‎ 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为 重庆理（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 B ‎（A） （B） (C) (D) ‎ ‎（15）设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ ‎（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.）‎ ‎ 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由 ‎ ‎20．（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的 标准方程为 ‎ （II）设，则由得 因为点M，N在椭圆上，所以，‎ 故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 重庆文9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 B ‎ A． B． C． D．，‎ ‎13．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 ‎ ‎21.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 题（21）图 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎