全国高考理科数学试题分类汇编word解析版可编辑十二直线与圆逐题详解 7页

‎2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)‎ ‎ 十二、直线与圆（逐题详解）‎ ‎ 第I部分 ‎ ‎1.【2014年安徽卷（理10）】在平面直角坐标系中，已知向量a，b，|a||b|，a·b，点满足ab，曲线ab，区域，若为两段分离的曲线，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】向量a，b是一组标准正交基，可坐标化向量ab，所以曲线是一个单位圆。同理区域是以为圆心、半径范围为的圆环。因为为两段分离的曲线，由图易得 ‎2.【2014年福建卷（理06）】直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ ‎ 　 A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 ‎　 C． 充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，‎ 则圆心到直线距离d=，|AB|=2，‎ 若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成 立，即充分性成立．‎ 若△OAB的面积为，则S==×2×==，‎ 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．‎ 故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A ‎3.【2014年天津卷（理06）】如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是 A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF ∽△BDF.∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．‎ ‎4.【2014年江西卷（理09）】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】原点O到直线的距离为，则，点C到直线的距离是圆的半径，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角中三角形中，圆C过原点O，即，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点，为准线，所以，，所以选A。‎ ‎5.【2014年上海卷（理17）】 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是 （ ）‎ ‎(A) 无论如何，总是无解. (B) 无论如何，总有唯一解.‎ ‎(C) 存在，使之恰有两解. (D) 存在，使之有无穷多解.‎ ‎【答案】B ‎【解析】：由已知条件，，‎ ‎，∴有唯一解，选B ‎ 第II部分 ‎ ‎6.【2014年陕西卷（理12）】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎7.【2014年重庆卷（理13）】已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.‎ ‎ 【答案】4+‎ ‎ 【解析】易知该等边三角形的边长为，圆心到直线的距离为等边三角形的高，即：‎ ‎8.【2014年重庆卷（理14）】过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线，分别交圆于，，若，AC=8，BC=9，则AB=________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设，由知：‎ ‎,所以 ‎ ‎ ‎9.【2014年湖南卷（理12）】如图3，已知，是⊙的两条弦，，，，则⊙的半径等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设AD交BC于点D，延长AO交圆于另一点E，则，在中由勾股定理可得，再由相交弦定理得，从而直径，半径 ‎10.【2014年全国大纲卷（15）】直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，‎ 且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，‎ ‎∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，‎ ‎∴tan2θ===，故答案为：‎ ‎11.【2014年四川卷（理14）】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 方法1：‎ ‎，，因为，所以 故（当且仅当时取“”）‎ 方法2：‎ ‎12.【2014年全国新课标Ⅱ（理16）】设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 【解析】‎ ‎13.【2014年江苏卷（理09）】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”‎ 勾股定理，圆心为，，圆心到直线的距离，弦长==‎ ‎14.【2014年湖北卷（理12）】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，圆心到的距离为，圆心到的距离为，即，，所以，故.‎ ‎ 第III部分 ‎15.【2014年北京卷（理19）】（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ‎ ‎ 又，故 ‎ ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎