高考系列圆锥曲线综合题解答与训练 51页

一、动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．‎ 例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．‎ 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，‎ 则有 ，‎ 即 ，‎ ‎ ．‎ 整理得，这就是动点M的轨迹方程．‎ 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；‎ 若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．‎ 二、代入法 若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．‎ 例2 （1986年全国）已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．‎ 解：设，由题设，P分线段AB的比，‎ ‎∴ ‎ 解得.‎ 又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，‎ ‎∴ ‎ 整理得点P的轨迹方程为 其轨迹为抛物线．‎ 例3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（—，1）、B（，1），S△ABC=（平方单位），动点P在曲线E（y≥1）上运动，若曲线E过点C且满足|PA|+|PB|的值为常数.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.‎ ‎（Ⅰ）解：∵|AB|=2，S△ABC=|AC|·|AB|=，∴|AC|=1.但|BC|2=|AC|2+|AB|2，从而|BC|=3 .又|PA|+|PB|=|AC|+|BC|=4>2，∴P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y≥1）上. ∴曲线E的方程为 ‎（Ⅱ）设直线l：y=x+m ,代入E的方程，消x ,可得3y2-2(m+2)y +m2-2 =0 .令f(x)= 3y2-2(m+2)y +m2-2 .方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有 解之，得. ‎ 设PQ的中点为M（x ,y ），P、Q两点的坐标分别为P（x1 ,y1）,Q（x2 ,y2）,‎ 将m=3y-2代入y=x+m得 y =即为M点的轨迹方程.‎ 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．‎ 例4 （1986年广东）若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．‎ 例5 （1993年全国）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为 ‎（A）抛物线 （B）圆 ‎（C）双曲线的一支 （D）椭圆 解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有 动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．‎ 四、参数法 若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．‎ 例6（1994年上海）设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．‎ ‎（A）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．‎ 解：（1）设所求椭圆方程为 由题意得 解得 ‎ 所以椭圆方程为 ‎．‎ ‎(2)设点解方程组 得 ‎ 由和得 其中t＞1．‎ 消去t，得点P轨迹方程为 和．‎ 其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．‎ 五、交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．‎ 例7 （1985年全国）已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．‎ 解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则 PA：‎ QB：‎ 消去t，得 当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是 以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．‎ 试题练习 ‎1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。‎ 解：设MN切圆C于N，则。设,则 ‎ 化简得 （1） 当时，方程为，表示一条直线。‎ 当时，方程化为表示一个圆。1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。‎ ‎2.如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。‎ 解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）‎ 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 ②‎ 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0‎ ‎3如图,圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.‎ 解：作直线O1O2，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，‎ 连结O1M、O2N，设P点坐标为(x,y).‎ ‎∵PM、PN分别为⊙O1、⊙O2的切线，∴O‎1M⊥PM,O2N⊥PN. ∴△PO‎1M，△PO2N为直角三角形. ∴PO12=PM2+O‎1M2‎=PM2+1, PO22=PN2+O2N2=PN2+1. ∵PM=PN,∴PM2=2PN2. ∴PO12=2PN2+1, ① 2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2. ② 由②-①得2PO22-PO12=1.‎ ‎∵PO22=(x-2)2+y2,PO12=(x+2)2+y2, ∴2［(x-2)2+y2］-［(x+2)2+y2］=1. ‎ ‎∴2x2-8x+8+2y2-x2-4x-4-y2-1=0.∴x2-12x+y2+3=0. ∴(x-6)2+y2=33.‎ ‎4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。‎ 解：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，‎ 将圆方程分别配方得：，，‎ 当与相切时，有 ①‎ 当与相切时，有 ②将①②两式的两边分别相加，得，即 ③‎ 移项再两边分别平方得： ④‎ 两边再平方得：，整理得，‎ 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆.‎ ‎（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴，，∴，，∴，∴圆心轨迹方程为。‎ 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法.‎ ‎5经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。‎ 解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。‎ ‎6.已知两定点Ａ、Ｂ，且｜ＡＢ｜＝2ａ（ａ∈Ｒ＋）． 　　（1）若动点Ｍ与A、Ｂ构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程； 　　（2）若动点M满足条件∠ＭＢＡ＝2∠ＭＡＢ，求点M的轨迹方程． 　　讲解：题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解． 　　因Ａ、Ｂ为两个定点，故取ＡＢ所在的直线为ｘ轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（－ａ，0）、（ａ，0）．‎ 图8-6‎ ‎ 　　（1）设点M的坐标为（ｘ，ｙ），则动点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜ＡＭ⊥ＭＢ，且M不在直线ＡＢ上｝． 　　由ＡＭ⊥ＭＢ，得｜ＡＭ｜2＋｜ＭＢ｜2＝｜ＡＢ｜2，即 　　 　　＝（2ａ）2，且ｙ≠0．　　　① 　　化简，得ｘ2＋ｙ2＝ａ2（ｙ≠0）．　　　② 　　或者由ＡＭ⊥ＭＢｋＭＡ·ｋＭＢ＝－1，得 　　ｙ／（ｘ＋ａ）·ｙ／（ｘ－ａ）＝－1，　　　③ 　　化简，得ｘ2＋ｙ2＝ａ2（ｘ≠±ａ）．　　　④ 　　（2）设∠ＭＡＢ＝α，∠ＭＢＡ＝β，则点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜β＝2α｝．　　　⑤ 　　考虑到ｔｇβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论． 　　Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有ｔｇβ＝ｔｇ2α．　　　⑥ 　　而0≤α＋β＜π，β＝2α，∴　0≤α＜（π／3）． 　　又由α＜β知ｘ＞－ａ．　　　⑦ 　　根据点M与ｘ轴的相对位置，以下又可分为（ｉ）、（ｉｉ）两种情形： 　　（ｉ）当ｙ≥0时，ｔｇα＝ｋＭＡ＝ｙ／（ｘ＋ａ）（ｘ≠－ａ）， 　　ｔｇβ＝－ｔｇ（π－∠ｘＢＭ）＝－ｋＭＢ＝ｙ／（ａ－ｘ）（ｘ≠ａ）． 　　由ｔｇβ＝ｔｇ2α，得ｙ／（ａ－ｘ）＝（2·（ｙ／（ｘ＋ａ）／1－（（ｙ／ｘ＋ａ））2），　　　⑧ 　　整理得ｙ（3ｘ2－ｙ2＋2ａｘ－ａ2）＝0．　　　⑨ 　　（ｉｉ）当ｙ＜0时，同理可得上式． 　　Ⅱ．又ｘ＝ａ时，ｔｇβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），Ｍ仍为所求轨迹上的点． 　　∵　1＝ｔｇ（π／4）＝ｔｇα＝±ｙ／（ｘ＋ａ）＝±（ｙ／2ａ）， 　　∴　ｙ＝±2ａ， 　　∴点（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上． 　　容易验证点（ａ，2ａ）与（ａ，－2ａ）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为 　　ｙ＝0（－ａ＜ｘ＜ａ）或3ｘ2－ｙ2＋2ａｘ－ａ2‎ ‎＝0（ｘ＞－ａ）． 　　从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去ｙ，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对ｘ的范围加以限制，即ｘ≠±ａ，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、Ｂ构成三角形，M不在AB上，须加限制条件ｙ≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．‎ ‎7.椭圆的方程为（ｘ2／ａ2）＋（ｙ2／ｂ2）＝1，Ａ1、Ａ2分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引Ａ1Ｑ⊥Ａ1Ｐ，Ａ2Ｑ⊥Ａ2Ｐ. 　　设Ａ1Ｑ与Ａ2Ｑ相交于点Q，求Q点的轨迹方程． 　　讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解． 　　思路1．设Ｑ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ1，ｙ1），如图8-4，A1的坐标为（－ａ，0），Ａ2的坐标为（ａ，0）．‎ 图8-4‎ ‎∵点P（ｘ1，ｙ1）在椭圆（ｘ2／ａ2）＋（ｙ2／ｂ2）＝1上， 　　∴　（ｘ12／ａ2）＋（ｙ12／ｂ2）＝1．　　　① 　　欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此， 　　须寻求ｘ1、ｙ1与ｘ、ｙ之间的关系． 　　∵Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ1＋ａ）／ｙ1（ｘ＋ａ），　　　② 　　Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ1－ａ）／ｙ1（ｘ－ａ），　　　③ 　　即ｙ1ｙ＝－ｘ1ｘ－ａｘ－ａｘ1－ａ２，　　　④ 　　ｙ1ｙ＝－ｘ1ｘ＋ａｘ＋ａｘ1－ａ２，　　　⑤ 　　联立④⑤，解得　ｘ1＝－ｘ．　　　⑥ 　　由①得ｘ12＝ａ2（1－（ｙ12／ｂ2））．　　　　　⑦ 　　将④⑤代入Ａ1Ｑ的方程，得 　　ｙ＝（ｘ12－ａ2）／ｙ1＝（－（ａ2／ｂ2）ｙ12）／ｙ1＝－（ａ2／ｂ2）ｙ1 　　∴　ｙ1＝－（ｂ2／ａ2）ｙ．　　　⑧ 　　将⑥⑧代入①，并整理，得 　　（ｘ2／ａ2）＋（ｂ2ｙ2）／ａ4＝1． 　　这就是Q点的轨迹方程． 　　以上是将两个参数ｘ1、ｙ1逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得 　　ｙ2＝（（ｘ12－ａ2）／ｙ12）（ｘ2－ａ2）． 　　把ｙ１2＝（ｂ2／ａ2）（ａ2－ｘ１2）代入便可将参数一次消去． 　　思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程． 　　设点P的坐标为（Ａｃｏｓθ，Ｂｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），则 　　直线Ａ1‎ Ｑ的方程为 　　ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ＋1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ＋ａ），　　　① 　　直线Ａ２Ｑ的方程为 　　ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ－1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ－ａ）.　　　② 　　①×②，消去θ，得 　　ｙ２＝（ａ2（ｃｏｓ2θ－1）／（ｂ2ｓｉｎ2θ）（ｘ2－ａ2） 　　＝－（ａ2／ｂ2）（ｘ2－ａ2）， 　　即（ｘ2／ａ2）＋（ｂ2ｙ2）／ａ4＝1． 　　这就是所求Q点的轨迹方程． 　　思路2用参数法求Q点的轨迹方程， 　　在消参数时，整体处理，化繁为简，‎ ‎8、（满分14分）设分别为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量，，，，，；‎ （1） 求动点P（x，y）的轨迹方程；‎ （2） 已知点，与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数的值；若不存在，试说明理由。‎ ‎、解：（1）由，………2分 记，；‎ 而，故P 的轨迹为椭圆的一部分，其中，‎ 动点的轨迹方程为。…………………………7分 ‎（2）将 整理得： （1）‎ 设，则由(1)式得 ‎ (2) ……………(9分)‎ 依设，‎ 即，‎ 将代入上式得 ‎，再将(2)式代入并整理得 ‎……(12分)‎ ‎……(14分)‎ 二、 圆锥曲线简单的几何性质(略) 〖要重视与离心率、渐近线相关的一些问题及焦半径公式的应用〗‎ ‎〖焦半径、焦点弦问题〗‎ （1） 椭圆焦半径公式：在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：‎ ‎①|PF1|=a+ex0 ② |PF2|=a-ex0 .过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦.‎ ‎（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：①当P点在右支上时，；‎ ‎②当P点在左支上时，；（e为离心率）‎ ‎（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px （p<0）上任意一点，F为焦点，则；‎ 抛物线y2=2px （p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：①＝x1+x2+p；②y1y2=－p2，x1x2=.‎ ‎（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p； 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b.‎ ‎1.设曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴、y轴正方向分别平行移动t、s单位长度后得到曲线C1， ①写出曲线C1的方程; ②证明曲线C与C1关于点A()对称. ③如果曲线C与C’有且仅有一个公共点，证明:s＝－t且t≠0.‎ ‎.①解:曲线C’的方程为 y＝(x－t)3－(x－t)＋s ‎②证明:在曲线C上任取一点B’(x’，y’)，设B"(x"，y")使B’关于A的对称点，则有 ‎ (x’＋x")/2＝t/2 (y’＋y")/2＝s/2‎ ‎ ∴x’＝t－x" y’＝s－y"‎ ‎ 代入曲线C的方程，得x"和y"满足方程:‎ ‎ s－y"＝(t－x")3－(t－x")‎ ‎ 即 y"＝(x"－t)3－(x"－t)＋s ‎ 可知点B’(x"，y")在曲线C’上.‎ ‎ 反过来，同样可以证明，在曲线C’上的点关于点A的对称点在曲线C上.‎ ‎ 因此，曲线C与C’关于点A对称.‎ ‎③证明:因为曲线C与C’有且仅有一个公共点，所以方程组 ‎ y＝x3－x ‎ y＝(x－t)3－(x－t)＋s 有且仅有一组解，消去y，整理得 ‎ 3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0‎ 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.‎ 所以t≠0并且其根的判别式 △＝9t4－12t(t3－t－s)＝0‎ 解得 s＝t3/4－t且t≠0.‎ ‎2.直线Ａｘ＋Ｂｘ＋Ｃ＝0（Ａ·Ｂ·Ｃ≠0）与椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥ＯＱ，求证：ａ２ｂ２／ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）． 将Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0， 　　变形为1＝－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ代入椭圆方程，得 　　ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ）２， 　　整理得（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）ｙ２＋2ＡＢａ２ｂ２ｘｙ＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）ｘ２‎ ‎＝0， 　　（1）当ｘ＝0时，显然成立； 　　（2）当ｘ≠0时，同除以ｘ2得 　　（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）（（ｙ／ｘ）２＋2ＡＢａ２ｂ２（ｙ／ｘ）＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）＝0，　则方程的两根为ＯＰ、OQ的斜率． 　　因为ＯＰ⊥ＯＱ，所以－1＝（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）／（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）， 　　即　ａ２ｂ２／Ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）． ‎ ‎3.过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，求点Q的轨迹的离心率的取值范围 解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。‎ ‎4．设点P在双曲线过P点的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于P1、P2两点，‎ ‎，求此双曲线的方程.‎ 解：由双曲线方程知渐近线方程为 由 代入双曲线方程得 圆锥曲线训练 ‎1．（本大题满分14分）双曲线的两焦点分别是F1、F2，其中F1是抛物线的焦点，两点A（－3，2）、B（1，2）都在该双曲线上.（1）求点F1的坐标；（2）求点F2的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线；（3）若直线与F2的轨迹有且只有一个公共点，求实数t 的取值范围.‎ ‎（1）由 ‎ （2）∵A、B在双曲线上，∴||AF1|－|AF2||=||BF1|－|BF2||，若，点F2的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y=0时，F1与F2重合，当y=4时，A、B均在双曲线的虚轴上，故此时F2的轨迹方程为若，则 ‎ 此时，F2的轨迹是以A、B为焦点，，中心为（－1，2）的椭圆，其方程为 故F2的轨迹是直线，除去两点（－1，0）、（－1，4）.‎ ‎（3）由 又直线过点（－1，0）、（－1，4）时，t=1或t=5，∴t的范围为 ‎2．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程.‎ 解：(Ⅰ)设椭圆方程为(1分) 由‎2c=4得c=2,又，故(2分)‎ ‎,∴所求椭圆方程为(3分)‎ ‎（Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且,由,故有 ‎(5分)即①,又M相应的准线方程是，A到准线距离 ‎，B到准线距离(6分)，由及(7分)‎ 于是,∴得②‎ ‎②与①联立解得(8分) 代入椭圆方程得，∴直线AB的斜率 ‎(9分)，AB的方程为 (10分)，如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为.(12分)‎ ‎3．（本小题满分14分）在直角坐标系中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点F（c,0）（c为常数，且c>0），过F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆C于点N，四边形AOBN是平行四边形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断椭圆C与线段是否有公共点?‎ 本小题主要考查椭圆与直线的基础知识，考查综合运用所学知识解决问题的能力.满分14分.‎ 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程 ‎ 将 ‎ ①(2分)‎ 记 、、，则是方程①的两个不同的根，‎ ‎ （5分）‎ 又四边形AOBN是平行四边形，则N ‎ （8分）即 ‎ 故所求椭圆C的方程 （10分）‎ ‎（Ⅱ）将中，并整理得 则椭圆C与线段有公共点时，15c2取值范围等价于函数的值域.‎ 椭圆与线段有公共点.‎ ‎（14分）‎ ‎4．如图，已知线段|AB|=4，动圆O与线段AB切于点C，且|AC|－|BC|=2，过点A，B分别作⊙O的切线，两切线相交于P，且P、O均在AB的同侧.（Ⅰ ‎）建立适当坐标系，当O位置变化时，求动点P的轨迹E的方程； （Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN的面积的最小值.‎ ‎（本小题满分13分）（Ⅰ）以AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标，并设点P坐标为P（、），设PA、PB分别切⊙O′于E、F，则|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF| ∵|PA|－|PB|=|AC|－|BC|=2故点P 的轨迹为以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线右支（除去与轴交点）由题意， 故P点轨迹E的方程为： ‎ ‎（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线方程为及=2，注意到≠0，‎ ‎ ∴直线方程可写成 由直线与E交于M、N两点知 ‎ 由 ‎ ‎ 由||2=得：S△AMN=‎ ‎ 由，知∵函数在区间（0，－∞）上为增函数.‎ ‎ ∴,即时,(S△AMN)min=4‎ ‎5．（本小题满分12分）设正方形ABCD的外接圆方程为C、D点所在直线的斜率.（Ⅰ）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率； （Ⅱ）如果在轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程.‎ ‎（Ⅰ）解：由可知圆心M的坐标为（3，0）,依题意：‎ ‎∠ABM =∠BAM = MA，MB的斜率k满足：‎ 解得：.‎ ‎ （Ⅱ）设MB、MA的倾斜角分别为 ‎ 可以推出：‎ ‎ 再设 ‎ 设抛物线方程为由于A，B两点在抛物线上，‎ 得抛物线方程为 可知A点坐标为（1，1），且A点关于M（3，0）的对称点C的坐标是（5，－1）‎ 直线的方程为 ‎6．如图，已知双曲线C的方程为，离心率为.（1）求双曲线C的渐近线方程.（2）若AB是夹在渐近线位于一、四象限部分间的动弦，△AOB面积为定值，且 双曲线C过AB的一个三等分点P，试确定双曲线C的方程.‎ ‎（1）由题意知双曲线实轴在x轴上，由 ‎ ………………………………5分 ‎ ∴所求双曲线渐近线方程为.……………………………………………7分 ‎（2）由 ‎ 设A ‎ （*）…………………………………………………………………10分 ‎ 设P（x，y），由定比分点公式：‎ ‎ 代入（*）得：即为双曲线C的方程.……………………………14分 ‎7．（本小题满分14分）已知：如图，过椭圆作垂直于长轴A‎1A2的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线.（Ⅰ）求证：直线PA2、A1Q、l共点；（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（－c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线PA2、A1Q、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由方程组 ‎ 则点P……………………2分 ‎ 直线PA2的方程为…4分 ‎ 由方程组…………………………6分 ‎ 因为左准线l的方程为，所以直线PA2与A1Q的交点在l上.‎ ‎ 故直线PA2，A1Q，l相交于一点.………………………………………8分 ‎ （Ⅱ）设点P、Q的坐标分别为（.‎ ‎ 直线PA2，A1Q的斜率分别为k1,k2，则 ‎ 直线PA2的方程为 ‎ 直线A1Q的方程为 ‎ ‎ 解得交点的横坐标为 ‎ 即…………………………………………10分 ‎ 直线PQ的方程为 ‎ 消去（*）‎ ‎ 设M=方程（*）的二根为 ‎ 由韦达定理得：…………………12分 ‎ 点P，Q在直线PQ上，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为左准线l的方程为，所以直线PA2与A1Q的交点在l上.故直线PA2，A1Q，l 相交于一点.…………………………14分 ‎8．（12分）如图，线段AB（AB不与x轴垂直）过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0）端点A，B到x轴距离之积为‎2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线.‎ ‎（1）求抛物线方程；（2）若的取值范围.‎ ‎（1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为 ‎ 由|‎ ‎ 故所求抛物线方程为 ‎ （2）设 ‎ ‎ ‎ ①，平方后化简得 又由①知 的取值范围为 ‎9．直线交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）. （Ⅰ）若，且四边形OAPB为矩形，求a的值；（Ⅱ）若，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程.‎ 解（Ⅰ）设…………2分 ‎ ‎ ‎ ，………………………………4分 ‎ ……………………………………6分 ‎ （Ⅱ）设 ‎ 因为A、B在椭圆 ‎ 相减得……………………………………9分 ‎ 所以…………………………………………11分 ‎ ……………12分 ‎10．在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M， N两点，求|BM|·|BN|的最小值的集合. ‎ 解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a(a>0)为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， ∴焦距2c=AB=6 ……1分 ‎……2分 又此时，由题意得 ‎∴=25 ∴C点的轨迹方程为……3分 ‎ （注：没写扣1分：文科（Ⅰ）分别为2，3，3分，共8分）‎ ‎ （Ⅱ）（理）设M（x1, y1）， N(x2, y2 )，当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得显然有△≥0∴x1+x2=—， x1,x2=而由椭圆第二定义可得 |BM|·|BN|=（5—）（5—）=25－3（x1+x2） …2分 =25+ ‎ 只考虑的最小值，‎ 即考虑1—的最小值，易知当k=0时，1—取最小值 此时|BM|·|BN|取最小值16…2分 ‎ ‎ 当直线MN的倾斜角为90°时，x1=x2=－3得|BM|·|BN|=（）2‎ ‎＞16；……1分 但，故这样的M，N不存在，即|BM|·|BN|的最小值集合为空集……1分 ‎11．已知直线经过椭圆的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程.‎ 设椭圆焦距为‎2c，则………1分 ，代入y=x+k 得k=－1……2分 将y=x－1代入椭圆方程整理得：…………4分 ‎∵A、B点在直线l上，设 ∵AF1⊥BF1 又F1（－1，0）‎ ‎…………7分 由韦达定理，‎ 解得……10分 ‎ 为所求方程.…………12分 ‎12、(本小题满分14分)已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）,（1）求点（x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围。‎ 解：（1）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y)‎ ‎–=（x, 0）-(1,y)= (x-,– y)(+)(-) (+)·(-)=0(x+)( x-)+y·(-)=0 得- y2=1P点的轨迹方程为- y2=1 ………………（7分）（2）考虑方程组消去y，得（1–3k2）x2-6kmx‎-3m2‎-3=0(*)显然1-3k20 =(‎6km)2-4(1-3k2)( ‎-3m2‎-3)=12(m2+1-3k2)>0‎ ‎ …………………………（9分）设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=x0= y0=kx0+m=故AB中点M的坐标为（，）线段AB的垂直平分线方程为y-=（-）（x-）‎ 将D（0，–1）坐标代入，化简得：4=3k2-1 ………………………(11分)故m、k满足 ‎，x消去k2得：m2-4m>0‎ 解得：m<0或m>4 ……………………（13）‎ 又4m=3k2-1>-1 m>故 m(-,0)(4,+) ……………………（14）‎ ‎13.已知半圆动圆与此半圆相切且与x轴相切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；Ⅱ）是否存在斜率为的直线l，它与（Ⅰ）中所得轨迹的曲线由左至右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动圆圆心M（作MN⊥轴于N.……1分 ‎①若两圆外切，|MO|=|MN|+2， ‎ ‎ 化简得……4分 ‎②若两圆内切，|MO|=2－|MN| ‎ ‎ ‎ 综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 ‎ 其图像为两条抛物线位于轴上方的部分……7分 作简图如上……8分 ‎（Ⅱ）假设直线存在，可设方程依题意，它与曲线交于A，D.‎ ‎ 与曲线交于B，C 即 与 ‎ ‎ ① ②……9分 ‎ |AD|= |BC|= ∵|AD|=2|BC| ‎ ‎∴ 即 解得 ……11分 将代入方程①得 ……12分 ‎ ∵曲线中横坐标范围为∴这样的直线不存在.……14分 ‎14．已知平行四边形ABCD，A（－2，0），B（2，0）且|AD|=2（1）求平行四边形对角线AC，BD交点E的轨迹方程，并说明轨迹的形状;‎ ‎（2）过A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，且|MN|=，MN的中点P的横坐标为，求椭圆方程.‎ 解（1）由中位线定理可得：‎ ‎∴E的方程是 ‎（2）设椭圆方程为：‎ ‎ 椭圆：，又：‎ ‎15．已知圆C1的方程为椭圆C2的方程为，（a>b>0），C2离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，M是圆C1上的一点，且求直线AB的方程和椭圆C2的方程.‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 又 ‎17．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A为右顶点，射线y = x（x≥0）与椭圆C的交点为B.（1）写出以R（m，0）为顶点，A为焦点，开口向左的抛物线的方程；（2）当点B在抛物线上，且椭圆的离心率满足 时，求m的取值范围.‎ 解：（1）依题意A（1,0），设抛物线方程为 ‎ ∴抛物线的方程为……4分 （2）在椭圆C中， ∴‎ ‎ ∴……6分 由解得在抛物线上 ……7分 将B点坐标代入抛物线方程并整理得关于sinα的方程 ‎ ‎ …①‎ ‎ 由m＞1，上是增函数，因此要方程①在内有解的充要条件为 ‎ 故实数m的取值范围是 …12分 ‎18．如图：A、B是两个定点，且|AB|=2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）求证：点P到点B的距离与点P至直线k的距离之比为定值；（Ⅲ）若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标.‎ ‎（1）解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别是（－1，0），‎ ‎（1，0）.∵l为MB的垂直平分线，∴|PM|=|PB|，|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4.∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：+=1,‎ ‎（Ⅱ）证明：∵椭圆的右准线方程是x=4恰为直线k的方程.‎ 根据椭圆的定义知点P到点B 的距离与点P到直线k的 距离之比为离心率e=‎ ‎（Ⅲ）解：m=|PA|·|PB|≤=4当且仅当|PA|=|PB|时，m最大，这时点P在y轴上，故点P的坐标是：（0，）或（0，－）.‎ ‎19.（设点O是直角坐标系的原点，点M在直线上移动，动点在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|.（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）当p=1时，求|MN|的最小值.‎ ‎（Ⅰ）解；过点N作NN′⊥x轴于N′，设直线l与x轴交于M′.‎ 设N（x,y），（x>0）,则N′(x,0),M′(-p,0),‎ ‎∵M，O，N三点共线，‎ 由 ‎∵x>0,p>0,将上式整理化简为：‎ ‎（p2-1）x2+p2y2-2px-p2=0(x>0).（9分）‎ ‎（Ⅱ）解：p=1时，N点轨迹为y2=2x+1(x>0).(10分)‎ 设N（x,y）,M(-1,t).由M、O、N共线，得 ‎ 当且仅当时，等式成立.‎ ‎∴当x=1时，|MN|最小值为4.（16分）‎ ‎20．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中在距离O地‎5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时.‎ ‎．解：：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则 设N（x0，y0），‎ ‎……2分 又B（p，0），∴直线BC的方程为： 由得C的纵坐标……4分 ‎ ‎∴…6分 （2）由（1）得 ∴ ∴当且仅当 ‎ 时，上式取等号…11分 ∴当公里时，抢救最及时。……12分 ‎21（1991高考）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．(本小题满分12分)‎ 解法一：设双曲线的方程为=1．‎ 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 将②式代入①式，整理得 ‎(5b2－‎3a2)x2+‎6a2cx－(‎3a2c2+‎5a2b2)=0． ③ ——3分 设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－‎3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－‎3a2≠0．‎ 根据根与系数的关系，有 ‎ ④‎ ‎ ⑤ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为 P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．‎ 由OP⊥OQ得·=－1，‎ 整理得‎3c(x1+x2)－8x1x2－‎3c2=0． ⑥‎ 将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得 ‎3a‎4+‎8a2b2－3b4=0，‎ ‎(a2+3b2)(‎3a2－b2)=0．‎ 因为 a2+3b2≠0，解得b2=‎3a2，‎ 所以 c==‎2a． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．‎ 整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦‎ 将④，⑤式及b2=‎3a2，c=‎2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分 将a2 =1代入b2=‎3a2 得 b2=3．‎ 故所求双曲线方程为x2－=1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分 解方程③得x1=，x2= ④ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．‎ 由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0． ⑤‎ 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 ‎3a4+‎8a2b2－3b4=0，‎ 即 (a2+3b2)(‎3a2－b2)=0．‎ 因a2+3b2≠0，解得b2=‎3a2． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．‎ 即 (x2－x1)2=10． ⑥‎ 将④式代入⑥式并整理得 ‎(5b2－‎3a2)2－‎16a2b4=0． ——10分 将b2=‎3a2代入上式，得a2=1，‎ 将a2=1代入b2=‎3a2得b2=3．‎ 故所求双曲线方程为 x2－=1． ——12分 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力 ‎22（本题满分13分）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、.‎ ‎⑴求证:△不是直角三角形；‎ ‎⑵当的斜率为时，抛物线上是否存在点，使△为直角三角形且为直角？在轴下方）？ 若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）∵焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为，‎ 代入抛物线得：，则有，…………………（2分）‎ 进而.…………………（4分）‎ 又，‎ 得为钝角，故△不是直角三角形。…………………（6分）‎ ‎（2）由题意得AB的方程为，代入抛物线 求得…………………（8分）‎ 假设抛物线上存在点C（），使△为直角三角形且为直角，‎ 此时，以为直径的圆的方程为，将A、B、C三点的坐标代入得：‎ 整理得：…………………（10分）‎ 解得对应点，对应点………………（12分）‎ 则存在使△为直角三角形。‎ 故满足条件的点C有一个：…………………（13分）‎ ‎23（本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值。‎ 解：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ ‎24．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。‎ 解：设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心 圆心为，的斜率 由知，即，解得，故 所以 设为上一点，则在该点处的切线方程为即 若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即 ‎，化简可得 求解可得 抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 ‎① ② ③‎ ‎②－③得，将代入②得，故 所以到直线的距离为。‎ ‎25.（2011广东卷第21题）在平面直角坐标系上，给定抛物线：，实数、满足，，是方程的两根，记。‎ ‎⑴ 过点作的切线交轴于点。证明：对线段上的任一点，有；‎ ‎⑵ 设是定点，其中、满足，，过作的两条切线，，切点分别为，，、与轴分别交于、，线段上异于两端点的点集记为。证明：；‎ ‎⑶ 设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）。‎ 解：⑴ 证明：由已知知点在上，过点的的切线的斜率为 ‎∴直线的方程为：‎ 设点 ‎∴‎ ‎∵为线段上的任一点 ‎∴‎ ‎∴方程，即方程的两根 ‎∴‎ ‎∵为线段上的任一点 ‎ 当时，‎ Ⅰ 当时 此时 ‎∴‎ Ⅱ当时 此时 ‎∴‎ ‎ 当时，‎ Ⅰ 当时 此时 ‎∴ ‎ Ⅱ当时 此时 ‎∴‎ 综上所述，对线段上的任一点，有。‎ ‎⑵ 证明：‎ 由已知有直线的方程为：‎ 由已知有直线的方程为：‎ ‎∴‎ 解得 ‎ 当时，‎ 由“⑴”有：‎ ‎ 当时，‎ 由“⑴”有：‎ 综上所述，‎ ‎⑶ 当时，设过点的的切线的斜率为，其中 为切点处的横坐标 ‎∴该切线方程为：‎ ‎∵为该切线上的点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎ 当时，‎ 即 ‎ 当时，‎ 又 ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述，‎ 又由“⑴”有：‎ ‎∴‎ ‎26. 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (00，故点Q的轨迹方程为 ‎(其中x，y不同时为零)．‎ 所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．‎ 解法二：由题设知点Q不在原点．设P，R，Q的坐标分别为(xp，yp)，(xR，yR)，(x，y)，其中x，y不同时为零．‎ 设OP与x轴正方向的夹角为α，则有 ‎ xp=|OP|cosα，yp=|OP|sinα；‎ ‎ xR=|OR|cosα，yR=|OR|sinα；‎ x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα；‎ 由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程组 ‎， ⑤‎ ‎， ⑥‎ 将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q的轨迹方程为 ‎(其中x，y不同时为零)．‎ 所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点．‎ 练习题一 一、选择题 ‎1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 ‎2.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A‎1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题 ‎3.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________.‎ ‎4.高为‎5 m和‎3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距‎10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.‎ 三、解答题 ‎5.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.‎ ‎6.双曲线=1的实轴为A‎1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.‎ ‎7.已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.‎ ‎(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；‎ ‎(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.‎ ‎8.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.‎ ‎(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；‎ ‎(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.‎ 参考答案 一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,‎ 即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.‎ 答案：A ‎2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)‎ ‎∵A1、P1、P共线，∴‎ ‎∵A2、P2、P共线，∴‎ 解得x0=‎ 答案：C 二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,‎ ‎∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.‎ 答案：‎ ‎4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.‎ 答案：4x2+4y2－85x+100=0‎ 三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|‎ ‎=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)‎ ‎6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).‎ ‎∵A1(－a,0),A2(a,0).‎ 由条件 而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.‎ 即b2(－x2)－a2()2=a2b2‎ 化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).‎ ‎7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),‎ 则A1P的方程为：y= ①‎ A2Q的方程为：y=－ ②‎ ‎①×②得：y2=－ ③‎ 又因点P在双曲线上，故 代入③并整理得=1.此即为M的轨迹方程.‎ ‎(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.‎ ‎(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；‎ ‎(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.‎ ‎8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，‎ ‎∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|‎ 又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).‎ ‎|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=‎2a,则(x1+c)2+y12=(‎2a)2.‎ 又 得x1=2x0－c,y1=2y0.‎ ‎∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.‎ 故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)‎ ‎(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB 当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.‎ 此时弦心距|OC|=.‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=45°，‎ 练习题二 ‎1．设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、 分别是双曲线的左、右焦点．若，则 （ C ）‎ ‎ （A）或 （B）6 （C）7 （D）9‎ ‎2． 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是 （ B ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 （ A ）‎ ‎（A）充要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 ‎4．以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是y2=-36(x-4)‎ ‎ 5．设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒 数，则该椭圆的方程是 ‎ ‎6．若实数满足，则的取值范围是 ‎ ‎7．已知抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点，若的垂直平分线与轴交于，‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）能否是直角三角形？若能，求的值，若不能，请说明理由．‎ 解：1）由题知，M（-1，0），因为直线AB的斜率存在，故可设AB方程为：‎ ‎，AB的中点，由 所以，‎ ‎，所以AB的垂直平分线方程为：令得 ‎（2）如果三角形ABE为直角三角形，因EA=EB，所以角AEB为直角，且 ‎，‎ 所以当时，三角形ABE为直角三角形.‎