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- 2021-05-13 发布
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《圆锥曲线》形成性测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1） 到两定点和的距离之和为的点的轨迹是
（A）椭圆 （B）线段 （C）圆 （D）双曲线
（2） 设实数，椭圆的长轴是短轴的两倍，则的值是
（A）2或 （B）2 （C） （D）
（3） 已知是经过抛物线焦点的一条弦，，则中点的横坐标是
（A） （B） （C） （D）
（4） 为双曲线上一点，是一个焦点，则以为直径的圆与圆的位置关系是
（A）内切 （B）外切
（C）内切或外切 （D）无公共点或相交
（5） 已知点是双曲线上任意一点，分别是双曲线的左右顶点，则的最小值
（A） （B） （C） （D）
（6） 设是椭圆（）的左、右焦点，为直线上一点，
是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（7） 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若，则该双曲线的离心率为
（A）
（B） （C） （D）
（1） 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为
（A） （B） （C） （D）
（2） 已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（3） 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的一条渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
（4） 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（5） 已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题4小题，每小题5分．
（6） 某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A（－2，2），B（），则曲线C的离心率等于 ．
（7） 已知椭圆：的焦点，过点作斜率为的直线与椭圆
相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为 ．
（1） 双曲线过其左焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，若双曲线右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为___________.
（2） 已知为抛物线上一个动点，Q为圆，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（3） （本小题满分10分）
设抛物线的顶点在原点，准线方程为．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过抛物线焦点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于A、C、B、D，求四边形ABCD面积的最小值．
（4） （本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，若在线段上存在点，使得，求实数的取值范围？
（5） （本小题满分12分）
已知双曲线C：（）的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过C上一点（）的直线l：与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，当点P在C上移动时，求的值．
（6） （本小题满分12分）
已知抛物线的准线与轴交于点，过点作圆
的两条切线，切点为，．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过抛物线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若（为原点）三点共线，求点的坐标．
（1） （本小题满分12分）
如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若对任意>0，总有成立，求的值．
（2） （本小题满分12分）
在椭圆: 上任取一点，过作轴的垂线，为垂足，点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于，交曲线C于，当最大时，
求．
《圆锥曲线》形成性测试卷参考答案
一、 选择题
（1） B．
解析：到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是线段．
（2） A．
解析：椭圆方程可化为，所以或，所以或．
（3） C．
解析：设，，则，又，所以，所以点的横坐标是．
（4） C．
解析：不妨设点在双曲线的右支，若为右焦点，为左焦点，则以为直径的圆的圆心为的中点，半径，则两个圆的圆心距为，所以，所以两个圆外切．若为左焦点，为右焦点，则以为直径的圆的圆心为的中点，半径，则两个圆的圆心距为，所以，所以两个圆内切．
（5） B.
解析： A点坐标为，B点坐标为，设点P坐标为，则，，故，而，故最小值为0
（6） C．
解析：根据题意，一定有∠PF1F2＝30°，且∠PF2x＝60°，故直线PF2的倾斜角是，
设直线x＝a与x轴的交点为M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，
所以|F1F2|＝2|F2M|.所以2c＝2，即4c＝3a，故e＝＝
（1） C．
解析：双曲线的一条渐近线方程为，因为圆心为，半径为，由，可知圆心到直线的距离为，于是，解得，于是，所以．
（2） B．
解析：由抛物线的定义知，==3，解得=2，所以=，
所以的面积为==．
（3） B．
解析：由于抛物线和椭圆有相同的焦点，因此，不妨设是第一象限的点，椭圆的左焦点设为，把代入抛物线方程得，故，即，，由于是直角三角形，，整理得，即，
解得．
（4） A．
解析：由双曲线的定义得，
所以，即，
所以，即，解得，
所以双曲线一条渐近线方程为．
（5） C．
解析：由题意，设，，其中一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，设关于渐近线的对称点为，与渐近线的交点为，因此得，是的中点，是的中点，因此，因此是直角，由勾股定理得，，，，得．
（1） A．
解析：椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，由于自椭圆左、右顶点所作圆的切线形成的角最小，所以，，即，所以，又，所以．
二、填空题
（2） ．
解析：设曲线方程为 将（－2，2），（）代入可得解得C的方程为，离心率．
（3） ．
解析：设，则由
两式相减可得，整理得，又因为，
所以，，椭圆C的标准方程为．
（4） ．
解析:（解法1）由题知，若使双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，
则应有：
，又.
（解法2）（几何法）只须，即，故.
又.
（1） ．
解析：由题意知，圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为．根据抛物线的定义，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和即点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之和，
因此．
三、解答题
（2） 解：（Ⅰ） 由题意准线方程为的抛物线可设为，
由，得，
所以抛物线方程为． …………………4分
（Ⅱ）设过F的直线方程为，，，
由得，…………………6分
由韦达定理得，，
所以，
同理．……………………………………8分
所以四边形的面积，
即四边形面积的最小值为8． ……………………………………10分
（3） 解：（Ⅰ） 由e＝，得＝，即c＝a … ①
又因为以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线相切，
a＝，代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝1.
椭圆的方程为
（Ⅱ） 设直线，，中点
由，可得，则
所以，
因为所以，即，即
所以.因为，所以
故：的取值范围是.
（1） 解：（Ⅰ），．
且，………………………………………3分
即，，
即双曲线方程为．…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
则直线的方程为，即．
因为直线AF的方程为，
所以直线l与AF的交点 ， ………………………………………7分
直线l
与直线的交点为．……………………………………8分
因为是上一点，则得，
所以．
…………………………………………………………………………………12分
（1） 解：（Ⅰ）由已知得，．
如图，设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．
于是．……………………3分
由，得，
所以，即，解得．
故抛物线E的方程为．…………………………………………6分
（Ⅱ）如图，设．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为，
即． ①
又圆C方程为， ②
由②－①得． ③…………9分
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以，解得．
又点N在抛物线E：上，
所以点N
的坐标为或．……………………………………12分
（1） 解：（Ⅰ），
可化为，可求得．……………………5分
（Ⅱ）成立等价于四边形为平行四边形，亦即线段与互相平分，即为的中点．
假设存在，由，所以可设，
由得，………7分
因为为的中点，所以由韦达定理得，
因为为的中点，所以，……………………9分
因为在椭圆上，代入椭圆方程得
，所以，解得．
经检验，符合题意．………………………………………………………12分
（2）
设，，则
所以，
因为，所以，即
因为点在椭圆上，所以，
得曲线的方程为：．
（Ⅱ）当斜率不存在是，
当斜率存在时，设直线方程为，
联立椭圆方程可得，
解得，，
所以，
所以
当且仅当，即时等号成立
所以的最大值为，因为，所以
当时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
由垂径定理得．
《圆锥曲线》平行性测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1） 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（2） 已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为
（A）4 （B）8 （C）12 （D）16
（3） 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（4） 已知抛物线的焦点到准线的距离为，则的值是
（A） （B） （C） （D）
（5） 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（6） 已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是
（A）（
） （B）（）
（C）（，） （D）（，）
（1） 抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若三角形的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则的值为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（2） 已知分别是双曲线：的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若双曲线的离心率为5，则等于
（A） （B） （C） （D）
（3） 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若，则等于
（A） （B） （C） （D）
（4） 已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦AB的中点到准线的距离为
（A） （B） （C）2 （D）1
（5） 已知点是双曲线：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交两点，点恰好平分线段，则双曲线的离心率是
（A） （B）2 （C） （D）
（6） 已知双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点的内切圆在边上的切点为，若
|，则双曲线的离心率是( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题4小题，每小题5分．
（1） 双曲线的焦距为________．
（2） 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的最大值是_____．
（3） 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是的等边三角形，则此抛物线方程为 ．
（4） 已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（5） （本小题满分10分）
已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若点在椭圆上，点在轴上，且，求直线方程．
（6） （本小题满分12分）
已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切圆的方程．
（7） （本小题满分12分）
已知点是圆上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与，交于，两点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）直线
经过，与抛物线交于，两点，与交于，两点．当以为直径的圆经过时，求．
（1） （本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线（）交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
（I）求；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
（2） 已知抛物线C：的焦点为F，直线与轴的交点为P，与C的交点为Q，且．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程．
（3）
（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
《圆锥曲线》平行性测试卷参考答案
一、选择题
（1） A．
解析：由题设，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．
（2） B．
解析：直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
（3） B．
解析：由题意得，所以椭圆的离心率．
（4） A．
解析：化为标准方程是，则，所以.
（5） B．
解析：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为，设点到准线的距离为，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，所以最小值为．
（6） A．
解析：依题意得，，，
所以，所以．
（7） D．
解析：依题意得，的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆的半径等于，又因为圆心在的垂直平分线上，，
所以，解得．
（8） C．
解析：设，，则，由于为直角三角形，
因此
，又，所以，解得，
所以．
（1） B．
解析：因为，所以，过点作，垂足为，则轴，所以，所以，由抛物线定义即．
（2） A．
解析：抛物线的焦点坐标，准线方程．
设，，直线的方程为
由，消去得：
所以，因为，所以，所以
所以，中点的横坐标，所以中点到准线的距离为．
（3） A．
解析：在中，点恰好评分线段，点恰好平分线段，所以，又的斜率为，所以．
在中，设，，根据双曲线的定义有，
又在直角三角形，，所以，
所以，所以，所以．
（1） B．
解析：如图，因为，的内切圆在上的切点为，所以根据切线长定理可得，，，因为，所以，所以，所以，所以
二、填空题
（2） ．解析：由双曲线－＝1，知c2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
（3） 8．
解析：，当且仅当时等号成立．
（4） ．
解析：为等边三角形，，由抛物线的定义得抛物线的准线，设，则点，焦点，由于是等边三角形，，得因此抛物线方程．
（5） 16．
解析：由椭圆方程，得 所以，
点分别是线段的中点，
所以分别是的中位线，
所以
，
因为点在椭圆上，所以，
所以．
三、 解答题
（1） 解：（Ⅰ），，
设椭圆方程为，……………………2分
，．
所以椭圆方程为．……………………………………5分
（Ⅱ）设, ，则，，
，，
即，，………………………7分
代入椭圆方程得，
，直线AB方程．……………………………………10分
（2） 解：（Ⅰ）由题知，…………………………………2分
椭圆的焦点，，
所以，
椭圆C的方程为．…………………………………5分
（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得，，的面积为3，不符合题意．
②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为
．
代入椭圆方程得，…………………………7分
显然成立，设，，
则，，
可得．…………………………………9分
又圆的半径，
∴的面积=，
化简得，解得得，
∴．……………………………………………………………………11分
因此圆的方程为．…………………………………12分
（1） 解：（Ⅰ）由题意得，圆的半径为，且，
从而，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，…………………………………………3分
长轴长，所以，焦距，则，
因此椭圆方程为．………………………6分
（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，，又，
此时，所以以为直径的圆不经过，不满足条件．
当直线与轴不垂直时，设．
由得．………………………8分
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
设，
，则．
因为以为直径的圆经过，所以，又,
所以，
即，解得，
由得． ………………………10分
因为直线与抛物线有两个交点，所以．
设，，则，．
所以．………………………12分
（1） 解析：（Ⅰ）由已知可得，
又∵与关于点对称，故
∴ 直线的方程为，代入，得：
解得：，
∴．
∴是的中点，即．
（Ⅱ）直线与曲线除外没有其它公共点．理由如下：
直线的方程为，即，代入，得
，解得，
即直线与只有一个公共点，所以除外没有其它公共点
（1） 解：（Ⅰ）设，代入，得，
，．……………………………2分
由题设得，解得（舍去）或，
所以C的方程为．…………………………………………5分
（Ⅱ）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，
代入，得．
设，，则．
故的中点为，
，………………………7分
又的斜率为，方程为，代入，
整理得．
设，则，．
故的中点为．
，………………………9分
由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而，
即，
解得，所求直线的方程为或．
……………………………………………………………………………………12分
（1） 解法一：（Ⅰ）∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点 ，
∵抛物线C的准线为，
由结合抛物线的定义得 ①………………………………2分
又点在抛物线C上，∴，得，②
由①②联立，解得，
∴所求抛物线的方程式为．………………………………5分
（Ⅱ）由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设，………………………………6分
又设点，
由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，
由，得，∴，
∴直线的方程为，
令得，∴点的坐标为，………………8分
，
∵点在以为直径的圆上，
∴，（*）
……………………………………………………………………………………10分
要使方程（*）对恒成立，必须有0解得．
所以点N坐标为．…………………………………………………………12分
解法二：（Ⅰ）∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点，
∵抛物线C的焦点为，由，
得，………………………………2分
即，①
又点在抛物线C上，∴，得，②
由①②联立，解得，∴所求抛物线的方程式为．……………5分
（Ⅱ）设点，有与抛物线有唯一公共点M知，直线与抛物线相切．
由，得，所以．
所以直线的方程为，
令得，∴点的坐标为 ，…………………7分
∴以为直径的圆方程为：，③
分别令和，由点在抛物线上得，
将的值分别代入③，得，④
，⑤
联立④⑤
，解得或 ……………………………………………10分
∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，将的坐标代入③式得，
左边==右边，
将的坐标代入③式得，左边=不恒等于0 ，
∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，
点坐标为．………………………………………………………………12分
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