2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 三角函数及解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质练习 10页

第一部分 专题三 第一讲 三角函数的图象与性质 A组 ‎1．已知sinφ＝，且φ∈(，π)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f()的值为( B )‎ A．－　　 B．－　　　‎ C．　　 D． ‎[解析]　由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f()＝sin(2×＋φ)＝cosφ＝－＝－.‎ ‎2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( D )‎ A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z ‎[解析]　由五点作图知，k∈Z，可得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos.令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为，k∈Z.故选D .‎ ‎3．(2017·天津卷，7)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若 10‎ f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )‎ A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ ‎[解析]　∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．‎ ‎∴2sin(×＋φ)＝2，‎ 得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.‎ 故选A．‎ ‎4．(2018·济南期末)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上递减，则ω＝( B )‎ A．3 B．2 ‎ C．6 D．5‎ ‎[解析]　∵f(x)＝2sin(ωx＋)，f()＋f()＝0.‎ ‎∴当x＝＝时，f(x)＝0.‎ ‎∴ω＋＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A，C；‎ 又f(x)在(，)上递减，‎ 把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( B )‎ A．11 B．9 ‎ 10‎ C．7 D．5‎ ‎[解析]　由题意知：‎ 则ω＝2k＋1，其中k∈Z.‎ ‎∵f(x)在上单调，‎ ‎∴－＝≤×，ω≤12.‎ 接下来用排除法．‎ 若ω＝11，φ＝－，此时f(x)＝sin，‎ f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足f(x)在上单调，‎ 若ω＝9，φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在上单调递减．‎ ‎6．(2017·开封市高三一模)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)·sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝.‎ ‎[解析]　本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式．‎ 因为f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)为奇函数，则y＝sin(x＋＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，所以φ＝.‎ ‎7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：‎ ‎①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝(sinx＋cosx)；‎ ‎③f(x)＝sinx; ④f(x)＝sinx＋.‎ 其中为“互为生成”函数的是①④(填序号)．‎ ‎[解析]　首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋ 10‎ ‎)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．‎ ‎8．已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及最大值；‎ ‎(2)若α∈，且f(α)＝，求a的值．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x ‎＝cos2xsin2x＋cos4x ‎＝(sin4x＋cos4x)‎ ‎＝sin(4x＋)‎ 所以f(x)的最小正周期为，最大值为.‎ ‎(2)因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.‎ 因为α∈(，π)，‎ 所以4α＋∈(，)，‎ 所以4α＋＝，故α＝.‎ ‎9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，求θ的最小值．‎ 10‎ ‎[解析]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，‎ 则g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．‎ 因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，‎ 所以令＋－θ＝，‎ 解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ B组 ‎1．若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)图象的一条对称轴方程是x＝，函数f′(x)图象的一个对称中心是(，0)，则f(x)的最小正周期是( C )‎ A． B． ‎ C．π D．2π ‎[解析]　由f(x)＝sin(ωx＋φ)(tanφ＝)的对称轴方程是x＝可知，＋φ＝＋kπ(k∈Z)⇒φ＝＋kπ(k∈Z)，即＝tanφ＝1⇒a＝b，‎ 又f′(x)＝aωcosωx－bωsinωx的对称中心是(，0)，‎ 10‎ 则f′()＝0⇒aω(cos－sin)＝0⇒ω＝2，‎ 即T＝＝π.‎ ‎2．函数y＝的部分图象大致为( C )‎ ‎[解析]　令f(x)＝，‎ ‎∵f(1)＝>0，f(π)＝＝0，‎ ‎∴排除选项A，D．‎ 由1－cosx≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，‎ 故函数f(x)的定义域关于原点对称．‎ 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，‎ ‎∴排除选项B．‎ 故选C．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ，9)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是( D )‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 10‎ 个单位长度，得到曲线C2‎ ‎[解析]　因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．故选D．‎ ‎4．(2018·长沙二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点(，1)对称，则函数f(x)的单调递增区间是( B )‎ A．[－＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z B．[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z C．[π＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z D．[π＋3kπ，＋3kπ]，k∈Z ‎[解析]　由题设条件可知f(x)的周期T＝4|α－β|min＝3π，所以ω＝＝，又f(x)的图象关于点(，1)对称，从而f()＝1，即sin(×＋φ)＝0.因为|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝2sin(x－)＋1，再由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z.‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；‎ ‎②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；‎ ‎③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；‎ ‎④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．‎ 其中正确命题的个数是( B )‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，‎ 10‎ 得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，故①正确；‎ ‎②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，‎ 函数的最大值为2，故②正确；‎ ‎③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；‎ ‎④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．‎ ‎6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋).‎ ‎[分析]　观察图象，由最高点与最低点确定A，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ.‎ ‎[解析]　由图象知A＝2，T＝8＝，‎ 所以ω＝，得f(x)＝2sin(x＋φ)．‎ 由对应点得当x＝1时，×1＋φ＝⇒φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin(x＋)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是[，].‎ ‎[解析]　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，‎ 令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得＋≤x≤＋(k∈Z)．‎ 10‎ 由题意，函数f(x)在(，π)上单调递减，故(，π)为函数单调递减区间的一个子区间，‎ 故有 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．‎ 由4k＋<2k＋，解得k<.‎ 由ω>0，可知k≥0，‎ 因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为[，]．‎ ‎8．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)∵f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2xsin＋cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x＋)＋1.‎ ‎∵x∈[－，]，‎ ‎∴令2x＋＝得x＝，‎ ‎∴f(x)在区间[－，]上是增函数；‎ 在区间[，]上是减函数，‎ 又∵f(－)＝0，f()＝＋1，f()＝2，‎ ‎∴函数f(x)在区间[－，]上的最大值为＋1，最小值为0.‎ ‎9．已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.‎ ‎(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；‎ ‎(2)若函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移 10‎ 个单位长度而得到，且g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数m的最大值．‎ ‎[解析]　(1)因为tanθ＝2，‎ 所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ ‎＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)‎ ‎＝sinθcosθ＋cos2θ－ ‎＝－ ‎＝－＝.‎ ‎(2)由已知得f(x)＝sin2x＋cos2x ‎＝sin(2x＋)．‎ 依题意，‎ 得g(x)＝sin[2(x－)＋]，‎ 即g(x)＝sin(2x－)．‎ 因为x∈(0，m)，‎ 所以2x－∈[－，‎2m－]，‎ 又因为g(x)在区间(0，m)内是单调函数，‎ 所以‎2m－≤，即m≤，故实数m的最大值为.‎ 10‎