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  • 2021-05-13 发布

2020高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 规范答题示例5 数列的通项与求和问题学案

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规范答题示例5 数列的通项与求和问题 典例5 (15分)已知数列{an}中,a1=4,an+1=,n∈N*,Sn为{an}的前n项和.‎ ‎(1)求证:当n∈N*时,an>an+1;‎ ‎(2)求证:当n∈N*时,2≤Sn-2n<.‎ 审题路线图 (1) ‎(2)―→―→‎ ―→ ―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 证明 (1)当n≥2时,‎ 因为an-an+1=-=,2分 所以an-an+1与an-1-an同号.3分 又因为a1=4,a2=,a1-a2>0,‎ 所以当n∈N*时,an>an+1.5分 ‎(2)由条件易得‎2a=6+an,所以2(a-4)=an-2,‎ 所以2(an+1-2)(an+1+2)=an-2,①‎ 所以an+1-2与an-2同号.‎ 又因为a1=4,即a1-2>0,所以an>2.8分 又Sn=a1+a2+…+an≥a1+(n-1)×2=2n+2.‎ 所以Sn-2n≥2.10分 由①可得=<,因此an-2≤(a1-2)× 第一步 ‎ 找关系:分析数列的递推式,把握数列的项之间的关系;‎ 第二步 ‎ 巧变形:根据所证式子的特点,对递推式灵活变形或适当放缩;‎ 第三步 ‎ 凑结论:观察变形后的式子和欲证结论的联系,凑出最后结果.‎ 3‎ n-1,‎ 即an≤2+2×n-1,12分 所以Sn=a1+a2+…+an≤2n+2 ‎=2n+<2n+.‎ 综上可得,2≤Sn-2n<.15分 评分细则 (1)证出an-an+1与an-1-an同号给3分.‎ ‎(2)证出an+1-2与an-2同号给2分.‎ ‎(3)证出Sn-2n≥2给2分.‎ 跟踪演练5 (2018·温州高考适应性测试)已知正项数列{an}满足an+1=-2an-1,且an+10,‎ 解得an>1或an<-7(舍去),‎ 所以a1>1.‎ ‎(2)证明 方法一 要证明an+10,‎ 因为an>1,上式显然成立,故an+11,所以>2,‎ 上式显然成立,故an+1