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2012年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题
1.(3分)i是虚数单位,复数=( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i
2.(3分)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(3分)阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为﹣25时,输出x的值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.9
4.(3分)函数f(x)=2x+x3﹣2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(3分)在(2x2﹣)5的二项展开式中,x项的系数为( )
A.10 B.﹣10 C.40 D.﹣40
6.(3分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=( )
A. B. C. D.
7.(3分)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=﹣,则λ=( )
A. B. C. D.
8.(3分)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
A.[1﹣,1+] B.(﹣∞,1﹣]∪[1+,+∞)
C.[2﹣2,2+2] D.(﹣∞,2﹣2]∪[2+2,+∞)
二、填空题
9.(3分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.
10.(3分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
11.(3分)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x﹣m)(x﹣2)<0}
,且A∩B=(﹣1,n),则m= ,n= .
12.(3分)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .
13.(3分)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 .
14.(3分)已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 .
三、解答题
15.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值.
16.现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
18.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N*).
19.设椭圆的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.
20.已知函数f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;
(3)证明:(n∈N*).
2012年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题
1.(3分)(2012•天津)i是虚数单位,复数=( )
A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i
【分析】由题意,可对此代数分子分母同乘以分母的共轭,整理即可得到正确选项
【解答】解:
故选B
2.(3分)(2012•天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数,再反过来推导结论即可.
【解答】解:因为φ=0时,f(x)=cos(x+φ)=cosx是偶函数,成立;
但f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数时,φ=kπ,k∈Z,推不出φ=0.
故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
故选:A.
3.(3分)(2012•天津)阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x的值为﹣25时,输出x的值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.9
【分析】根据题意,按照程序框图的顺序进行执行,当|x|≤1时跳出循环,输出结果.
【解答】解:当输入x=﹣25时,
|x|>1,执行循环,x=﹣1=4;
|x|=4>1,执行循环,x=﹣1=1,
|x|=1,退出循环,
输出的结果为x=2×1+1=3.
故选:C.
4.(3分)(2012•天津)函数f(x)=2x+x3﹣2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据函数f(x)=2x+x3﹣2在区间(0,1)内单调递增,f(0)f(1)<0,可得函数在区间(0,1)内有唯一的零点
【解答】解:由于函数f(x)=2x+x3﹣2在区间(0,1)内单调递增,又f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0,
所以f(0)f(1)<0,
故函数f(x)=2x+x3﹣2在区间(0,1)内有唯一的零点,
故选B.
5.(3分)(2012•天津)在(2x2﹣)5的二项展开式中,x项的系数为( )
A.10 B.﹣10 C.40 D.﹣40
【分析】由题意,可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1==,再令10﹣3r=1,得r=3即可得出x项的系数
【解答】解:(2x2﹣)5的二项展开式的通项为Tr+1==
令10﹣3r=1,得r=3
故x项的系数为=﹣40
故选D
6.(3分)(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式,求出sinB,cosB,然后利用平方关系式求出cosC的值即可.
【解答】解:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,
所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB,所以cosB=,B为三角形内角,所以B∈(0,).C.
所以sinB==.
所以sinC=sin2B=2×=,
cosC==.
故选:A.
7.(3分)(2012•天津)已知△ABC为等边三角形,AB=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=﹣,则λ=( )
A. B. C. D.
【分析】根据向量加法的三角形法则求出,进而根据数量积的定义求出再根据=﹣即可求出λ.
【解答】解:∵,,λ∈R
∴,
∵△ABC为等边三角形,AB=2
∴=+λ+(1﹣λ)
=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+(1﹣λ)×2×2×cos180°+λ(1﹣λ)×2×2×cos60°
=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2,
=﹣2λ2+2λ﹣2
∵=﹣
∴4λ2﹣4λ+1=0
∴(2λ﹣1)2=0
∴
故选A
8.(3分)(2012•天津)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
A.[1﹣,1+] B.(﹣∞,1﹣]∪[1+,+∞)
C.[2﹣2,2+2] D.(﹣∞,2﹣2]∪[2+2,+∞)
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后利用基本不等式变形,设m+n=x,得到关于x的不等式,求出不等式的解集得到x的范围,即为m+n的范围.
【解答】解:由圆的方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=1,得到圆心坐标为(1,1),半径r=1,
∵直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==1,
整理得:m+n+1=mn≤,
设m+n=x,则有x+1≤,即x2﹣4x﹣4≥0,
∵x2﹣4x﹣4=0的解为:x1=2+2,x2=2﹣2,
∴不等式变形得:(x﹣2﹣2)(x﹣2+2)≥0,
解得:x≥2+2或x≤2﹣2,
则m+n的取值范围为(﹣∞,2﹣2]∪[2+2,+∞).
故选D
二、填空题
9.(3分)(2012•天津)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 18 所学校,中学中抽取 9 所学校.
【分析】从250所学校抽取30所学校做样本,样本容量与总体的个数的比为3:25,得到每个个体被抽到的概率,根据三个学校的数目乘以被抽到的概率,分别写出要抽到的数目,得到结果.
【解答】解:某城地区有学校150+75+25=250所,
现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所,
每个个体被抽到的概率是=,
∵某地区有小学150所,中学75所,大学25所.
∴用分层抽样进行抽样,应该选取小学×150=18所,选取中学×75=9所.
故答案为:18,9.
10.(3分)(2012•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 18+9π m3.
【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体,长、宽、高分别为6,3,1(单位:m),下部为两个半径均为的球体.分别求体积再相加即可.
【解答】解:由三视图可知该几何体为上部是一个长方体,长、宽、高分别为6,3,1(单位:m),体积6×3×1=18.
下部为两个半径均为的球体,体积2ו()3=9π
故所求体积等于18+9π
故答案为:18+9π
11.(3分)(2012•天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x﹣m)(x﹣2)<0},且A∩B=(﹣1,n),则m= ﹣1 ,n= 1 .
【分析】由题意,可先化简A集合,再由B集合的形式及A∩B=(﹣1,n)直接作出判断,即可得出两个参数的值.
【解答】解:A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|﹣5<x<1},
又集合B={x∈R|(x﹣m)(x﹣2)<0},A∩B=(﹣1,n).
如图
由图知m=﹣1,n=1,
故答案为﹣1,1.
12.(3分)(2012•天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= 2 .
【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px,则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|,可得△MEF为等边三角形,设点M的坐标为(3,m ),则点E(﹣,m),把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=.再由|EF|=|ME|,解方程可得p的值.
【解答】解:抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l,消去参数可得x=2p,
化简可得y2=2px,表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线,
故焦点F(,0),准线l的方程为x=﹣.
则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|,再由|EF|=|MF|,可得△MEF为等边三角形.
设点M的坐标为(3,m ),则点E(﹣,m).
把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3,即 p=.
再由|EF|=|ME|,可得 p2+m2=,即 p2+6p=9++3p,解得p=2,或p=﹣6 (舍去),
故答案为 2.
13.(3分)(2012•天津)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 .
【分析】由相交弦定理求出FC,由相似比求出BD,设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD•AD求解.
【解答】解:由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC,即3×1=×FC,FC=2,在△ABD中AF:AB=FC:BD,即3:4=2:BD,BD=,
设DC=x,则AD=4x,再由切割线定理,BD2=CD•AD,即x•4x=()2,x=
故答案为:
14.(3分)(2012•天津)已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 (0,1)∪(1,4) .
【分析】先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象,结合图象,可得实数k的取值范围.
【解答】解:y===
函数y=kx﹣2的图象恒过点(0,﹣2)
在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象
结合图象可实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4)
故答案为:(0,1)∪(1,4)
三、解答题
15.(2012•天津)已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[]上的最大值和最小值.
【分析】(1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f(x)=sin(2x+)+sin(2x﹣)+2cos2x﹣1化为f(x)=sin(2x+
),即可求得函数f(x)的最小正周期;
(2)可分析得到函数f(x)在区间[]上是增函数,在区间[,]上是减函数,从而可求得f(x)在区间[]上的最大值和最小值.
【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x
=sin2x+cos2x
=sin(2x+),
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)∵函数f(x)在区间[]上是增函数,在区间[,]上是减函数,
又f(﹣)=﹣1,f()=,f()=1,
∴函数f(x)在区间[]上的最大值为,最小值为﹣1.
16.(2012•天津)现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
【分析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),故P(Ai)=
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2);
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B,则B=A3∪A4,利用互斥事件的概率公式可求;
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,求出相应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
【解答】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),∴P(Ai)=
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)=;
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B,则B=A3∪A4,
∴P(B)=P(A3)+P(A4)=
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=
∴ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
数学期望Eξ=
17.(2012•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A﹣PC﹣D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【分析】解法一(1)以A为原点,建立空间直角坐标系,通过得出•=0,证出PC⊥AD.
(2)求出平面PCD,平面PCD的一个法向量,利用两法向量夹角求解.
(3)设E(0,0,h),其中h∈[0,2],利用cos<>=cos30°=,得出关于h的方程求解即可.
解法二:(1)通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD.
(2)作AH⊥PC于点H,连接DH,∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角.在RT△DAH中求解
(3)因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF,故∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CD所成的角.在△EBF中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,由余弦定理得出关于h的方程求解即可.
【解答】解法一:如图,以A为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(﹣,,0),P(0,0,2).
(1)证明:易得=(0,1,﹣2),=(2,0,0),于是•=0,所以PC⊥AD.
(2)解:=(0,1,﹣2),=(2,﹣1,0),设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),则即
取z=1,则以=(1,2,1).又平面PAC的一个法向量为=(1,0,0),于是cos
<>==,sin<>=
所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为.
(3)设E(0,0,h),其中h∈[0,2],由此得=( ,﹣,h).由=(2,﹣1,0),故cos<>===
所以=cos30°=,解得h=,即AE=.
解法二:(1)证明:由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AD,
又由AD⊥AC,PA∩AC=A,故AD⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,
所以PC⊥AD.
(2)解:如图,作AH⊥PC于点H,连接DH,
由PC⊥AD,PC⊥AH,可得PC⊥平面ADH,因此DH⊥PC,从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角.
在RT△PAC中,PA=2,AC=1,所以AH=,由(1)知,AD⊥AH,在RT△DAH中,DH==,因此sin∠AHD==.所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为.
(3)解:如图,因为∠ADC<45°,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,
设交点为F,连接BE,EF,故∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CD所成的角.
由于BF∥CD,故∠AFB=∠ADC,在RT△DAC中,CD=,sin∠ADC=,故sin∠AFB=.
在△AFB中,由,AB=,sin∠FAB=sin135°=,可得BF=
,
由余弦定理,BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB,得出AF=,
设AE=h,在RT△EAF中,EF==,
在RT△BAE中,BE==,
在△EBF中,因为EF<BE,从而∠EBF=30°,
由余弦定理得到,cos30°=,
解得h=,
即AE=.
18.(2012•天津)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N*).
【分析】(1)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项.
(2)先写出Tn的表达式;方法一:借助于错位相减求和;
方法二:用数学归纳法证明其成立.
【解答】解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,
由条件a4+b4=27,s4﹣b4=10,
得方程组,解得,
故an=3n﹣1,bn=2n,n∈N*.
(2)证明:方法一,由(1)得,Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1; ①;
2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1; ②;
由②﹣①得,Tn=﹣2(3n﹣1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
=+2n+2﹣6n+2
=10×2n﹣6n﹣10;
而﹣2an+10bn﹣12=﹣2(3n﹣1)+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10;
故Tn+12=﹣2an+10bn(n∈N*).
方法二:数学归纳法,
③当n=1时,T1+12=a1b1+12=16,﹣2a1+10b1=16,故等式成立,
④假设当n=k时等式成立,即Tk+12=﹣2ak+10bk,
则当n=k+1时有,
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1
=ak+1b1+q(akb1+ak﹣1b2+…+a1bk)
=ak+1b1+qTk
=ak+1b1+q(﹣2ak+10bk﹣12)
=2ak+1﹣4(ak+1﹣3)+10bk+1﹣24
=﹣2ak+1+10bk+1﹣12.
即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1,因此n=k+1时等式成立.
③④对任意的n∈N*,Tn+12=﹣2an+10bn成立.
19.(2012•天津)设椭圆的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.
【分析】(1)设P(x0,y0),则,利用直线AP与BP的斜率之积为
,即可求得椭圆的离心率;
(2)依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x0,kx0),则,进一步可得,利用AP|=|OA|,A(﹣a,0),可求得,从而可求直线OP的斜率的范围.
【解答】(1)解:设P(x0,y0),∴①
∵椭圆的左右顶点分别为A,B,∴A(﹣a,0),B(a,0)
∴,
∵直线AP与BP的斜率之积为,∴
代入①并整理得
∵y0≠0,∴a2=2b2
∴
∴
∴椭圆的离心率为;
(2)证明:依题意,直线OP的方程为y=kx,设P(x0,kx0),∴
∵a>b>0,kx0≠0,∴
∴②
∵|AP|=|OA|,A(﹣a,0),
∴
∴
∴
代入②得
∴k2>3
∴直线OP的斜率k满足|k|>.
20.(2012•天津)已知函数f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;
(3)证明:(n∈N*).
【分析】(1)确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用函数f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为0,即可求得a的值;
(2)当k≤0时,取x=1,有f(1)=1﹣ln2>0,故k≤0不合题意;当k>0时,令g(x)=f(x)﹣kx2,即g(x)=x﹣ln(x+1)﹣kx2,求导函数,令g′(x)=0,可得x1=0,,分类讨论:①当k≥时,,g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(x)≤g(0)=0;②当0<k<时,,对于,g′(x)>0,因此g(x)在上单调递增,由此可确定k的最小值;
(3)当n=1时,不等式左边=2﹣ln3<2=右边,不等式成立;当n≥2时,,在(2)中,取k=,得f(x)≤x2,从而可得,由此可证结论.
【解答】(1)解:函数的定义域为(﹣a,+∞),求导函数可得
令f′(x)=0,可得x=1﹣a>﹣a
令f′(x)>0,x>﹣a可得x>1﹣a;令f′(x)<0,x>﹣a可得﹣a<x<1﹣a
∴x=1﹣a时,函数取得极小值且为最小值
∵函数f(x)=x﹣ln(x+a)的最小值为0,
∴f(1﹣a)=1﹣a﹣0,解得a=1
(2)解:当k≤0时,取x=1,有f(1)=1﹣ln2>0,故k≤0不合题意
当k>0时,令g(x)=f(x)﹣kx2,即g(x)=x﹣ln(x+1)﹣kx2,
求导函数可得g′(x)=
g′(x)=0,可得x1=0,
①当k≥时,,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而对任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,即对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立;
②当0<k<时,,对于,g′(x)>0,因此g(x)在上单调递增,
因此取时,g(x0)≥g(0)=0,即有f(x0)≤kx02不成立;
综上知,k≥时对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,k的最小值为
(3)证明:当n=1时,不等式左边=2﹣ln3<2=右边,所以不等式成立
当n≥2时,
在(2)中,取k=,得f(x)≤x2,∴(i≥2,i∈N*).
∴=f(2)+<2﹣ln3+
=2﹣ln3+1﹣<2
综上,(n∈N*).